离散数学 关系的闭包.ppt

s(R)={<a,a><a,b><b,a>}, t(R)={<a,a><a,b>}=R
例：设Ａ={a,b,c},R={<a,b>,<b,c>,<c,a>}，求r(R),s(R),t(R)。
解：r(R)= { a,b , b, c , c, a , a, a , b,b , c, c } s(R)={ a,b , b, a , b, c , c,b , c, a , a, c }
t(R)={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}
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三、闭包的构造方法
1.构造R的自反闭包的方法。 设R是A上的二元关系，x∈A，将所有(x,x)R的有序对
加到R上去，使其扩充成自反的二元关系，扩充后的自反 关系就是R的自反闭包r(R)。 例如，A={a,b,c,d},R={(a,a),(b,d),(c,c)}。 R的自反闭包r(R)={ (a,a),(b,d),(c,c),(b,b),(d,d)}。
4.4 关系的闭包
闭包定义 闭包的构造方法
集合表示
矩阵表示 图表示
闭包的性质
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一、闭包定义
定义 设R是非空集合A上的关系, R的自反（对称或
传递）闭包是A上的关系R, 使得R满足以下条件：
（1）R是自反的（对称的或传递的） （2）RR （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系 R 有 RR. 一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递闭包记作 t(R).
定理: 设R为A上的关系, 则有t(R) = R∪R2∪R3∪… 说明： • 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, 上式中的并最多不超过 Rn.
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思考：设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求 r(R), s(R), t(R). 解: r(R) = R∪R0={<a,a>, <a,b>,<b,a>, <b,b>, <b,c>,
R4= {<a,b>, <a,c>, <b,b>, <b,d>} = R2 于是 t(R) = R∪R2∪R3= {<a,a>, <a,b>, <a,c>, <a,d>,
<b,a>, <b,b>, <b,c>, <b,d> ,<c,d> }.
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闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则
由逆关系的定义可知：
定理: R是A上二元关系， R~是其逆关系， 则R的对称闭包s(R)=R∪R~ 。
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3.构造R的传递闭包的方法。
设R 是A上的二元关系，每当(a,b)∈R和(b,c)∈R而(a,c)R时，将 有序对(a,c)加到R上使其扩充成R1，并称R1 为R的传递扩张， R1 如果是传递关系，则R1是R的传递闭包；如果R1不是传递关系， 继续求R1的的传递扩张R2， 如果R2是传递关系时，则R2是R的传 递闭包； 如果R2不是传递关系时，继续求R2的的传递扩张R3… ，如果A是有限集，R经过有限次扩张后，定能得到R的传递闭包 。扩张后的传递关系就是R的传递闭包t(R)。
<c,c>, <c,d>,<d,d>},
s(R) = R∪R1={<a,b>,<b,a>,<b,c>, <c,b>,<c,d>,<d,c>},
t(R) = R∪R2∪R3∪ R4Байду номын сангаас
R2={<a,a>, <a,c>, <b,b>, <b,d>} R3= {<a,b>, <a,d>, <b,a>, <b,c>}
于是可得： 定理: R是A上的二元关系，则R的自反闭包r(R)=R∪IA。
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2.构造R的对称闭包的方法。 每当(a,b)∈R，而(b,a)R时，将有序对(b,a)加到R上去，
使其扩充成对称的二元关系，扩充后的对称关系就是 R的对称闭包s(R)。 例如，A={a,b,c,d,e},R={ (a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (d,e)}。 R的对称闭包s(R) = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b), (d,e), (e,d)}。
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由闭包的定义可知， R的自反（对称，传递）闭包是含有R并且具有 自反（对称，传递）性质的“最小”的关系。 如果R已是自反的二元关系，显然有：R= r(R)。 同样，当R是对称的二元关系时R= s(R)； 当R是传递的二元关系时，R= t(R)，且反之亦然 。
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二、关系的闭包运算
（1）已知一个集合中的二元关系R，则 r(R),s(R),t(R)是唯一的，它是包含R的 最小的自反（对称，传递）关系；
（2）若R是自反（对称，传递）的，则 r(R),s(R),t(R)就是R本身。
（3）若R不是自反（对称，传递）的，则 可以补上最少序偶，使之变为自反、对称、 传递关系，从而得到r(R),s(R),t(R)；
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例：设Ａ={a,b},R={<a,a><a,b>}， 则r(R)={<a,a><a,b><b,b>},
考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最 终得到Gr . 考察G的每条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单 向边, i≠j, 则在G中加一条 xj 到 xi 的反方向边，最终 得到Gs. 考察G的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条路 径，如果从 xi 到路径中任何结点 xj 没有边，就加上 这条边. 当检查完所有的顶点后就得到图Gt .
Mr = M + E Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + … E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
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闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt , 则Gr, Gs, Gt 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以下述方法添加新边：
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实例
例1 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.