费马和笛卡尔的解析几何世界.1doc

项目名称: 对比分析费马和笛卡儿在解析几何方面的创建工作报告人：

指导教师:

2012年12月25日

摘要:解析几何学对近代数学的发展产生了重要的影响，解析几何的诞生促进了新时代的到来，对旧的数学做了总结，代数和几何相结合，

引发的变量概念为物理学打基础。这其中笛卡尔和费马为解析几何做了很大贡献，两者不同的解题思路也引发我们的思考。

关键词:笛卡尔费马解析几何坐标图形

背景: 解析几何:解析几何系指借助坐标系，用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫做坐标几何17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生不可估量的作用

解析几何的基本思想是在平面引进所谓的坐标的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对()

，建立一一对应的关系，每对

x y

实数对()

，都对应于平面上的一个点，反之每个点都应于它的坐标

x y

()

，平面上一条曲线对

f x y=0

，，以这种方式可以将一个代数方程()

x y

应起来，于是几何问题归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。

（一）笛卡尔的解析几何之路：从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

笛卡尔的方法论指导：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解.

笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。

具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来

笛卡尔的基本思想几何问题算术化

（1）从解决几何作图问题入手，只要知道线段长度的有关知识，就可以完成他的。笛卡尔的出发点是一个著名的希腊数学问题—帕波斯问题作图

（2）引入单位线段概念

（3）定义线段加,减，乘，除，乘方，开方的运算

（4）以特殊记号（a,b,c,…）表示不同的线段

（5）用数可以表示所有的几何量，而且几何量之间也可以进行数的运算：

例如求线段a 与b 乘积，则可以A 为端点做射线AB 和AC ，设线段AB 为单位1，AC 等于a ，AD 等于b ，联结BC ，过D 作DE 平行于BC,则AE 即是a 与b 乘积。显然，若设AE 等于c ，则AC 即是c 与b 的商，再如求线段a 的平方根，则可以A 为端点作线段AD ，设线段AB 为单位1，BD 等于a ，取AD 中点O ，以O 为圆心，以AD 为直径作圆，过B 作BC 垂直于AD 交圆于C ，联结AC,CD,则BC 即是a 的平方根。

设在平面上给定3条直线123,,l l l ，过平面上的点C 作三条直线分别与123,,l l l 交于点B,Q,R,交角分别等于已知角123,,ααα，求使

2

C B C R kC Q

= 得点C 的轨迹；如果给定4条直线，则求使

k CB CR k CQ CS

= （为常数）的点的轨迹。

笛卡尔的解法的大致步骤是：（1）设所求点C 已经找出，将AB 记为x ，CB 记为y

（2）根据三角形的边角关系，将CR,CS 及CQ 用x ，y 表示出来

（3）代入关系式CB*CR=CS*CQ,经整理就得到了满足帕普斯问题

的C的轨迹方程22

=+++，其中a,b,c,d是由已知量组成的

y ay bxy cx dx

简单代数式

（二）费马的解析几何之路：1629年以前，费马便着手重写阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。但在1679年前很少有人了解费马的开创性工作。

《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比勒奈·笛卡尔发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。

1629年，在论平面和立体轨迹引论的论文中，费马取一条水平的直线作为轴，并在此直线上确定一点为原点，他考虑任意曲线和他上面的一般点M，点M的位置用两个字母A,E来确定，A表示从原点

O 沿轴线到点Z 的距离，E 表示从Z 到M 的距离，ZM 与轴线成固

定的角α。

费马后来还定义了新曲线,m n

n m n

x y a y ax r a ν

===和

（三）两人的解析几何对比：对比两人的解析几何,两人研究解析几何的方法不同，切入问题的角度不同，表达方式也大相径庭。 首先，费马主要是继承了希腊人的思想，他比较全面系统的叙述了解析几何的基本原理，但他的重点在完善阿波尼奥斯的工作且沿用了韦达以字母表示数的思想，而笛卡尔则从批判古希腊的传统出发，走的是革新古代方法的道路。笛卡尔的方法更具有一般性，适用范围更加广泛。

其次，费马从方程发研究它的轨迹，笛卡尔则从轨迹开始建立他的方程，前者是从代数到几何，后者是从几何到代数，从历史的发展角度来看，笛卡尔的几何学更胜一筹，更具有突破性。

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

:)::=ay y :d a x by b x y

x ky

x ax xy a b ay

-=-=-===+=直线（圆椭圆:b 抛物线，双曲线或x

我们今天大多数会在做圆锥曲线问题是运用解析几何的思想，在平面直角坐标系上解决所遇到的问题，在解决立体几何体是会运用建立直角坐标系的方法，算出角边的关系，或垂直或平行，或者计算空间角，而无论是怎么计算，都会运用到笛卡尔和费马的思想，解析几何问题的解决过程，和他们的创建过程密不可分：

下面两题是我们今天利用解析几何解决的问题，综合运用前人所讲知识：

利用解析几何的实例:

例1；已知两点A （-2，-2）和B （2,2），求满足条件4M A M B -=

的

动点M 的轨迹方程。

解；动点M 在轨迹上的充要条件是4M A M B -=

，用点

M 的坐标

（x ，y ）来表达就是: 4=

4=

（2）

两边方程整理得: 2x y =+-

（3）

再两边平方整理得2xy = （4）因为方程（2）和（3）同解，而方程（3）和（4）却不同解，但当方程（4）附加了条件20x+y x y +-≥≥即2后，方程（3）和（4）同解，从而方程（4）和（2）同解，所以方程2xy =（x+y ≥2）为所求动点M 的轨迹方程。 例2；已知两直线1

21x-111

:,11

110

x y z y z l

l +--====-：

试证明两条直线为异面直线，并求直线间距离与他们的公垂线。 解:因为直线1

l

过点1

M （0,0，-1），方向向量为}{11,1,0ν=-，而直

线2l 过点2

M （1,1,1），方向向量为}{2

1,1,0ν

=，从而有

1

2

1

2

1

12(,,)1

10401

1

v v

M

M ?==-=≠

所以两直线为异面直线。

又因为1l 与2l 的公垂线0l 的方向向量可取为}{12

0,0,2νν?=，

所以1l 与2l 之间的距离为:

1

2

1

2

1

2

(,,)42

2

d v v M

M v v

=

=

=?

根据公垂线计算公式可得：11100

211111000

2

x y z x y z ?+?-=??

??

---??=???

即00

x y x y +=??

-=?

这了公垂线的方程又可以写成0

x y =??

=?显然他就是z 轴。

综合上两题可看出，笛卡尔和费马从两个对立的方面考虑问题，但是达到了一样的效果，都发现了解析几何，从中可以看出，从不同的出发角度看问题，可看到不同的结果，在学习中，我们也要善于发现，乐于总结，最终在实践中掌握真知，更好的运用到生活当中。