第四讲 趋势外推法

1 1 a bt e yt L L
令 则有
1 1 a b Yt ,K ,A ,B e yt L L
年份
1963 1964 1965 1966 1967
时序 （t）
12 13 14 15 16
总额 （ yt ）
604.5 638.2 670.3 732.8 770.5
年份
1974 1975 1976 1977 1978
时序 （t ）
23 24 25 26 27
总额 （ yt ）
1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6
差分特性 使用模型
一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等
三阶差分相等或大致相等 环比相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等
一次线性模型 二次线性模型
三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
多项式趋势预测模型及应用
特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法

y t a bt
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
2
ˆt aebt (4) 进行指数曲线模型拟合。对模型 y 两边取对数：ln y ˆt ln a bt 产生序列 ln yt ，之后进行普通最小二乘估计该 模型,最终得到估计模型为：
ˆt 303.69 e0.0627t y
F 632.6 F0.05 (1,30) ，则 其中调整的 ， 方程通过显著性检验，拟合效果很好。标 准误差为：175.37。

y t , t 0,1,2,3n 1
S1 y t , S 2 y t , S 3 y t
t 0 t n t 2n n 1 2 n 1 3n 1
于是得A、B、K的估计式为
1 S3 S 2 n B S S 1 2 B 1 S 2 S 1 A 2 n B 1 n S S 1 B 1 1 2 1 K S A S 1 1 n n n B 1 B 1
指数曲线预测模型:


y t 14.8768e
0.1098t
0.10987 预测1999年的产量 y 32.1 1999 14.8768e
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
y t 7.54 0.67t
1999年对应的t=5 预测该年的工业总产值

y 1999 7.54 0.67 5 10.89
指数曲线趋势外推法
一、常见的指数曲线模型 指数曲线预测模型：
y t Ae
bt
修正指数曲线预测模型:

y t K AB
t
二、模型的选择 广义差分法 对于指数曲线,一阶差比率(也称环比)为常数 对修正的指数曲线,一阶差分比率
1979 1980
1981 1982 1983
28 29
30 31 32
1800.0 2140.0
2350.0 2570.0 2849.4
（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为x轴。
（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为：
1 ae
皮尔曲线适用于生物繁殖、人口发展统计与预测;尤其适合处 于成熟期的商品或技术的发展趋势分析与预测。
模型的识别:
1 1 1 1 b 倒数的一阶差分比率为 e y 模型的参数估计及应用: t yt 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt 1 yt 2
1957 1958
1959 1960 1961 1962
6 7
8 9 10 11
474.2 548.0
638.0 696.9 607.7 604.0
1968 1969
1970 1971 1972 1973
17 18
19 20 21 22
737.3 801.5
858.0 929.2 1023.3 1106.7
二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型：
一次（线性）预测模型：
ˆt b0 b y 1t
2 ˆ 二次（二次抛物线）预测模型： yt b0 b1t b2t
2 3 ˆ y b bt b t b t 三次（三次抛物线）预测模型： t 0 1 2 3
一般形式：
ˆt b0 b1t b2t 2 bk t k y
生长曲线趋势外推法
一般产品(或技术)的发展,基本上都要经历一个萌芽、 发展、成熟、衰落的过程。 这里介绍两种能够较好地描述产品或技术生命周期规 律的典型S型生长曲线模型:皮尔曲线和龚珀兹曲线模 型。 一、皮尔曲线模型及其应用 皮尔(Pearl)是美国生物学家和人口统计学家,提出了著 名的S型生长曲线模型: L 其中,参数L、a、b为正数。 yt bt
0.6
0.5
0.7 0.6 0.8 0.6 0.8 0.8
解:若画出散点图,看出,时间序列呈明显的线性趋势。 计算一阶差分,基本上接近一个常数,其波动范围在 0.5～0.8之间。因此,可配一元线性时间回归模型进行 预测。 利用如上公式,易得 b 0.67, a 7.54 回归模型为
为计算方便,仍然约定
tYt t ln y t b 2 t t2 1 a 1 Yt ln y t T T
t 0
于是
Ae

a

yt Ae

bt

例2:某自行车厂最近几年产量数据如下表所列,试预测
该厂1999年的产量。 1993 1994 1995 1996 1997 1998 年份 -5 -3 -1 1 3 5 t值 产量yt (万 8.7 10.6 13.3 16.5 20.6 26.0 辆) _ 1.2 1.3 1.2 1.2 1.3 环比

所求修正指数曲线预测模型: 预测2000年的社会总需求量:
y t 73.1738 22.2719 0.5556 t

y t 73.1738 22.2719 0.5556 9 73.1
此例反映了这样的时间序列变化规律: 初期迅速增加,一段时期后增长量逐渐降低,而逐增 长量的环比速度又大体上一致,最后发展水平趋向于 某一正的常数极限,那么,这种时间序列的发展趋势就 适宜用修正指数曲线来描述和预测。
套用参数估计公式,注意到,yt一般都是等间隔的时期或时点 指标值,它与时间t并无严格的因果关系。时间t的取值只起 到一种标明事物发展先后次序的作用,只要保持t的等间隔性 及其先后次序,我们可以给t赋以任何数值。通常让t的T个取 值以原点为对称,从而有 tyt 化简公式为
t 0
b t a 1 y T
R 2 0.9547
（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发 现采用二次曲线模型拟合的效果更好。因 此，运用方程：
2 ˆ yt 577.24 44.33t 3.29t
进行预测将会取得较好的效果。
修正指数曲线模型的参数估计及应用
对于修正指数曲线模型 y t K AB t 一般0<B<1, y=K为其渐进线水平。 用三段总和法来估计参数,设时间序列的数据为
指数曲线预测模型： 一般形式 ：
ˆt ae y
bt
修正的指数曲线预测模型 ：
ˆt a bc y
t
对数曲线预测模型：
ˆt a b ln t y
生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型 ：
L yt 1 ae bt
龚珀兹曲线预测模型 ：
ˆ t ka y
bt
三、趋势模型的选择方法 经验法: 数学和经济分析结合,选定模型 图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将 时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察 值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函 数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适 的模型。 有时所绘图形与几种数学模型的曲线相近,可 试算,计算回溯拟合值,选择均方差最小的模型。

将 t 19 代入模型,得到2003年我国卫生 机构总人数的预测值:
y19 615.641 205.667 (0.9172)19 575.832

例5:某商品1991年投放市场以来,社会总需求量统计资料如下表
所列,试预测2000年的社会总需求量。
年份
总需求量 一阶差分
1991
SE
2 ˆ ( y y )
n
例3:下表是我国1952年到1983年社会商品零售 总额(按当年价格计算），分析预测我国社会商 品零售总额 。
年份
1952 1953 1954 1955 1956
时序 （t）
1 2 3 4 5
总额 （ yt ）
276.8 348.0 381.1 392.2 461.0
50.0 _
1992 1993
60.0 10 68.0 8
1994
69.6 1.6
1995
71.1 1.5
1996
71.7 0.6
1997
72.3 0.6
1998
72.8 0.5
1999
73.2 0.4
一阶差分 比率
_
_
0.8
0.2
0.94
0.4
1.0
0.83
0.8
解:描散点图,初步确定模型; 计算一阶差分比率,进一步验证选用修正指数曲线模型是否合适; 估计模型参数。
2 ˆ yt b0 b1t b2t
适用的指数曲线模型为：
bt ˆ yt ae
2 （3）进行二次曲线拟合。首先产生序列 t ，得到 估计模型为： y ˆt 577.24 44.33t 3.29t 2
其中调整的 R 0.9524 ， F 290 F0.05 (2, 29)， 则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误 差为151.7。
yt yt yt 1 B yt 1 yt 1 yt 2
当时间序列算得的一阶差分比率大致相等时,就可以 配修正指数曲线模型进行预测。
指数曲线模型的参数估计及应用
bt 对指数曲线模型 y t Ae 取对数,作变换,转化为直线模型。
ln y t ln A bt Yt ln y t , a ln A Yt a bt
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆt K abt y
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线 模型为:
yt 615.641 205.667 (0.9172)t
2
t
例1:某市最近几年工业总产值资料如下表所列,试预测
1999年该市的工业总产值。 年份
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
t值
工业总 产值yt 一阶差 分
-4
5.0
-3
5.6
-2
6.1
-1
6.8
0
7.4
1
8.2
2
8.8
3
4
9.6 10.4
_
趋势外推法
一、趋势外推法概念： 如果通过对时间序列的分析和计算, 能找 到一条比较合适的函数曲线来近似反映社会经 济变量y关于时间t的变化和趋势,那么当有理 由相信这种规律和趋势能够延伸到未来时,便 可用此模型对该社会经济现象的未来进行预测, 这就是趋势外推法。
趋势外推法的两个假定： （1）社会经济现象的发展过程是渐进的,没有跳跃 式突变； （2）社会经济现象未来与过去的发展变化规律基本 一致。