柱坐标和球坐标简介

设 C1 的球坐标为(r， φ， θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝ rsin φ sin θ， z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2. 2 π 由 z＝rcos φ，∴cos φ＝ ，φ＝ 2 4 y π 又 tan θ＝ ＝1，∴θ＝4， x π π 从而点 C1 的球坐标为(2，4，4)
【思路探究】 可把两点坐标均化为空间直角坐标，再
用空间两点间的距离公式求距离．
【自主解答】 设 P1 的直角坐标为 P1(x1，y1，z1)， x1＝2 3sin πcos π＝3 2， 3 4 2 π π 3 2 则y1＝2 3sin sin ＝ ， 3 4 2 π z1＝2 3cos 3＝ 3， 3 2 3 2 ∴P1 的直角坐标为( 2 ， 2 ， 3)．
四
柱坐标系与球坐标系简介
课标 解读
1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义，能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式， 并用于解题.
1．柱坐标系
图 1－4－1 如图 1－4－1 所示， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 ． 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q ， 用 (ρ ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
3．空间直角坐标与柱坐标的转化 空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z . 4．空间直角坐标与球坐标的关系 空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ
设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q， Ox 轴按逆时针方向旋转 到 OQ 时所转过的 用有序数组
(r，φ，θ)
最小正角
为 θ.这样点 P 的位置就可以
(r，φ，θ)
表示． 这样， 空间的点与
之
间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 球坐标系(或空间极坐标系)． 有序数组(r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，记做 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．
3 2 3 2 3 3 ∴P( 4 ， 4 ， 2 )．
设点 Q 的直角坐标为(x，y，z)． x＝3sin 则y＝3sin z＝3cos π 3π 3 2 cos ＝－ ， 6 4 4 π 3π 3 2 sin ＝ ， 6 4 4 π 3 ＝ 3. 6 2
3 2 3 2 3 3 ∴点 Q(－ 4 ， 4 ， 2 )． ∴|PQ|＝ 3 2 3 22 3 2 3 22 3 3 3 32 ＋ ＋ － ＋ － 4 4 4 4 2 2
(2)设 N 的直角坐标为(x，y，z)， x＝ρcos θ， 则由y＝ρsin θ， z＝z， x＝－π， ∴y＝0， z＝π. x＝πcos π， 得y＝πsin π， z＝π，
因此，点 N 的直角坐标为(－π，0，π)．
1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 x＝ρcos θ， M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式 y＝ρsin θ， z＝z，
1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系， 首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz， Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π， 0≤θ<2π. 2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运 x＝rsin φcos θ， 用公式y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ.
(2) 已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， 求出 x，y，z 即可． z＝z， 【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，
1＝ρcos θ， 则由1＝ρsin θ， z＝1，
π 解之得，ρ＝ 2，θ＝4.
π 因此，点 M 的柱坐标为( 2，4，1)．
设 P2 的直角坐标为 P2(x2，y2，z2)， π 3 2 x2＝ 6cos 6＝ 2 ， π 6 则 y2＝ 6sin 6＝ 2 ， z2＝1， 3 2 6 ∴P2 的直角坐标为( ， ，1)． 2 2 ∴|P1P2 |＝ 30－ 10 3 2 62 2 0＋ － ＋ 3－1 ＝ . 2 2 2
空间点的直角坐标化为球坐标
已知长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，棱 AA1 的长为 2，如图 1－4－3 所示， 建立空间直角坐标系 Axyz，Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标 和球坐标．
图 1－4－3
【思路探究】 先确定 C1 的直角坐标，再根据空间直角 坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标． 【自主解答】 点 C1 的直角坐标为(1,1， 2)．
柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解 决．
π π π 3π 在球坐标系中，求两点 P(3，6，4)，Q(3，6， 4 )的距离． 【解】 将 P、Q 两点球坐标转化为直角坐标．设点 P
的直角坐标为(x，y，z)， x＝3sin 则y＝3sin z＝3cos π π 3 cos 4 ＝4 2， 6· π π 3 sin ＝ 2， 6 4 4 π 3 3 6＝3× 2 ＝2 3.
将点的球坐标化为直角坐标
3 3 已知点 M 的球坐标为(2，4π，4π)，求它的直角 坐标．
x＝rsin φcos θ，y＝rsin φ sin θ， 【思路探究】 球坐标 ――――――――――――――→ z＝rcos φ 直角坐标
【自主解答】
设点的直角坐标为(x，y，z)．
x＝2sin3πcos3π＝2× 2×－ 2＝－1， 2 2 4 4 2 2 3 3 则y＝2sin πsin π＝2× × ＝1， 2 2 4 4 2 3 z＝2cos4π＝2×－ 2 ＝－ 2. 因此点 M 的直角坐标为(－1,1，－ 2)．
【解】 设点的直角坐标为(x，y，z)． 5π x＝ρcos θ＝2cos 6 ＝－ 3， 5π (1) y＝ρsin θ＝2sin 6 ＝1， z＝3， 因此所求点的直角坐标为(－ 3，1,3)．
π x＝ρcos θ＝ 2cos4＝1， π (2) y＝ρsin θ＝ 2sin4＝1， z＝5. 故所求点的直角坐标为(1,1,5)．
.
1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什 么限制？
【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一
个是距离． 2．在柱坐标系中，方程 ρ＝1 表示空间中的什么曲面？
在球坐标系中，方程 r＝1 分别表示空间中的什么曲面？
【提示】 ρ＝1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆柱 面；球坐标系中，方程 r＝1 表示球心在原点的单位球面．
3 2 3 2 ＝ ， 即 P、Q 两点间的距离为 . 2 2
下课啦
(2)由 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋0＝ 2. z ∴cos φ＝ ＝0， r π ∴φ＝ . 2 π π 故点 C 的球坐标为( 2， ， )． 2 4
柱坐标系、球坐标系的应用
π π 已知点 P1 的球坐标是 P1(2 3， ， )，P2 的柱 3 4 π 坐标是 P2( 6， ，1)，求|P1P2 |. 6
1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点 M 的球 x＝rsin φcos θ， 坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ. θ，φ. y z 2．利用 r ＝x ＋y ＋z ，tan θ＝ ，cos φ＝ .特别注意由 x r
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3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别 有哪些？
【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标 系为背景，柱坐标系中一点在平面 xOy 内的坐标是极坐标， 竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以 一点到原点的距离和两个角刻画点的位置． (2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标 系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
求出 r，
直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取 值，才能无误．
若本例中条件不变，求点 C 的柱坐标和球坐标． 【解】 易知 C 的直角坐标为(1,1,0)．
设点 C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于 ρ＝ x2＋y2＝ 12＋12＝ 2. y 又 tan θ＝ ＝1， x π ∴θ＝4. π 因此点 C 的柱坐标为( 2，4，0)．
建立了空间的点与有序数组
(ρ，θ，z)
之间的一
柱坐标系
种对应关系， 把建立上述对应关系的坐标系叫做 有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 其中 ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.
， ，
P(ρ，θ，z)
2．球坐标系
图 1－4－2 建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 间任意一点，连接 OP，记 |OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的 角为 φ.
转化为三角函数的求值与运算．
5 5 若例 2 中“点 M 的球坐标改为 M(3，6π，3π)”，试求点 M 的直角坐标． 【解】 设 M 的直角坐标为(x，y，z)．
5π 5π 3 x＝rsin φcos θ＝3sin cos ＝ ， 6 3 4 5π 5π 3 3 则y＝rsin φ sin θ＝3sin 6 sin 3 ＝－ 4 ， 5π 3 3 z＝rcos φ＝3cos 6 ＝－ 2 . 3 3 3 3 3 ∴点 M 的直角坐标为(4，－ 4 ，－ 2 )．
2 2 2
求 ρ；
y 也可以利用 ρ ＝x ＋y ，求 ρ.利用 tan θ＝ ，求 θ，在求 θ 的 x 时候特别注意角 θ 所在的象限，从而确定 θ 的取值． 2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．
根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： 5π π (1)(2， 6 ，3)；(2)( 2，4，5)．
点的柱坐标与直角坐标互化
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 系中的坐标． (2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱 x＝ρcos θ， 坐标，利用公式y＝ρsin θ， z＝z，
求出 ρ，θ 即可．