一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程综合 12.4 一元二次方程的根与系数的关系
中考考点 1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。

2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。

3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。

考点讲解 1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1?x2=。

2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)。

3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1?x2=q。

反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。

4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。

（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。

可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。

（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。

如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。

[∵x1+x2=，x1?x2=，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=] （4）验根、求根、确定根的符号。

（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。

（6）已知两数和与积，求这两个数。

（7）解特殊的方程或方程组。

考题评析 1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1?x2的值分别为（）（A）3，2 （B）-3，-2 （C）3，-2 （D）-3，2 考点：一元二次方程的根与系数关系。

评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2,满足x1+x2=，x1x2=可直接计算，答案为B。

2．(杭州市)若是方程的两个根，则的值为（）（A）-7 （B）1 （C）（D）答案：A 考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：由韦达定理知，，先求出x1+x2，x1?x2的值，然后将代数式(x1+1)(x2+1)展开，最后将x1+x2，x1?x2的值代入即可。

3．（辽宁省）下列方程中，两根分别为的是（）（A）（B）（C）（D）答案：B 考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据x1+x2=-p x1?x2=q，即可确定正确答案为B。

4．（辽宁省）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为。

考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：由根与系数的关系可知a+b=-2，a?b= -5。

而所求式中有a2+2a部分，因a是方程的根，所以有a2+2a-5=0，即a2+2a=5，再加a?b，原式值为0。

答案：0 5．（河南省）关于x的方程，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

答案：解：设方程的两个实数根是x1、x2.由根与系数关系，得 x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2. 又∵，=4，∴=4. ∴4k2-5k-9=0. 解这个方程，得k1=-1，k2=（不合题意，舍去）. 当k=-1时，原方程的判别式△=b2-4ac=[-(5k+1)]2-4(k2-2) =(-4)2-4(1-2)=20>0. 所以存在满足条件的负数k，k=-1. 考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。

评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△>0。

6．（福州市）以2，-3为两个根的一元二次方程是（）. （A）x2-x-6=0 （B）x2+x-6=0 （C）x2-x+6=0 （D）x2+x+6=0 答案：B 考点：一元二次方程根与系数关系。

评析：利用一元二次方程x2+px+q=0的根x1,x2与系数关系：直接计算即得答案。

7．（广州市）已知2是关于x的方程x2+3mx-10=0的一个根，则m= . 考点：一元二次方程的根与系数关系评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出m，或利用根与系数的关系解方程组求出。

答案：1 8．（贵阳市）若x1,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且=2，则m= . 考点：一元二次方程根与系数关系评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数的关系，得x1+x2=2
x1x2=ｍ，求的值，代入已知的等式求出ｍ。

答案：1 9．（河北省）在Rt△ABC中，∠
C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程的两根，那么AB边上
的中线长是（）（A）（B）（C）5 （D）2 考点：直角三角形三边关系勾股
定理、根与系数的关系评析思路：因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，∴有a+b=7
①a?b=c+7②，由勾股定理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，∴斜边上的中线
为斜边的一半，故选B。

10．（北京市海淀区）已知：关于x的方程①的两个实数根的倒
数和等于3，关于x的方程②有实数根且k为正整数，求代数式的值。

考点：根的判别式，
根与系数的关系。

评析：先根据根与系数的关系求得a值，再将a代入到第二个方程。

因
第二个方程只证有实根，所以k可以等于1,然后再根据Δ的范围再确定k值，分别代入所求
代数式就可以了。

答案：0 说明学生往往忽略k=1的这种情况：认为一元二次方程有实
根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑Δ的范围。

11.（河北省）若x1、x2是一元
二次方程3x2+x-1=0的两个根,则+的值是( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 考点：一元
二次方程根与系数的关系评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出x1+x2, x1?x2
的值，然后将求的代数式变形为，最后将x1+x2=-，x1?x2=-代入即可，故选C。

12．（哈
尔滨市）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0
的两个实数根，第三边BC的长为5. （1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角
形. （2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长. 考点：Rt△三边关
系，等腰三角形底与腰的关系,一元二次方程根与系数关系评析：（1）已知一元二次
方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据Rt△三边的关
系AB2+AC2=BC2可知，通过AB2+AC2=(AB+AC)2－2AB?AC可实现。

答案： k=2或k= -5 注：
如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。

（2）首先利用判断式判断
AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即AB=BC或AC=BC，当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一
元二次方程的一个根，故可求k的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。

答案：14
或16. 注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。

13．（安徽）已知方程x2+(1-)x-=0
的两根为x1、x2，求x+x的值。

考点：一元二次方程根与系数的关系评析：根据根与
系数的关系，先求出x1+x2、x1?x2的值然后将x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2变为以上形式，再
将x1+x2=-1，x1?x2=-代入即可。

解：由根与系数关系， x1+x2=-1+, x1x2=-, ∴ x+x=(x1+x2)2-2x1x2 =(-1)2+2 =3-2+2 =3. 说明：如果先解出根x1、x2，
再求出x+x的正确值可以。

14．（北京市东城区）已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的
两个实数根的平方和等于4，求实数k的值。

考点：一元二次方程根与系数的关系评
析：先设方程二根为x1、x2，分别求出x1+x2，x1?x2的值，再根据两根的平方和是4，求出
k值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证△≥0才能确定k的值，此题一些考生忽
略△≥0的隐含条件的。

解：设方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根是x1, x2，那么
x1+x2=k-1, x1?x2=k+1. 由x+x=4, 得(x1+x2)2-2x1x2=4. 即
(k-1)2-2(k+1)=4 k2-4k-5=0 解这个方程，得 k=5或k=-1. 当k=5
时, Δ=(5-1)2-4(5+1)0, 因此，k=-1为所求。

真题实战 1．（常州市）已
知关于x的方程x2+mx－6=0的一个根是2，则另一个根是，m= 。

答案：-3；1 2．（天
门市）若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是。

答案：6 3．已知x1、x2是方
（石
程x2－x－1=0的两个根，则的值是（） A、1 B、－1 C、±1 D、0 答案：B 4．
家庄市）设方程的两根为x1和x2，且，则m等于（） A．－8 B．－4 C．8 D．4 答案：C 5．（潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于2的方程是（） A．2x2－4x+3=0 B．2x2－2x－3=0 C．2x2+4x－3=0 D．2x2－4x－3=0 答案：D 6．（山西省）若方程
x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则代数式的值是（） A．6 B．4 C．2 D．-2 答
案：A 7．(南昌市)已知方程2x2+kx－10=0的一个根是－2，求它的另一根及k的值。

解：
设方程的另一根为x1，那么 -2x1=-5，又，∴k=-1。

答：方程的另一根是，k的值是-1。

8．（苏州市）已知关于x的方程x2+(m－2)x+m－3=0。

（1）求证：无论
m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1,x2
满足2x1+x2=m+1,求m的值。

(1)证明:∵∴无论m取什么实数,这个方程总有两个
不相等的实数根. (2)解∵x1,x2是这个方程的两个实数根, ∴又2x1+x2=m+1,(3) (3)-(1),得x1=2m-1……(4) 把(4)代入(1),得 x2=3-3m……(5) 把(4)、(5) 代入(2),得(2m-1)(3-3m)=. ∴. ∴ 9．（南通市）设x1、x2是关于x的方程x2－(k+2)+2k+1=0的两个实数根，且x12+x22=11. （1）求k的值；（2）利用根与系数的
关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一根是原方程两根差的平方。

解：（1）由题意得x1+x2=k+2，x1?x2=2k+1 ，又，∴，解得k=±3。

又∵Δ
=[-(k+2)]2-4(2k+1)=k2-4k，当k=3时，Δ=-3＜0，原方程无实数解；当k=-3时，Δ
=21＞0，原方程有实数解。

故k=-3。

（2）当k=-3时，原方程为x2+x-5=0。

设所
求方程为y2+py+q=0，两根为y1、y2，则y1=x1+x2=-1， y2=(x1-x2)2=-2x1x2=11+10=21。

∴y1+y2=20，y1?y2=-21 所求方程是y2-20y-21=0 10．（昆明）已知一元二次方程
x2-2x-1=0的两根是x1、x2，则+的值是（） A、 B、2 C、- D、-2 答案：D 11．（沈阳）设x1、x2是方程2x2-4x-3=0的两个根，则+=_________。

答案：-。