2020南京市一中高三数学周练一试卷含参考答案

16．（本小题满分 14 分） 在三棱锥 S—ABC 中，平面 SAB⊥平面 SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过 A 作 AF⊥SB，垂足为 F，
点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点． （1）求证：平面 EFG∥平面 ABC． （2）求证：BC⊥SA．
S
S
E
G
F
A
C
17．（本小题满分 14 分）
离为 2a ，则该双曲线的离心率为
．
( ) ( ) 8 ． 若 将 函 数 f(x) 的 图 象 向 右 平 移 π 个 单 位 后 得 到 函 数 y = 4sin 2x − π 的 图 象 ， 则 f π
6
3
4
=
．
9．已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a2 + a9 = 8 ， S5 = −5 ，则 S15 的值为
19．（本小题满分 16 分）
1 已知各项都是正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2Sn＝an2＋an，数列{bn}满足 b1＝2，
2bn+1
=
bn
+
bn an
．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足 cn
=
bn + 2 Sn
，求
c1＋c2＋…＋cn 的和；
（3）是否存在正整数 p，q，r(p<q<r)，使得 bp，bq，br 成等差数列？若存在，求出所有满足要 求的 p，q，r；若不存在，说明理由．
答：两条观光线路距离之和的最大值为 6 千米．
18．（本小题满分 16 分）
（1）由题意 b 2,e c 2 ，可得 a2 8,b2 c2 4 ，
a2
则椭圆的标准方程为 x2 y2 1 ； 84
（2）由（1）可得 P 点坐标为 P(2, 2) ，则 Q(2, 2) ，
+L
+1 an2
1． 3
南京一中高三数学周练一参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．请把答案写在答题纸的指定位置上．
1．{ x 1 x 2 } 2．2
6． 2 5
7． 5
11．[4，16]
12． 2 1
3．8 8．4 13．3
4．10 11
9．135 14． 3
（1）求线段 MN 的长度；
（2）若∠MPN＝60°，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值．
P C
N
A
M
B
第 17 题图
18．（本小题满分 16 分）
x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的上顶点坐标为(0，2)，离心率为 2 2．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
∴ EF ∥ AB ，
∵ EF 平面 ABC ， AB 平面 ABC ，
∴ EF ∥平面 ABC ；
同理 EG ∥平面 ABC ．
又 EF EG E ， ∴平面 EFG ∥平面 ABC ． （2）∵平面 SAB 平面 SBC ，且交线为 SB ，又 AF 平面 SAB ， AF SB ， ∴ AF 平面 SBC ， ∵ BC 平面 SBC ， ∴ AF BC ， 又因为 AB BC ， AF AB A ， AF 、 AB 平面 SAB ， ∴ BC 平面 SAB ， ∵ SA 平面 SAB ， ∴ BC SA ．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 f(x)＝lnx－ax 在 x＝2 处的切线 l 与直线 x＋2y－3＝0 平行．
（1）求实数 a 的值；
1 （2）若关于 x 的方程 f(x)＋m＝2x－x2 在[2，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数 m 的取值
范围；
1
3
（3）记函数 g(x)＝f(x)＋2x2－bx，设 x1，x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个极值点，若 b≥2，且 g(x1)
MN sin MPN

PM
sin 120

PN sin
3 2 sin 60
3．
所以 PM 2 3 sin 120 ， PN 2 3 sin ，
因此 PM PN 2 3 sin 120 2 3 sin
2
3
3 2
x1

x2
1 PQ 2
(x1 x2 )2 4x1x2 1 2 2
24
2
6 m2 8 3
6 m2 ≤ 8 6
3
3
∴当 m 0 时，四边形 APBQ 面积最大值为 8 6 ； 3
②由题意，因为 APQ BPQ ，则直线 AP 斜率与直线 BP 斜率互为相反数，
①设直线 AB 方程为 lAB : y
1 x m ，联立椭圆方程 2
x2 8

y2 4
1，
化简可得 3 x2 2mx 2m2 8 0 ， 2
设
A( x1 ,
y1 ),
B(x2 ,
y2 )
，则
x1

x2


4m 3
,
x1x2

4m2 16 3
，
S APBQ

1 PQ 2
B 第 16 题图
如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台 P，已知 射线 AB，AC 为两边夹角为 120°的公路（长度均超过 3千米），在两条公路 AB，AC 上分别设立游 客上下点 M，N，从观景台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得 AM＝ 3千米，AN＝ 3千 米．
－g(x2)≥k 恒成立，求实数 k 的最大值．
附加题
21．【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区 域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
已知矩阵
A
=
3 2
3 4
．
（1）求 A2；
（2）求矩阵 A 的特征值和特征向量．
南京一中高三数学周练一（线上测试）
2020.2.19
1．限时训练 120 分钟＋30 分钟．
2．请同学们认真作答，不要上网查答案．写完后，根据答案的评分标准严格批改并上传．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．请把答案写在答题纸的指定位置上．
1．已知集合 A = { x | 0 x 2 }， B = { x | −1 x 1}，则 A U B =
．
2．设复数 z 满足 z (2 − 3i) = 6 + 4i （其中 i 为虚数单位），则 z 的模为
．
3．已知 a1 ，a2 ，a3 ，a4 的方差为 Leabharlann Baidu，则 2a1 + 1，2a2 + 1，2a3 + 1，2a4 + 1 的方差
为
．
4．右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为
．
5．函数 f (x) = log2x − 2 的定义域为
．
6．袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 2 只白球，3 只红球，从中一次
随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色相同的概率为
．
S←0 For i From 1 To 10 Step 1
S←S＋i(i＋1 1)
（第 4 题）
7．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2 − y 2 = 1(a 0,b 0) 的一个焦点到一条渐近线的距 a2 b2
设直线 AP 的方程为 lAP : y
2 k (x 2) ，联立椭圆方程 x2 y2 1 ， 84
化简可得 1 2k2 x2 (4 2k 8k2 )x 8k2 8 2k 4 0 ，设 A(x1, y1), P(x3, y3 ) ，
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线
l:
2
sin(
−
4
)
=
m(m

R)
，圆
C
的参数方程为

x y
= =
1+ 3cos t −2 + 3sin
t
（t
为参数）．当圆心
C
到直
线 l 的距离为 2 时，求 m 的值．
（1）若 P( X = 6) = 2 ，求 m 的值； 5
（2）当 m=3 时，求 X 的分布列．
23．（本小题满分 10 分）
已知数列{an}是等差数列，且 a1，a2，a3 是 (1+ 1 x)m 展开式的前三项的系数． 2
（1）求 m 的值；
1 （2）当 n≥2 时，用数学归纳法证明： an
+1+1 an+1 an+2
（2）若椭圆 C 上的点 P 的横坐标为 2，且位于第一象限，点 P 关于 x 轴的对称点为点 Q，A， B 是位于直线 PQ 异侧的椭圆 C 上的动点．
1 ①若直线 AB 的斜率为2，求四边形 APBQ 面积的最大值；
②若动点 A，B 满足∠APQ＝∠BPQ，求证：直线 AB 的斜率是为定值，并求出该定值．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
箱中装有 4 个白球和 m(mN*)个黑球．规定取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分，现从
箱中任取 3 个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量 X 为取出的 3 个球所得分数之和．
．
10．已知
sin sin( + 2
)
=
1 3
，则
tan(
+
3
)
=
．
3
11．已知点 A、B 是圆 O： x2 + y2 = 4 上任意两点，且满足 AB＝ 2 3 ．点 P 是圆 C：(x＋4)2＋(y
uuur uuur
＋3)2＝4 上任意一点，则 PA + PB 的取值范围是
．
12．若正实数
7 6

．
于是，当 x ，即 x 0 时， f x 取到最大值 3；
66
当
x
6

，即
x

5 6
时，
f
x 取到最小值 2
3．
16．（本小题满分 14 分）
（1）∵ AS AB ， AF SB ，垂足为 F ，
∴ F 是 SB 的中点，又因为 E 是 SA的中点，
x，y
满足
xy
=
x x
+ −
y y
，则实数
x
的最小值为
．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y＝2x 上在第一象限内的点，B(5，0)，以 AB 为直径的
圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若 AB⊥CD，则点 A 的横坐标为
．
14．已知函数 f (x) =| x3 − ax − b | ， x [−1,1]， a ，b R ．若 f (x) ≤ M 恒成立，则当 M 取得最小值
时， a + b 的值为
．
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请 把答案写在答题纸的指定区域内．
15．（本小题满分 14 分） 已知向量 a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]． （1）若 a∥b，求 x 的值； （2）记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
17．（本小题满分 14 分）
（1）在 AMN 中，由余弦定理得， MN 2 AM 2 AN 2 2AM AN cos120
332
3
3



1 2


9, MN

3，
所以线段 MN 的长度为 3 千米． （2）设 PMN ，因为 MPN 60 ，所以 PNM 120 ， 在 PMN 中，由正弦定理得，
cos


1 2
sin


2
3 sin
3 3 sin 3cos 6sin 30 ，
因为 0 120 ，所以 30 30 150 ． 所以当 30 90 ，即 60 时， PM PN 取到最大值 6．
所以 tan x 3 ， 3
又 x∈[0，π]，
所以 x 5 ． 6
（2） f (x) a b (cos x,sin x) (3,
3) 3cos x
3 sin x 2
3
cos

x

6

．
因为
x∈[0，π]，所以
x

6

6
,
4
5． [4, +)
10． 2 3
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
15．（本小题满分 14 分）
（1）因为 a∥b，所以－ 3cosx＝3sinx．
若 cosx＝0，则 sinx＝0，与 sin2x＋cos2x＝1 矛盾，故 cosx≠0，