主惯性轴和主惯性矩PPT课件
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形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的o 角，即 形心主惯性轴。
解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,
则：
Iz
y2dA
A
h/2 y2bdy bh3 ;
h / 2
12
取微面积dA=hdz,则：
I y
z2dA
A
b/2 z2hdz hb3 ;
b / 2
12
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。
解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,
则： Iz
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y 2 dA
A
由对称性： I
R
2y R
y Iz
2 R D4 ; 64
2 y2 dy R4 D4 ;
4 64 由几何关系： 2＝y2
z
2
,
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
0.16m;
3
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第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA与它到 坐标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面 积dA对于坐标原点o的极惯性矩。
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
IP
2dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面：I P
A
4
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惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。
惯性矩单位：m4或mm4；
惯性矩恒为正值。
简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。
三、惯性积：
定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
IZ
Iy.
6
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
z1 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
D 2
2
2
dA
D 4
;
0
32
空心圆截面：
IP
D 4
32
(1 4 ); (
d) D
二、惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：
y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为
：
Iz
y 2 dA;
A
Iy
z 2 dA;
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
9
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
z y dA;
A
特点：①惯性积是截面对某两个正交
坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积
均不同。惯性积是代数值。
②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴 在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
单位：m4 , mm 4;
5
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例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。
n
Sz Ai yci; i 1
n
S y Ai zci; i 1
n
四、组合截面形心公式：
Ai yci
yc
i 1 n
;
Ai
i 1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
Ai zci
zc
i 1 n
;
Ai
i 1
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m2 , y1 2.46m; A2 0.48m2 , y2 1.2m;
y若c 分A解1Ay11为１AA22、y2 ２ 、0.0３72三0.02个7.426矩形00.4.，488则1.2 1.36m;
y'c
0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.6 2.52 2 0.2 2.4
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
sin 2
I zy
cos 2;
8
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第四节 主惯性轴和主惯性矩：
主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积I zo yo 0 的 这对正交坐标轴；
主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；
形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
第六章 截面的几何性质
第一节 • 静矩和形心 第二•节 惯性矩和惯性积
第三•• 节
惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式
第• 四节 主惯性轴和主惯性矩
• 第五节 组合截面惯性矩的计算
•
小结
返回 1
第六章 截面的几何性质
• 第一节 静矩和形心
一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为 y dA 和z dA
I z1y1 I zy abA;
注意：y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式：
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
截面（面积A)对z轴和y轴的静矩
分别为：
Sz
y dA;
A
Sy
z dA;
A
静矩为代数值。静矩单位：m3; mm3;
不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同 一截面对不同坐标轴的静矩也不同。
若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作
等厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：
Sz A y dA A yc;
Sy
z
A
dA
A
zc ;
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴
的静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形
心，则截面对该轴的静矩为零。
2
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二、形心公式：
yc
Sz A
;
zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的o 角，即 形心主惯性轴。
解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,
则：
Iz
y2dA
A
h/2 y2bdy bh3 ;
h / 2
12
取微面积dA=hdz,则：
I y
z2dA
A
b/2 z2hdz hb3 ;
b / 2
12
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。
解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,
则： Iz
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y 2 dA
A
由对称性： I
R
2y R
y Iz
2 R D4 ; 64
2 y2 dy R4 D4 ;
4 64 由几何关系： 2＝y2
z
2
,
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
0.16m;
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第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA与它到 坐标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面 积dA对于坐标原点o的极惯性矩。
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
IP
2dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面：I P
A
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惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。
惯性矩单位：m4或mm4；
惯性矩恒为正值。
简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。
三、惯性积：
定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
z1 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
D 2
2
2
dA
D 4
;
0
32
空心圆截面：
IP
D 4
32
(1 4 ); (
d) D
二、惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：
y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为
：
Iz
y 2 dA;
A
Iy
z 2 dA;
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
z y dA;
A
特点：①惯性积是截面对某两个正交
坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积
均不同。惯性积是代数值。
②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴 在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
单位：m4 , mm 4;
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例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。
n
Sz Ai yci; i 1
n
S y Ai zci; i 1
n
四、组合截面形心公式：
Ai yci
yc
i 1 n
;
Ai
i 1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
Ai zci
zc
i 1 n
;
Ai
i 1
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m2 , y1 2.46m; A2 0.48m2 , y2 1.2m;
y若c 分A解1Ay11为１AA22、y2 ２ 、0.0３72三0.02个7.426矩形00.4.，488则1.2 1.36m;
y'c
0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.6 2.52 2 0.2 2.4
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
sin 2
I zy
cos 2;
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第四节 主惯性轴和主惯性矩：
主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积I zo yo 0 的 这对正交坐标轴；
主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；
形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
第六章 截面的几何性质
第一节 • 静矩和形心 第二•节 惯性矩和惯性积
第三•• 节
惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式
第• 四节 主惯性轴和主惯性矩
• 第五节 组合截面惯性矩的计算
•
小结
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第六章 截面的几何性质
• 第一节 静矩和形心
一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为 y dA 和z dA
I z1y1 I zy abA;
注意：y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式：
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
截面（面积A)对z轴和y轴的静矩
分别为：
Sz
y dA;
A
Sy
z dA;
A
静矩为代数值。静矩单位：m3; mm3;
不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同 一截面对不同坐标轴的静矩也不同。
若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作
等厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：
Sz A y dA A yc;
Sy
z
A
dA
A
zc ;
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴
的静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形
心，则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc
Sz A
;
zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：