费马和笛卡尔的解析几何世界.1
笛卡尔 费马原理
笛卡尔费马原理笛卡尔-费马原理是数学中的一个重要原理，它在解决几何问题中起到了关键作用。
它由法国数学家笛卡尔和费马独立提出，并且被广泛运用于数学、物理、工程等领域。
本文将从不同角度探讨笛卡尔-费马原理，并解释其在实际问题中的应用。
笛卡尔-费马原理是一种最短路径原理，即两点之间的路径是最短的。
它的核心思想是，从一个点出发，沿着最短路径到达另一个点，这个路径是最短的。
这个原理在几何学中有着广泛的应用。
我们来看一个经典的几何问题。
假设有一块矩形的农田，农民想要修建一条最短的道路连接农田的两个对角线上的两个点。
根据笛卡尔-费马原理，我们只需要找到这两个点之间的最短路径，就能得到最短的道路。
因为最短路径是直线，所以这条道路就是矩形的对角线。
笛卡尔-费马原理在解决这个问题时起到了关键作用。
它告诉我们，无论农田的形状如何，最短路径都是直线。
这个原理的应用使得我们能够在几何问题中更加简单地寻找最短路径，从而解决实际问题。
除了几何学，笛卡尔-费马原理在其他领域也有着广泛的应用。
在物理学中，它常常被用来描述光的传播路径。
根据笛卡尔-费马原理，光线在两个点之间传播的路径是最短的。
这个原理被应用于光的折射、反射等现象的解释中，为我们理解光的传播提供了重要的线索。
在工程学中，笛卡尔-费马原理也发挥着重要的作用。
例如，在设计光纤通信系统时，我们需要考虑信号传输的路径。
根据笛卡尔-费马原理，我们可以选择最短路径来传输信号，从而减小信号的传输延迟，提高通信质量。
这个原理在光纤通信领域得到了广泛的应用。
除了几何学、物理学和工程学，笛卡尔-费马原理还可以应用于其他领域。
例如，在交通规划中，我们可以使用这个原理来设计最短路径，优化交通流量。
在电子学中，我们可以利用这个原理来设计最短电路路径，提高电路的效率。
在计算机科学中，我们可以使用这个原理来设计最短路径算法，解决网络路由问题。
笛卡尔-费马原理是一个重要的数学原理，它在解决几何问题中起到了关键作用。
2021解析几何学的诞生及发展范文1
2021解析几何学的诞生及发展范文几何学论文精选10篇之第八篇：解析几何学的诞生及发展 摘要：解析几何的发明归功于法国数学家笛卡儿和费马，他们工作的出发点不同，但却殊途同归。
通过把坐标系引入几何中，将几何的"形"与代数的"数"对应起来，从而将几何问题转化为代数问题。
解析几何学的创立，开始了用代数方法解决几何问题的新时代，在数学思想上可以看作是一次飞跃，它使数学从常量的研究时期进入了变量的研究阶段。
近代数学本质上可以说是变量数学，变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。
解析几何的诞生体现了数形结合的思想，为17世纪的科学研究提供了迫切需要的科学工具，同时也为微积分的创立搭建了舞台，解析几何的诞生是数学发展史上一次划时代的变革[1]. 1解析几何学诞生的背景 古希腊亚历山大时期的著名数学家阿波罗尼奥斯写了八卷的《圆锥曲线》，其中有七卷流传下来，其中的内容被看作古希腊几何的登峰造极之作[2].但当时人们只是从静态的观点来研究圆锥曲线图形的性质的，即把他们看作是平面从不同角度圆截锥体而形成的。
文艺复兴时期人们研究行星运动和抛体运动，要求用运动和变化的观点研究圆锥曲线，即应用坐标几何把曲线看成是物体经过运动而生成的随时间的变化而变化的轨迹。
这些需要将代数学与几何学有机结合，从而开创出一个崭新的数学领域-解析几何学。
解析几何的真正发明要归功于法国的两位数学家笛卡儿（1596~1650）和费马（1601~1665） , 他们工作的出发点不同，但却殊途同归。
2笛卡儿与解析几何学 笛卡儿是法国数学家，物理学家和哲学家，是西方近代资产阶级哲学奠基人之一。
笛卡儿1596年出生于法国，其父亲是一名律师，他八岁进入教会学校学习。
曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后曾到丹麦、荷兰、瑞士、意大利等地游学，他的学术研究就是在军旅和游学途中作出的。
1637年，笛卡儿出版了著名的哲学著作-《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，通常简称《方法论》，书中有三个著名的附录：《几何学》、《屈光学》和《气象学》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中。
费马和笛卡尔创立解析几何的方法
费马和笛卡尔创立解析几何的方法
解析几何是数学的一个重要分支，有着深远的影响。
它以费马和笛卡尔为代表人物，在17世纪后期创立。
费马和笛卡尔是两个著名
科学家，他们都发展了自己的数学理论，为解析几何发展奠定了基础。
费马是现代数学的先驱，也是解析几何的创始人之一。
他的贡献是建立了数学的基本概念，例如：比例、等比数列等，并用它们来构建几何形状。
他发明了一种叫做“费马图像”的原理，这种思路可以用于研究几何形状的构图和最重要的周长和面积的表达方式。
费马的数学特征被广泛运用于理解实体几何形状和绘制测量，并发展出一整套几何原理，帮助人们更好地理解几何世界。
笛卡尔是一位英国数学家、哲学家，他发展了解析几何。
他将费马的数学特征与观察法结合在一起，研究几何性质论断的理论。
他的重要贡献是用笛卡尔坐标描述图形、元素、点和直线，以及找到几何性质论断的曲线等数学概念。
笛卡尔为几何的描述和研究奠定了基础，很多关于几何的概念都来源于他的思想，也得到了费马的大量应用。
费马和笛卡尔通过费马图形和笛卡尔坐标等方法，以及他们以前发展的数学概念，共同创立了解析几何。
解析几何是现代数学的重要分支。
费马和笛卡尔的创新思想和研究方法为当今的研究和应用奠定了基础，极大地影响了现代数学和理论几何的发展。
费马和笛卡尔为解析几何发展作出了杰出贡献，他们发明的数学方法和理论对于今天的几何学研究以及理论几何的发展都起着重要
作用。
在费马和笛卡尔的贡献下，解析几何从简单的几何性质演变成
今天的全面理论。
笛卡儿和费尔玛创立解析几何
笛卡儿和费尔玛创立解析几何解析几何的创立，主要归功于法国的笛卡儿和费尔玛．若内·笛卡儿(Rene Descartes，1596～1650)，通常把他看成是近代哲学的开创者．他的哲学著作焕发着一股从柏拉图到当时的任何哲学名家的作品中全找不到的清新气息．笛卡儿虽然是近代数学的开创者之一，但是确切地说，他在数学和自然科学上的成就，只是他哲学成果在科学上的表现．1596年3月21日，笛卡儿出生于法国图朗的拉艾，二岁丧母，深受父亲溺爱．父亲是布列塔尼地方议会的议员，握有一份还相当可观的地产．笛卡儿8岁那年(1604)被送到法国当时最好的学校“拉夫赖士的耶稣会学校”接受教育．八年中这个学校给他打下的数学根底，比当时在大多数大学里能够获得的根底似乎还强得多．1612—1616年笛卡儿遵父命去普瓦捷大学学习法律．因为感到巴黎的社会生活气氛十分繁嚣，于是退避到郊区圣日耳曼的一个隐僻处所，在那里研究几何学．然而朋友们还是刺探出了他的踪迹．他为了确保更充分的安静，便到荷兰投了军(1617)．由于那时候荷兰正太平无事，他似乎享受了两年不受干扰的沉思．然而， 30年战争(1618～1648年欧洲以德意志为主要战场的战争)一起，他又加入了巴伐利亚军(1619)．就在1619年到 1620年之间的冬天，他呆在巴伐利亚一间现在很有名的“火炉子”一般的房间里，整天潜思．据他自己述说，当他出来的时候，已经悟出了自己赋有的特殊使命，他的哲学也已经半成，笛卡儿是一个懦弱胆小、奉行教会仪式的天主教徒．1632年他完成了重要论文《宇宙论》(Le Monde)，但不敢发表，因为里面有两个异端学说：地球自转和宇宙无限．1637年他发表了《屈光、流星和几何学》，而他最有名的《方法谈》(Discours de La Method)就是这部选集的哲学导言．1641年笛卡儿发表了他的哲学杰作《第一哲学沉思集》，三年后出版巨著《哲学原理》，全面地阐述了他的形而上学和科学理论．笛卡儿在荷兰一住就是20年．由于法国驻斯德哥尔摩大使沙尼雨的介绍，他和瑞典克丽斯蒂娜女王有了书信往还，克丽斯蒂娜美丽、热情而博学．然而和大部分君主一样，以为自己既然是君主就有权浪费伟人的时间．女王请求笛卡儿亲临她的宫廷；派了一艘军舰去迎接(1649年9月)．女王想每天听笛卡儿讲课，但是除在早晨5点钟以外又腾不出其他时间．斯堪的纳维亚冬日的晨寒对不习惯起早、体质孱弱的笛卡儿实在是一种灾难．那时，沙尼雨又害了重病，笛卡尔又得去照料．大使健康复原，笛卡儿却病倒了，从此一病不起．1650年2月，这位哲学巨人终于长辞人世．笛卡儿对几何学的伟大贡献是发明坐标几何，固然还不完全是最后形式的坐标几何．他在《几何学》(中译本，袁向东译，商务印书馆，1992)中说：“在分析问题中，若认为该问题可解时，首先把要求出的线段与所求的未知量，用名称表出．然后，弄清已知和未知线段的关系，按照正确的逻辑顺序，用两种方法来表示同一量，并建立相等的关系，把最后得到的式子叫做方程式．”显然，笛卡儿几何是以“解析”作为基本的方法的，即把对图形的研究转化为对方程式的研究，这充分显示了笛卡儿的卓越睿智，确是几何学研究中的一次大革命．在上述思想指导下，他做了如下工作：(1)引入“坐标”观念根据笛卡儿的思想，当满足方程式的变数(x，y)变化的时候，坐标(x，y)的点画出的是曲线，从而，希腊人认为“线是点的集合”，笛卡儿却认为“线是点运动的结果”．由此，笛卡儿关于“线”的定义与希腊人的显著区别在于“动”与“静”．这种思维方法给牛顿等大数学家以莫大影响．(2)利用“坐标法”提出曲线表示成方程的思想考虑二元方程F(x，y)=0的性质，满足这方程x，y的值无穷多，x变化时y也跟着变，x、y不同数值所确定的平面上许多不同的点，便构成了一条曲线．这样一个方程就可以通过几何上的直观来采用合适的方法去处理．以后笛卡儿又进一步提出了用方程表示曲线的思想，即用代数的方法研究曲线的性质．笛卡儿创立了坐标几何，但并没有引入现今通用xoy直角坐标系．他只是在一条长为x的线段AB的端点B处，垂直地画一条长为y的线段CB，表示x与y 的对应．在17世纪的数学史上，另一位杰出的数学家是费尔玛(Pierre Fermat，1601～1665)．费尔玛，1601年8月20日出生于法国的图卢兹附近的一个皮革商家庭，大学时专修法律，毕业后当了律师，曾经任图卢兹议会顾问三十余年．费尔玛在30岁后才从事数学研究，由于他博闻饱学，精通数种文字，掌握多门自然科学知识，又结交了笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者，经常书信往来，讨论数学问题，因此他的成就诸多．可惜生前较少发表论著；多数成果留在手稿、通信或书页空白处，死后才由儿子整理汇集成书，在图卢兹出版，才被后世誉为“业余数学之王”．费尔玛也是解析几何的一位创立者．从他与帕斯卡以及罗伯瓦尔的通信中可知，早在笛卡儿的《几何学》发表以前，费尔玛已经提出了研究曲线问题的一般方法，他从希腊几何学的成就出发，用他所提出的一般方法，对阿波罗尼关于轨迹的某些失传的证明作出补充．1630年他把这一工作写成《平面与立体轨迹引论》的小册子．可惜它被拖延到了1679年才出版，那时费尔玛已经死了14年．费尔玛通过与帕斯卡的通信讨论赌金分配问题，得出正确解答，与帕斯卡、惠更斯一起被誉为概率论的创始人．17世纪的数论几乎是费尔玛的天下，证明和提出许多命题，如形如4n＋1的素数均能唯一地表示为两个平方数之和；如果P是素数，a是正整数，则 P│(a p-a)(费尔玛小定理)等．著名的费尔玛大定理是指方程x n＋y n=z n(n＞2)没有正整数解．费尔玛在页边写道：“我发现了这定理的一个极妙的证法，但页边太窄，写不下”．但是，这一极妙的证法显然有误．此后的三百余年，无数数学家为之奋斗，始终是一悬案．1993年6月，在美国普林斯顿工作的数学家 A·怀尔斯(Wiles)和英国数学家R·泰勒(Taylor)宣布已证明了费马的猜想．但证明中有些地方不妥，经过改进之后，在1994年获得世界公认．。
1.4.2费马与他的解析几何
剧情简介
本剧讲述了笛卡尔与克里斯汀公主因数学结 缘而引发的爱情故事，由狱中老年笛卡尔的回忆 展开叙事
在数学史上，一般认为 和笛卡尔同时代的法国 业余数学家费马也是解 析几何的创建者之一， 应该分享这门学科创建
的荣誉。
费马是一个业余从事数学研究的学 者，对数论、解析几何、概率论三 个方面都有重要贡献。他性情谦和， 好静成癖，对自己所写的“书”无 意发表。但从他的通信中知道，他 早在笛卡尔发表《几何学》以前， 就已写了关于解析几何的小文，就 已经有了解析几何的思想。只是直 到1679年，费马死后，他的思想和 著述才从给友人的通信中公开发表。
费马的解析几何原理
19
1629年，在“论平面和立体轨迹引论”的论文中，费马取一条水 平的直线作为轴，并在此直线上确定一点为原点。他考虑任意曲线和 它上面的一般点M。点Z的距离，E表示从Z到M的距离，ZM与轴线成固定α的 角。 （这里费马也是用倾斜坐标系，但y轴没有明显地 出现，而且不用负数）。
艾好的回信
亲爱的爸妈艾早： 来信收悉。儿在学校一切都好。
澡洗过，衣服洗过，头发理过，钱够 用，书也够看，文具纸笔还没有用完。 最近我对“费马大定理”很感兴趣，我 准备用一生的时间去研究它，不必惦 记，祝你们健康。
儿 艾好
费马大定理的定义
不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或 者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总 的来说，不可能将一个高x 于2次的幂写成两个同 样次幂的和。
还有一位十八世纪的法国数学家,女性,在那个充满偏见的封建时代 里，冒名“勒布朗先生”,进入巴黎的大学函授学习,并且和当年的 “数学之王”高斯通信探讨费马大定理。她终生未婚,死于乳腺癌。
笛卡尔与解析几何的故事
笛卡尔与解析几何的故事笛卡尔与解析几何的故事个人简介：笛卡尔（René Descartes）是法国哲学家、数学家和科学家，是西方哲学史上最伟大的思想家之一，他对数学学科的发展和贡献不仅仅在于他开发了笛卡尔坐标系和解析几何，还在几何学上提出了改革的观点，并在物理学、力学、生物学等学科上进行了重要的研究。
关于解析几何的发展，笛卡尔可以说是这门学科的奠基人。
他的思想来源于当时欧洲的数学家，如福尔摩斯和费马等学者。
但在他的研究中，笛卡尔建立新的理论框架，开发了新的技术手段，使解析几何成为一个独立的数学分支。
笛卡尔成为解析几何的奠基人解析几何是如何出现的呢？在笛卡尔之前，几何的研究方式是基于传统的古希腊几何学，其基础是欧几里得几何。
欧几里得几何是一种静态的几何学，主要通过建立平面、直线、圆等几何图形之间的关系来进行研究。
唯一的分析工具是朴素几何，没有其他工具来解决更广泛的几何问题。
并不是所有的问题都可以用朴素几何来解决。
例如：给定一条线段，如何在上面切出一个等于给定线段的线段呢？在朴素几何中，没有办法解决这个问题。
这就是解析几何产生的背景。
笛卡尔对解析几何的主要贡献是将几何问题与代数问题相结合。
他发明了笛卡尔坐标系，并提出结合代数与几何的方法来解决几何问题。
笛卡尔坐标系是一种由数学表示的几何图形，其中每个点都有唯一的x坐标和y坐标。
在笛卡尔坐标系中，几何图形可以表示为代数方程或方程组的解。
这种方法被称为解析几何。
例如：在坐标系中，一条直线可以用两个点的坐标表示为y = ax + b。
笛卡尔的方法也可以应用于非线性的问题，如圆、椭圆、双曲线等曲线的研究。
这种方法的主要优点是能够让一般性的几何问题与代数问题相互转化，从而扩大了解决问题的范围和效率。
解析几何的对数方法除了笛卡尔坐标系外，笛卡尔还提出了解析几何的对数方法。
基本思想是将曲线上的一个点的坐标用对数表示，这样可以将问题转换为代数的问题，从而更容易找到代数解。
费马和笛卡尔创立解析几何的方法
费马和笛卡尔创立解析几何的方法费马和笛卡尔是两位伟大的数学家，他们利用融合几何学技术和数学知识来创建几何学的解析学派，也就是现在所谓的解析几何学。
费马是一位著名的数学家，他曾使用狭义的代数和几何学知识来为真正系统地探索几何学提供基础，在17世纪，他发表了著名的《费马小定理》，而笛卡尔则以他在几何方面的贡献而闻名。
笛卡尔创立了代数几何学，他创建的数学理论成为现代解析几何的基础，并为数学家们提供了一种有效的方法来研究几何形状。
本文将详细阐述费马和笛卡尔创立解析几何的方法。
第一部分:费马的几何概念费马的几何学思想可以追溯到古希腊，他开创了几何学的数学领域。
他将数学与几何学紧密结合，他把几何学变成一门精确的数学科学，而不再只是解决几何问题的方法。
他认为，几何学的根本假设是不可矛盾的，因此可以使用数学和逻辑去推理求解几何学问题。
他的理论基础就是我们现在所熟悉的小费马定理，它被认为是历史上最重要的数学定理之一。
第二部分:笛卡尔的解析几何学笛卡尔也是一位著名的数学家，他使用费马的几何概念来创立了解析几何学。
笛卡尔创建的数学理论成为解析几何学的基础，它使用代数来描述几何形状，并为数学家们提供了一种精确的方法来研究几何形状。
笛卡尔最著名的数学成果是他的几何原理，他的几何原理表明，任何一个几何图形的性质都可以用一系列逻辑推理来表达出来，这些推理看似简单，但实际上却极具深度。
第三部分:费马和笛卡尔创立解析几何的方法费马和笛卡尔共同创立了解析几何学，它是一种将几何学和数学紧密结合的学科，它使用数学方法来描述几何形状，从而解决几何问题。
费马首先提出将数学与几何学结合起来解决数学问题的概念，他把几何学变成一门精确的数学科学，这一思想为笛卡尔创建解析几何学把手。
笛卡尔利用费马的理论基础，结合几何学和数学的知识，提出了一套有效的方法，用来研究几何形状，并用它来解决几何学问题。
笛卡尔还创立几何原理，该原理表明，任何一个几何图形的性质都可以用一系列逻辑推理来表达出来，这一原理也是解析几何学的核心概念之一。
费马的解析几何思想课件人教新课标(2)
谢谢观赏！
费马
17世纪的数论几乎是费马的天下，费马 大定理的魅力至今仍不减当年；在牛顿 (I．Newton)和莱布尼茨(G．W．Leib-niz) 之前，他为微积分的创建作了大量的准 备工作，取得十分出色的成果；他和帕 斯卡一起，分享了创建概率论的荣誉； 在解析几何上，他也是一位名副其实的 发明者． 关于解析几何的工作在于始于尽力恢复 失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面曲 线》而引起的，1629年《平面和立体轨 迹引论》也阐述了解析几何的原理。
费马猜想
整数解。 费马小定理：p为素数，(a, p) 1 ，则
a p1 1(mod p)
费马关于曲线与方程的思想
费马关于曲线与方程的思想，源于对阿 波罗尼兹圆锥曲线的研究。 他使用了倾 斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数表述 式。
费马与笛卡儿对解析几何贡献的不同
三、费马的解析几何思想
坐标几何与曲线方程思想
17世纪法国数学家笛卡尔和费马创 建的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几 何方法的局限性，认识到利用代数方法 来研究几何问题，是改变传统方法的有 效途径。 并为此开始了各自的研究工 作，把代数方程和曲线、曲面的研究联 系在一起
费马
费马(P．de Fermat， 1601—1665)是一 位多才多艺的学者．他在30岁以后才 开始进行数学研究．是一位数学天才， 尽管数学工作仅占据了他的一部分时 间，他那丰硕的成果却令人目不暇 接．
解析几何的发展史
总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。
运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。
坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。
解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……”
坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。
回答者：nanzong-举人四级 2-22 16:23
解析几何是数学中最基本的学科之一，也是科学技术中最基本的数学工具之一。
费马和笛卡尔都是解析几何的发明者
从上面的叙述我们可以看出，费马和笛卡尔两个人各自都在研究了坐标几何，但他们研究的目的和方法却有明显不同。费马着眼于继承古希腊的思想，认为自己的工作是重新表述了阿波罗尼的工作。
而笛卡尔批评了希腊人的传统，主张和这个传统决裂。虽然用方程表示曲线的思想，在费马的工作中更为明显，但应该说真正发现代数方法的威力的是笛卡尔。
三、一点启示
解析几何的重要性在于他的方法——建立坐标系，用方程来表示曲线，通过研究方程来研究曲线。苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的《解析几何》前言中说：“解析几何没有严格确定的内容，对它来说，决定性的因素，不是研究对象，而是方法。”“这个方法的实质，在于用某种标准的方式把方程（方程组）同几何对象（即图形）相对应，使得图形的几何关系在其方程的性质中表现出来。”
他对当时通行的代数也加以批评，说它完全受公式和法则的控制，不像一门改进思想的科学。因此它主张采取代数和几何中一切最好的东西，互相以长补短。它所作的工作就是把代数用到几何上去。在这里，他对方法的普遍兴趣和他对代数的专门知识，就组成了联合力量，于是就产生了它的《几何》一书。
在《几何》一书中，他开始仿照韦达的方法，用代数解决几何作图题，后来才逐渐出现了用方程表示曲线的思想。在《几何》第一卷的前一半中，笛卡尔用代数解决的只是古典的几何作图题，这只不过是代数在几何上的一个应用，并不是现代意义下的解析几何。
我们并不清楚费马的坐标几何研究怎样产生的，很有可能他是把阿波罗尼的结果直接翻译成代数的形式。他考虑任意曲线和它上面的一般点J，J的位置用A、E两个字母定出：A是从原点O沿底线到点Z的距离，E是从Z到J的距离。它所用的坐标，就是我们现在的斜坐标。但是Y轴没有明白出现，而且不用负数，它的A，E就是我们现在的X、Y。费马把他的一般原理，叙述为“只要在最后的方程里出现两各未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一， 其末端描绘出一条直线或曲线。“前面说的对不同位置的E，其末端J，J‘，J’‘……就把“线”描出，它的未知量A和E，实际是变数。或者可以说，联系A和E的方程是不定的。他写出联系A、E的各种方程，并指明它们所描绘的曲线。
解析几何发展
解析几何发展
解析几何的发展可以追溯到17世纪的法国数学家费马和笛卡尔。
费马在1629年提出了一种用坐标表示曲线的方法，奠定了解析几何的基础。
笛卡尔则在1637年提出了直角坐标系，将几何图形与代数方程联系起来，进一步推动了解析几何的发展。
在解析几何的发展过程中，许多数学家都做出了重要贡献。
例如，牛顿和莱布尼茨在微积分学的发展中，将解析几何与微积分相结合，为解析几何的发展注入了新的活力。
此外，高斯、黎曼等数学家也在解析几何领域做出了杰出的贡献。
在现代数学中，解析几何已经成为了非常重要的一门学科。
它不仅在基础数学研究中有着广泛的应用，还在物理学、工程学、计算机科学等领域有着重要的应用价值。
总之，解析几何的发展经历了多个阶段，许多数学家都为它的进步做出了重要贡献。
如今，解析几何已经成为现代数学中不可或缺的一部分，为人们解决实际问题提供了重要的工具和方法。
数学史笛卡儿解析几何
余论：笛卡儿解析几何思想的若干启示
从数学哲学的视角审思，笛卡儿解析几何折射出数学的内 在本质和外在特征：
(1)设若主观的数与客观的形统一为”量”，则量是数学的对象(解析几何 是代数与几何的统一)； (2)统一是数学的美学要求，追求数学内在的统一是数学活动的本质(数学 是宇宙的语言)； (3)对数学对象和本质的价值评价是数学发展的动力(数学方法是获得知识 和解决问题的普遍工具)； (4)数学是一种理性精神(数学地探索宇宙的信念、理性主义的哲学立场)； (5)数学是一种文化的累积、传承和发展(受惠于历史并创造历史)； (6)数学的发展与社会的发展息息相关(思想解放、生产发展、科学进步)。
笛卡儿创立解析几何的思维构想 笛卡儿的具体构想是： 1．几何量算术化 2．构造代数方程 3．求解轨迹方程 4．形成核心概念 5．笛卡儿与费马思维路径对比
几何量算术化与构造代数方程
几何量算术化 ： (1)从解决几何作图问题人手， 只要知道线段长度的有关知 识 ，就可以完成它的作图； (2)引入“单位线段”概念； (3)定义线段加 、减、乘、除、 乘方、开方的运算； (4)以特殊记号(a，b，c„ ．) 表示不同的线段； (5)用数可以表示所有的几何量， 而且几何量之间也可以进行 算术运算。 构造代数方程 ： (1)假设提出的几何作图问题 已经解决； (2)由于图形中已知线段与未 知线段之间必存在依赖关 系，而线段又可以用数和 字母表示，这样就可以构 造代数方程； (3)通过解方程，使之用已知 线段表示未知线段，最终 解决几何作图问题。
笛卡儿解析几何思想的文化内涵
解析几何思想产生的历史文化背景
1637年，笛卡儿发表了《更好地指 导推理和寻求科学真理的方法论》 (简称《方法论》)一书，这是一部 重要的哲学和方法论著作。在书中 三个附录之一的《几何学》中，笛 卡儿阐述了解析几何原理。与笛卡 儿几乎同时代的另一位法国数学家 费马在《平面与立体轨迹引论》 (1679年发表，但完成于 1636年以 前)这篇论文中，从研究不定方程解 的作图问题出发，也阐述了解析几 何原理。数学史上，笛卡儿与费马 被普遍认为是解析几何的共同创始 人。这种不约而同，蕴含着解析几 何思想的产生有其深刻的历史文化 背景。
费马和笛卡尔的解析几何世界.1doc
项目名称: 对比分析费马和笛卡儿在解析几何方面的创建工作报告人：指导教师:2012年12月25日摘要:解析几何学对近代数学的发展产生了重要的影响，解析几何的诞生促进了新时代的到来，对旧的数学做了总结，代数和几何相结合，引发的变量概念为物理学打基础。
这其中笛卡尔和费马为解析几何做了很大贡献，两者不同的解题思路也引发我们的思考。
关键词:笛卡尔费马解析几何坐标图形背景: 解析几何:解析几何系指借助坐标系，用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫做坐标几何17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。
在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。
解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生不可估量的作用解析几何的基本思想是在平面引进所谓的坐标的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对()，建立一一对应的关系，每对x y实数对()，都对应于平面上的一个点，反之每个点都应于它的坐标x y()，平面上一条曲线对f x y=0x y，，以这种方式可以将一个代数方程()应起来，于是几何问题归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
（一）笛卡尔的解析几何之路：从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
笛卡尔的方法论指导：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解.笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。
x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
从笛卡尔的《几何学》
1637年，法国的哲学家和 数学家笛卡尔发表了他的著作 《方法论》，这本书的后面有 三篇附录，一篇叫《折光学》， 一篇叫《流星学》，一篇叫 《几何学》。当时的这个“几 何学”实际上指的是数学，就 像我国古代“算术”和“数学” 是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图； 第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作 图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世 的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解 析几何的起点。
解析几何简介
解析几何是数学中最基本的学科之一,也是科 学技术中最基本的数学工具之一.十七世纪初,法 国数学家迪卡儿和费马首先认识到解析几何学产 生的必要和可能.他们通过把坐标系引入几何图形 中,将几何的基本元素—“点”,与代数的基本研 究对象—“数”对应起来,从而将几何问题转化为 代数问题,将曲线或曲面转化为方程、函数进行解 决。由于变量数学的引进，大大地推动了微积分 的发展，使整个数学学科有了重大进步，那次解 析几何的产生，可说是数学发展史上的一次飞跃.
数轴上的基本公式
一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量. 下列物理量中，不能称为向量的有 质量 速度 时间 位移 力 加速度
二.向量的表示
1. 几何法:用有向线段表示. 有向线段: 规定了起点、方向、长度的 线段 2. 代数法:用字母表示 向量
向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素 ;与起点无关,可以自由移动 。 （2）有向线段：起点、大小和方向三个要素，
(真) 2.起点不同,但方向相同且模相等的几个向量相等； (假) 3.若 a b
则
ab ；
(真) 4.若 a b , b c，则 a c ；
费马和笛卡尔创立解析几何的方法
费马和笛卡尔创立解析几何的方法
解析几何是一种以计算机数学为基础的数学工具，专门用于识别和分析图形物体的形状、大小、属性和反馈。
费马和笛卡尔是16世
纪末17世纪初，解析几何概念的创始人和推动者。
本文将着重介绍
他们创立解析几何的方法。
费马是16世纪末17世纪初，被公认为在数学领域做出了重要贡献的正统欧洲数学家。
他对几何学有着相当深入的了解，但他认为传统几何学并不足以表达复杂的图形几何形状。
因此，他发展了一种新的数学方法，旨在分析复杂形状的性质，这便是今天的解析几何。
费马通过将图形分解成若干几何图形，并计算几何图形的交点、距离、面积等参数，使复杂的几何形状变得清晰可见，以阐明图形的性质。
这种方法也成为费马定理。
笛卡尔是17世纪最杰出的数学家之一，也是解析几何的发展者。
他在《分析几何》一书中深入探讨了解析几何的原理，提出了“笛卡尔几何”这一概念。
笛卡尔几何是以直线和曲线为基础，把三维物体的表示和表示方式建立在一起的技术。
笛卡尔认为，只有当解析几何从表示角度来理解三维空间的时候，它才能真正揭示几何形状的本质。
笛卡尔更多地把注意力放在了描述图形性质的技术上，以求解复杂几何形状的性质，而费马则更多地关注于表述复杂形状形式的技术。
费马和笛卡尔发展解析几何的方法，给几何学带来了一个全新的视角和方式。
相比于传统几何学，解析几何更加重视复杂的几何形状的实际应用，从而为几何学的研究提供了更多的灵活性。
两位数学家
的成就，使得计算机数学取得了重大突破，为解析几何建立了一个新的框架。
他们的研究为数学、计算机科学以及其他学科的发展奠定了基础。
解析几何诞生的意义
解析几何诞生的意义解析几何诞生于17世纪的法国，数学家笛卡儿和费马通过把坐标系引入几何中，将几何的基本元素——点，与代数的基本研究对象——数对应起来，从而将几何问题转化为代数问题。
解析几何学的产生可以说是数学发展史上的一次飞跃。
它为17世纪数学最重要的成就之一——微积分的创立奠定了基础；解析几何把变量引入数学，因此完成或者简化了其他学科中一些定理的证明；同时，通过对图形方程的建立和研究将几何图形更好的应用到我们的生活中。
二、解析几何学的诞生是数学发展的需要公元前146年，罗马人征服了希腊本土。
公元前47年，凯撒纵火焚毁停泊在亚历山大港的埃及船队，大火延及该城，并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏书毁于一炬。
罗马统治者推崇的基督教的传播，迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰富的科学想象，使希腊数学蒙受了更大的灾难。
查封学园，禁止学习研究数学，使欧洲数学进入了漫长的黑暗时期。
15世纪，随着拜占庭帝国的瓦解，难民们带着包括古希腊文化在内的财富逃亡到意大利，从15世纪中期到16世纪末，这段时期在欧洲称为文艺复兴时期。
在这一时期，欧洲开始出现了大解放、生产大发展、社会大进步，包括数学在内的科学文化开始复苏并繁荣起来。
到17世纪，从封建社会内部产生出来的资本主义生产关系，处于它的上升时期，促进了社会生产力的迅速发展，远洋航行、矿山开采、机械制造以及资本的对外扩张，向自然科学提出了大量的问题，例如天体运行、钟表摆动、炮弹弹道、透镜形状等，所有这些，都已超出欧几里得几何学的范围。
费马和笛卡儿创立的解析几何学解决了以上问题，解析几何是代数与几何相结合的产物，通过把坐标系引入几何中，将几何的“形”与代数的“数”对应起来，从而将几何问题转化为代数问题，它把变量引入数学，使得人们借助数学对运动变化规律进行定量分析成为可能。
美国著名数学史家莫里斯·克莱茵指出：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。
笛卡尔费马
笛卡尔与费马姓名：杜仲凯学院：数学学院学号：10420110091596年3月31日，在法国都兰城的一个贵族家庭，一个婴儿出生了。
他被取名叫勒奈·笛卡儿，一个很普通的名字，可是谁也不会预料到，他会伟大到改变整个世界。
笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。
解析几何的创始人。
笛卡儿是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。
他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。
同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。
笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
哲学与数学思想对历史的影响是深远的。
他对人类历史、对整个社会的进步所起到的作用也是不可估量的。
人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。
”他自幼体弱多病，但学习很勤奋、又很聪明，喜欢沉思默想。
1616年，20岁的笛卡尔以最好的成绩获得法学博士学位。
为了丰富自己的知识，他决心出外游历，用他自己的话说：“去读世界这本大书”。
而当兵是当时一种最简便最经济的旅行方式，于是他入了伍。
遇上了贝克曼，遂成莫逆之交。
这位偶然交上的朋友，对笛卡尔影响很大。
用笛卡尔的话说：“他，把一个业已离开科学的心灵，带回到最正当、最美好的路上”。
他唤醒了笛卡尔对科学的兴趣。
他接受了传统的文化教育，读了古典文学、历史、神学、哲学、法学、医学、数学及其他自然科学。
但他对所学的东西颇感失望。
因为在他看来教科书中那些微妙的论证，其实不过是模棱两可甚至前后矛盾的理论，只能使他顿生怀疑而无从得到确凿的知识，惟一给他安慰的是数学。
在结束学业时他暗下决心：不再死钻书本学问，而要向“世界这本大书”讨教，于是他决定避开战争，远离社交活动频繁的都市，寻找一处适于研究的环境。
1628年，他从巴黎移居荷兰，开始了长达20年的潜心研究和写作生涯，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著。
费马和笛卡尔创立解析几何的方法
费马和笛卡尔创立解析几何的方法近两个世纪以来，解析几何的创立和发展一直处于学术界的焦点。
它为数学研究提供了一个基本的理论框架和工具，为更复杂的数学概念提供了基础。
费马和笛卡尔创立解析几何的方法是其发展史上一个重要的里程碑。
费马是一位伟大的17世纪数学家，他发明了许多有用的数学概念和原理，其中最重要的是他创立了解析几何的原理。
他指出，能够用数学的方法描述并解释几何中的物体，从而揭示几何中图形之间的联系。
通过精心设计的证明和解释，他建立了这一经典的数学框架。
费马发展解析几何的工作受到笛卡尔的极大影响。
笛卡尔提出了形式系统的概念，即通过数学的证明，仍然有效的复杂概念可以被简化，从而使其变得容易理解和表达。
笛卡尔的贡献在于他把费马为几何理论做出的贡献推向新的层次。
他提出了精确的平面坐标系统，使用数学证明，用于精确描述几何图形。
笛卡尔还提出了一组聪明的几何问题和模型，为费马提供了一套实用的工具。
费马和笛卡尔的贡献让解析几何变成了一门科学分支，它不仅建立了一套逻辑系统，而且开拓了一套求解几何问题的新方法。
它给几何学研究和数学教学带来了巨大的改变，而其影响仍然存在。
现在，许多现代几何课程仍然遵循费马和笛卡尔创立解析几何的原则，并以此为基础来教授新的进展。
费马和笛卡尔的工作是一阶段里程碑，它为今天的解析几何奠定了基础。
它的贡献不仅仅限于几何，而是对数学的发展有着深远的影响，今天，这种影响仍然存在。
它的影响对后世的几何研究也是巨大的，尤其是对创立曲线几何、微积分和其他数学专业的研究。
总之，费马和笛卡尔创立解析几何的方法，为当今几何研究和数学教学提供了基础，并且受到了普遍的认可。
他们的工作在几何领域取得了巨大成功，为世界数学史上非常重要，对数学的发展产生了重大影响。
后世学者仍然会继续探索创立解析几何的方法，从而丰富数学的理论体系，把它用于更复杂的数学模型和解释。
三费马的解析几何思想课件人教新课标
费马的解析几何思想
费 马 论 文
1629年，在“论平面 和立体轨迹引论”的论文 中，费马取一条水平的直 线作为轴，并在此直线上 确定一点为原点.他考虑任 意曲线和它上面的一般点 M.点M的位置用两个字母 A，E来确定，A表示从原 点O沿轴线到点Z的距离， E表示从Z到M的距离，
ZM与轴线成固α定的角 .
1650年，费马在论文“新型二阶或高 阶方程分析中的指标问题”中指出：一个 自变量的方程决定点的作图，两个自变量 的方程决定平面曲线的轨迹的作图.三个自 变量的方程决定空间中曲面的轨迹作图.
由对曲线性质的研究，费马得到了一 种相当于微分法的法则.当函数经过极值点 时，函数的前后两个值将是相等的：
f(A+E)-f(A)=0.
费马大定理（又称费马猜想）：n > 2 时，
方程 x2 + y2 = z2 没有正整数解.
这个问题曾吸引了欧拉、高斯、柯西等 许多大数学家一试身手，但都无功而返，该 猜想一直悬儿未决.直到1994年，英国数学家 维尔斯经过8年的努力终于证明了此猜想.此时 距离费马提出猜想已经300多年了.
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优先权的争议
当笛卡儿的《几何学》出版时，两位解 析几何发现者之间展开过一场有趣的争论.
笛卡儿当时知道费马的许多发现， 但否认自己的解析几何是从费马那里来 的.当笛卡儿《几何学》出版之际，费马 批评说笛卡儿书中没有极大值、极小值、 曲线的切线，以及立体轨迹作图法.
笛卡儿回答说:“费马几乎没有做 什么，至少作出了一些不费力气、不 需要预备知识就能得的东西，而自己 的《几何学》第三卷中用了关于方程 性质的全部知识，而费马的说法使人 认为他是我们的极大极小大臣”.
两人论战中都有自己的支持者，支持 费马的有帕斯卡等数学家，而追随笛卡儿 的有德扎格等.
笛卡尔与费马解析思想的主要区别
笛卡尔与费马解析思想的主要区别1．费马的思想方法．费马是十七世纪伟大的数学家之一．他出身于商人家庭，在都鲁斯学过法律，并以当律师谋生．研究数学是他的业余爱好．他自小喜欢博览群书，不仅精通多国语言和文学，而且喜欢自然科学，三十岁左右对数学发生强烈兴趣，特别注重于数论、几何、分析、概率论等方面的研究．他谦虚好静，平生很少发表文章，其研究成果大都是去世后在他的遗物中发现的，也有一些是他与朋友的通信中发现的．费马在数论方面发现了很多定理．他是一个伟大的直观天才，他提出的许多命题只有一个是错误的，其中还有一个尚未证明的定理——费马大定理．费马曾说他用自己首创的无穷下推法证明了这个定理，后人一直没有找到他的证明．费马的著作有《平面和立体轨迹引论》、《求最大和最小的方法》等．(1)引进坐标，系统地研究曲线的方程．1629年费马写成《平面和立体轨迹引论》，在这篇文章中他把希腊数学中使用立体图而苦心研究发现的曲线的特征，通过引进坐标译成了代数语言，从而使各种不同的曲线有了代数方程一般的表示方法．费马还具体地研究了直线、圆和其它圆锥曲线的方程．(2)通过坐标的平移和旋转化简方程．费马注意到了坐标可以平移或旋转．他曾给出一些较复杂的二次方程，然后通过平移或旋转将它们化为简单的形式．(3)空间解析几何思想的萌芽．1643年，费马在一封信中，曾简短地描述了三维解析几何的思想．2．笛卡尔的思想方法．笛卡尔1596年3月31日生于土伦的拉哈耶，父亲是个相当富有的律师．笛卡尔20岁毕业于普瓦界大学，去巴黎当了律师．在巴黎他认识了米道奇和梅森，花了一年时间和他们一起研究数学．当时有一种风气，即有志之士不是致力于宗教就是献身于军事．因此，笛卡尔赶了时髦，应征入伍，遍历欧洲．笛卡尔献身数学，完全出于一个偶然的机会．1617年服役期间，在荷兰布莱达遇到一张数学难题招贴，他看不懂上面的佛来米语，一位中年人热心地给他作了翻译，第二天他把解答交给那个中年人．中年人对笛卡尔的解答非常吃惊：巧妙的解题方法，准确无误的计算，说明了这位年轻士兵的数学造诣不浅．原来这位中年人就是当时有名的荷兰数学家别克曼教授．这使他自信有数学才能，从此开始在别克曼教授指导下认真地钻研数学．1628年，他移居荷兰，在较为安静自由的学术环境里住了二十年，写出了他的名著．笛卡尔的著作主要有《思想的指导法则》、《世界体系》、《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》等．《方法论》的附录之一《几何》中包括了他关于解析几何和代数的思想．笛卡尔的中心思想是要建立起一种普遍的数，使算术、代数和几何统一起来．其思想方法主要表现在以下几方面：(1)引入坐标观念．笛卡尔从自古已知的天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x，y)的对应关系，从而建立起坐标的观念．(2)用方程表示曲线的思想．笛卡尔把互相关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线．考虑二元方程F(x，y)=0的性质，满足这方程的x，y值无穷多，当x变化时，y值也跟着变化，x，y的不同的数值所确定平面上许多不同的点，便构成了一条曲线．具有某种性质的点之间有某种关系，笛卡尔说：“这关系可用一个方程来表示”，这就是用方程来表示曲线的思想．这样，就可以用一个二元方程来表示平面曲线，并根据方程的代数性质来研究相应曲线的几何性质；反过来，可以根据已知曲线的几何性质，确定曲线的方程，并用几何的观点来考察方程的代数性质．(3)推广了曲线的概念．笛卡尔不但接纳以前被排斥的曲线，而且开辟了整个的曲线领域．笛卡尔所说的曲线，是指具有代数方程的那一种．他认为，几何曲线是那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程来表示的曲线。
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项目名称: 对比分析费马和笛卡儿在解析几何方面的创建工作报告人：
指导教师:
2012年12月25日
摘要:解析几何学对近代数学的发展产生了重要的影响，解析几何的诞生促进了新时代的到来，对旧的数学做了总结，代数和几何相结合，引发的变量概念为物理学打基础。
这其中笛卡尔和费马为解析几何做了很大贡献，两者不同的解题思路也引发我们的思考。
关键词:笛卡尔费马解析几何坐标图形
背景: 解析几何:解析几何系指借助坐标系，用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫做坐标几何17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。
在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。
解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生不可估量的作用
解析几何的基本思想是在平面引进所谓的坐标的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对()
，建立一一对应的关系，每对
x y
实数对()
，都对应于平面上的一个点，反之每个点都应于它的坐标
x y
()
，平面上一条曲线对
f x y=0
x y
，，以这种方式可以将一个代数方程()
应起来，于是几何问题归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
（一）笛卡尔的解析几何之路：从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
笛卡尔的方法论指导：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解.
笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。
x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来
笛卡尔的基本思想几何问题算术化
（1）从解决几何作图问题入手，只要知道线段长度的有关知识，就可以完成他的。
笛卡尔的出发点是一个著名的希腊数学问题—帕波斯问题作图
（2）引入单位线段概念
（3）定义线段加,减，乘，除，乘方，开方的运算
（4）以特殊记号（a,b,c,…）表示不同的线段
（5）用数可以表示所有的几何量，而且几何量之间也可以进行数的运算：
例如求线段a与b乘积，则可以A为端点做射线AB和AC，设线段AB为单位1，AC等于a，AD等于b，联结BC，过D作DE平行于BC,则AE即是a与b乘积。
显然，若设AE等于c，则AC即是c与b的
商，再如求线段a 的平方根，则可以A 为端点作线段AD ，设线段AB 为单位1，BD 等于a ，取AD 中点O ，以O 为圆心，以AD 为直径作圆，过B 作BC 垂直于AD 交圆于C ，联结AC,CD,则BC 即是a 的平方根。
设在平面上给定3条直线123,,l l l ，过平面上的点C 作三条直线分别
与123,,l l l 交于点B,Q,R,交角分别等于已知角123,,ααα，求使
2CB CR kCQ =得点C 的轨迹；如果给定4条直线，则求使
k CB CR k CQ CS =（为常数）的点的轨迹。
笛卡尔的解法的大致步骤是：（1）设所求点C 已经找出，将AB 记为x ，CB 记为y
（2）根据三角形的边角关系，将CR,CS 及CQ 用x ，y 表示出来
（3）代入关系式CB*CR=CS*CQ,经整理就得到了满足帕普斯问题的C 的轨迹方程22y ay bxy cx dx =+++，其中a,b,c,d 是由已知量组成的简单代数式
（二）费马的解析几何之路：1629年以前，费马便着手重写阿
波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。
他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。
并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
但在1679年前很少有人了解费马的开创性工作。
《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。
他指出：“两个
未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。
”费马的发现比勒奈·笛卡尔发现解析几何的基本原理还早七年。
费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。
1629年，在论平面和立体轨迹引论的论文中，费马取一条水平的
直线作为轴，并在此直线上确定一点为原点，他考虑任意曲线和他上
面的一般点M ，点M 的位置用两个字母A,E 来确定，A 表示从原点O 沿轴线到点Z 的距离，E 表示从Z 到M 的距离，ZM 与轴线成固定的角α。
222222
:):d a x by
b x y x ky -=-=-=直线（圆椭圆:b
费马后来还定义了新曲线,
m n n m n
和
x y a y ax r aν
===
（三）两人的解析几何对比：对比两人的解析几何,两人研究解析几何的方法不同，切入问题的角度不同，表达方式也大相径庭。
首先，费马主要是继承了希腊人的思想，他比较全面系统的叙述了解析几何的基本原理，但他的重点在完善阿波尼奥斯的工作且沿用了韦达以字母表示数的思想，而笛卡尔则从批判古希腊的传统出发，走的是革新古代方法的道路。
笛卡尔的方法更具有一般性，适用围更加广泛。
其次，费马从方程发研究它的轨迹，笛卡尔则从轨迹开始建立他的方程，前者是从代数到几何，后者是从几何到代数，从历史的发展角度来看，笛卡尔的几何学更胜一筹，更具有突破性。
我们今天大多数会在做圆锥曲线问题是运用解析几何的思想，在平面直角坐标系上解决所遇到的问题，在解决立体几何体是会运用建立直角坐标系的方法，算出角边的关系，或垂直或平行，或者计算空间角，而无论是怎么计算，都会运用到笛卡尔和费马的思想，解析几何问题的解决过程，和他们的创建过程密不可分：
下面两题是我们今天利用解析几何解决的问题，综合运用前人所讲知识：
利用解析几何的实例:
例1；已知两点A（-2，-2）和B（2,2），求满足条件4
MA MB
-=的动点M的轨迹方程。
解；动点M 在轨迹上的充要条件是4MA MB -=，用点M 的坐标（x ，y ）来表达就是
4=
4= （2）
两边方程整理得2x y =+- （3）
再两边平方整理得2xy = （4）因为方程（2）和（3）同解，而方程（3）和（4）却不同解，但当方程（4）附加了条件20x+y x y +-≥≥即2后，方程（3）和（4）同解，从而方程（4）和（2）同解，所以方程2xy =（x+y ≥2）为所求动点M 的轨迹方程。
例2；已知两直线121x-111:,110110
x y z y z l l +--====-： 试证明两条直线为异面直线，并求直线间距离与他们的公垂线。
解:因为直线过点1M （0,0，-1），方向向量为}{11,1,0ν=-，而直
线2l 过点2M （1,1,1），方向向量为}{21,1,0ν=，从而有
12121
12(,,)11040110v v M M ∆==-=≠
所以两直线为异面直线。
又因为1l 与2l 的公垂线0l 的方向向量可取为}{120,0,2νν⨯=，
所以1l 与2l 之间的距离为:
121212(,,)
422
d v v M M v v ===⨯ 根据公垂线计算公式可得：11100
00211111000
02x y z x y z ⎧+⎪-=⎪⎪⎪⎨---⎪⎪=⎪⎪⎩
即00
x y x y +=⎧⎨-=⎩ 这了公垂线的方程又可以写成00
x y =⎧⎨=⎩显然他就是z 轴。
综合上两题可看出，笛卡尔和费马从两个对立的方面考虑问题，
但是达到了一样的效果，都发现了解析几何，从中可以看出，从不同的出发角度看问题，可看到不同的结果，在学习中，我们也要善于发现，乐于总结，最终在实践中掌握真知，更好的运用到生活当中。