几何最值问题总结

几何最值问题总结

基本思想：

1、利用轴对称转化为：两点之间的距离——两点之间，线段最短（将两点之间的折线段转化为两点之间

的直线段）；

2、利用三角形两边之和大于第三边。两边之差小于第三边；

3、利用一点到直线的距离：垂线段最短——将点到直线的折线段转化为点到直线的垂线段；

4、利用特殊角度（30°，45°，60°）将成倍数的线段转化为首尾相连的折线段，再转化为两点之间的

直线段最短。

5、找临界的特殊情况，确定最大和最小值。

基本类型：

一、直接利用公理/定理求最值

1、利用两点之间线段最短

问题1：如图，有A、B、C、D四个村庄，现准备打一口井，使得水井到四个村庄的距离之和最短，请确定水井的位置。

问题解析：如图，连接AD和CB，AD和CB的交点就是所求的水井的位置所在点。

此时最短的距离就是：AD+CB的长度。

策略分析：如果不在E点，比如说在T点，那么根据三角形两边之和大于第三边得到：

AT+DT＞AD，且CT+BT＞CB，于是AT+DT+CT+BT＞AD+CB。所以水井所在位置只能

在AD与CB的交点处，才能使其到四个村庄的距离之和最小。

问题2：边长为a的正三角形ABC在第一象限，两顶点A、B分别在x轴上和y轴上移动，点C在第一象限，那么点C到原点O的最大距离是_____________

问题解析：点C到原点O的距离，直接连接OC肯定不能保证其是最大值。

但是注意：直角△AOB的斜边AB是等边三角形ABC的一边，等于a，而直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就是a/2，并且等边△ABC边上的中线

也是定值，所以设AB边上的中点为D，连接OD，CD，则OD=a/2，CD=，

在一般情况下，当O、D、C不在一条直线上（不共线）时，总有CD+CD＞OC，

所以当O、D、C三点共线时，OC=CD+OD，取得最大值：a/2+

策略分析：不能直接转化为两点之间的距离的题目，可以利用几何图形的性质转化为“折线和”，在利用三角形三边长短关系或两点之间线段最短的性质得到结论。

2、利用点到直线的距离中垂线段最短

问题：△ABC中，一点P在边AC上运动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为_____________

问题解析：因为AB=AC=5，所以AP+CP=5是定值，于是AP+BP+CP要取得最

小值，就只需要BP取得最小值。显然BP是AC所在直线外一点B到直线AC

的距离，可知点到直线的距离中垂线段最短，所以当BP⊥AC时，BP最短。

策略分析：我们通常需要将一些定长的线段剔除掉，专注于去考虑变化的线

段的取值，转化为定点到定直线的距离，再利用“点到直线的距离中，垂线段最短”来求解。

几何最值中，经常会利用对称、旋转、平移等变换将那些比较分散的线段转移到适当的位置（一般而言，这些适当的位置包括：构成定点到定直线的直线或者折线距离、构成两点之间的直线或者折线距离：总体思想是：移动后的线段最好要首尾相连，构成一条首尾相连的折线段或直线）

二、利用轴对称型

1、原始模型：牛饮水模型（一定直线+两定点+一动点：两定点在直线的同侧）

模型描述：点A是农场，现在需要将牛牵到河MN处去饮水，然后在赶到B处的草场去吃草，那么牛从A 出发，饮水完后再到草场B，走的最短路程是多少___________

问题解析：定直线是MN，两个定点分别是A、B，一个动点为P，即牛饮水

的地方。现作A点关于MN的对称点A’，连接A’B，与MN的交点即为牛饮

水的点P，此时牛所走的路程AP+BP最短。

策略分析：如果不作A关于MN的对称点，那么AP和BP始终不能利用两点

间线段最短的性质，当作了A关于MN的对称点A’后，AP就转化为A’P（AP=A’P），求AP+BP的最小值就是求A’P+BP的最小值，此时A’P和BP就成了首尾相连的折线段。再利用两点之间线段最短的性质，可知A’、P、B必须共线，A’P+BP才最短，就是线段A’P的长度。所求的P点就是A’P与MN的交点。如果该点不在P点，而在比如说T点，如图，则有牛所走的路程为AT+BT=A’T+BT，在△A’TB中，始终有A’T+BT＞A’P。可知除了P的之外的任何一点，都有牛所走的路程大于AP+BP。

2、一定直线+两定点+一动点模型：两定点在直线的同侧

问题描述：在直线MN的同侧有两定点A、B，在直线MN上找一点P，

使得|AP-BP|最大。

问题解析：连接AB并延长交MN于点P，此时点P就是使得|AP-BP|最

大（此时AP-BP=AB）的点。

策略分析：两定点在直线同侧，在直线上求一点使两定点到动点的距离只差绝对值最大时，只需要连接两个定点，并延长使其与直线相交，交点就是要求的点P。假如不是交点P，而是另外一点，比如说T，如图，那么在△ABT中，始终有AT-BT＜AB，只有当点A、B、T不能形成三角形时，AT-BT=AB，这个时候T点就

在P 点的位置。

3、一定直线+两定点+一动点模型：两定点在直线的异侧

问题描述：在直线MN 的异侧有两个定点A 、B ，在直线上找一点P ，使得|AP-BP|的值最大。

问题解析：如图，作点B 关于MN 的对称点B’，连接AB’，并延长交MN 于点

P ，此时的点P 就是使|AP-BP|最大的点，|AP-BP|=|AP-B’P|=AB’。

策略分析：若是求AP+BP 最小，显然就是连接AB ，求AB 的长即可。但是求

|AP-BP|的最大值，就需要将B 转化到和A 的同侧去。假如不是点P ，而是除P

点外的另外一点，比如点T ，如图，在△ATB’中，始终有AT-BT=AT-B’T ＜AB’，只有当A 、T 、B’不能形成三角形（A 、T 、B’共线时）时才有AT-BT=AT-B’T=AB’，此时点T 与点P 重合。

4、两直线+一定点+一动点模型

问题描述：如图，已知两定直线a 和l ，其中定直线l 上有一个定点A ，在定直线a 上有一个动点P ，请找到使PA 和点P 到直线l 的距离之和最小的点P 的位置。

问题解析：作点A 关于直线a 的

对称点A’，再过A’作直线l 的垂

线A’，交直线a 于点，交直

线l 于点，可知就是使得

AP+BP 最小的点P 的位置。他们的

最小值就是线段A’B 0的长度。

策略分析：如左图，只有点A 是定点，点P 和B 都是动点，并且点A 和最后确定的点B （垂足，因为先从A 引一条线段AP 交直线a 于点P ，再过P 作直线l 的垂线，最后确定出点B 的位置，所以说点B 是A 、P 、B 三个点中最后确定下来的）在同一条直线上，此时需要利用对称将定点放在动点P 所在直线的另一侧，才能利用点到直线的距离中垂线段最短的性质来求线段和的最小值。除之外的任何一点，比如说点P ，就有AP+BP=A’P+BP ＞A’B ＞A’B 0，只有当A’、P 、B 三点共线，且A’B 垂直于直线l 时，点B 与点B 0重合，点P 与点P 0重合，才能使AP+BP=A’P 0+B 0P 0=A’B 0，即取得最小值。

5、两直线+一定点+两动点型模型

问题描述：如图，在∠AOB 内部有一个定点P，在OA 边和OB 边上是

否存在点M 和N，使得△PMN 的周长最小？

问题解析：作点P 关于OB 的对称点P＇＇，关于ＯＡ的对称点Ｐ＇，连接

Ｐ＇和Ｐ＇＇，交ＯＡ和ＯＢ于点Ｍ０和Ｎ０，则Ｍ０和Ｎ０就是使得△ＰＭＮ