八年级下册初二数学《因式分解》教案(可编辑修改word版)

⎩

因式分解

【知识梳理】

●因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式的积例：

1

ax +

1

bx =

1

x(a +b)

3 3 3

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；

(3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。

【例题】判断下面哪项是因式分解：

因式分解的方法

●提公因式法：

定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

⎧系数---取各项系数的最大公约数

⎪

⎨字母---取各项都含有的字母

⎪指数---取相同字母的最低次幂( 指数)

【例题】12a3b3c -8a3b2c3+6a4b2c2的公因式是．

【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们的最大公约数为2；字母部分a3b3c, a3b2c3, a4b2c2都含有因式a3b2c ，故多项式的公因式是2 a3b2c ．

小结提公因式的步骤：

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

【基础练习】

1．ax、ay、－ax 的公因式是；6mn2、－2m2n3、4mn 的公因式是

．2．下列各式变形中，是因式分解的是（

）

A．a2－2ab＋b2－1＝（a－b）2－1 B．2x2+ 2x = 2x2 (1 +1 ) x

C．（x＋2）（x－2）＝x2－4 D．x4－1＝（x2＋1）（x＋1）（x－1）

3.将多项式－6x3y2 ＋3x2y2－12x2y3 分解因式时，应提取的公因式是（）

A．－3xy B．－3x2y C．－3x2y2 D．－3x3y3

4.多项式a n－a3n＋a n＋2 分解因式的结果是（）

A．a n（1－a3＋a2）B．a n（－a2n＋a2）C．a n（1－a2n＋a2）D．a n（－a3＋a n）5.把下列各式因式分解：

5x2y＋10xy2－15xy 3x（m－n）＋2（m－n）3（x－3）2－6（3－x）y（x－y）2－（y－x）3－2x2n－4x n x（a－b）2n＋xy（b－a）2n＋1

6.应用简便方法计算：

（1）2012－201 （2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8

（3）说明3200－4×3199＋10×3198 能被7 整除．

⎨x - 3y = 1, 【提高练习】

1. 把下列各式因式分解：

（1）－16a 2b －8ab ＝

；

（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝

．

2. 在空白处填出适当的式子：

（1）x （y －1）－（

）＝（y －1）（x ＋1）；

（2） 8

ab 2 + 4 b 3c = （ ）（2a ＋3bc ）．

27 9

3. 如果多项式 x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则 m 、n 的值为（

）

A ．m ＝1，n ＝2

B ．m ＝－1，n ＝2

C ．m ＝1，n ＝－2

D ．m ＝－1，n ＝－2

4．（－2）10＋（－2）11 等于（

）

A ．－210

B ．－211

C ．210

D ．－2

5．已知 x ，y 满足⎧2x + y = 6,

求 7y （x －3y ）2－2（3y －x ）3 的值．

⎩

6．已知 x ＋y ＝2， xy = - 1

, 求 x （x ＋y ）2（1－y ）－x （y ＋x ）2 的值

2

7．因式分解：（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ；

（2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．

● 运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

● 平方差公式

式子： a 2 - b 2 = (a + b )(a - b )

语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

【例题 1】在括号内写出适当的式子：

0．25m 4＝（

）2；

4 y 2n = （ ）2；

121a 2b 6＝（

）2．

9

【例题 2】因式分解：（1）x 2－y 2＝（

）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）（ ）；

【基础练习】

（3）49a 2－4＝（

）（

）；（4）2b 2－2＝（

）（

）．

1. 下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）

A ．y 2－49x 2

B ． 1

49

- x 4

C ．－m 4－n 2

D ． 1

( p + q )2 - 9

4

2. 下列因式分解错误的是（

）

A ．1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ）

B ．x 3－x ＝x （x 2－1）

C ．a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ）

D ． 4 m 2 - 0.0 l n 2

= (0.l n + 2

m )( 2

m - 0.l n )

3. 把下列各式因式分解：

9 3 3

（a ＋b ）2－64 m 4－81n 4

（2a －3b ）2－（b ＋a ）2

4．利用公式简算：（1）2008＋20082－20092；

（2）3.14×512－3.14×492．