例谈数列有界性证明的几种方法
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２
贝 当 ｎ＝ ＋１时 ， （ ＋１ ０ ２ ）一１＝２ ｋ一１ ≤３一 ２≤ ＋２ ‘ ＋
３ ’＋２ ・３ ＝３ ・３ ‘＝ ３ “ 一
．
即 不 等 式 （ ） ｎ＝ ＋ ★ 对
Leabharlann Baidu
１ 立． 成 由① ② 结 合 数 学 归 纳 法 原 理 知 不 等 式 （ ） 一 切 ★ 对
∈Ｎ 均 成 立 ． 而 原 不 等 式 成 立． 从
除 了 转 化 以后 用 数 学 归 纳 法 证 明 之 外 ， 可 以 利 用 二 也 项式展开式完成不等式 （ ） ★ 的证 明．
证法 四 分析转化之二项式定理放缩法． 不 等 式 （ ） ｎ＝１ ｎ＝ ★ 当 ， ２时 均 成 立 ． ｎ 当 ≥３时 ， ｍ ＝ 令
得证．
证 明 该 问 题 不 仅 仅 只 有 这 四种 方 法 ， 此 之 外 ， 有 函 除 还
数 导 数 法 等． 几 种 证 法 不 仅 是 证 明 数 列 有 界 性 的方 法 ， 这 而
又注意到 ｃ ＝ 证法二 作 商 比较 法 ．
＞ （ ０ ｎ∈Ｎ ， ） 因此 有 ：
首先 根 据 学 过 的数 列 的 基 本 知 识 算 出 ｎ ＝２ ｎ一１ ６ ‘ ， ， ＝
≤
÷，证２一≤ （） 用 析 转 了 即 １３ ★． 分 法 化 利
进 而 得 出数 列 ｛ｎ 的通 项 公 式 。 Ｃ｝ ：
． 次 ， 据 该 其 根
要 证 明的 不 等 式 之 后 ， 可 以 利 用 数 学 归 纳 法 加 以证 明 了． 就
ｃ≤÷ （ ∈Ｎ ， ） 得证．
以上 两 种 证 法 都 是 基 于 数 列 的 单 调 性 完 成 的 证 明 ． 如
１ ｘ ４ ０的 两根 ， 列 ｛ 的前 ｎ项 和 为 Ｓ ， Ｓ ４ ＋ ５＝ 数 ６｝ 且 ＝
１ 一÷ ｂ．
（ ） 数 列 ｛ ， ｂ ｝ １求 。 ｝ ｛ 的通 项公 式．
② 假 设 ： 时 ， 等 式 （★ ） 立 ， ２ 不 成 即 一ｌ≤ ３ “
成立．
增 加 的多 ） 有 了这 样 的 感 性 认 识 ， 可 以用 数 学 工 具 完 成 ， 就
该 题 的证 明 了． 面 是 笔 者 找 到 的 几 种方 法 ， 大 家 分 享 ． 下 与 注 意 到 该 数 列 具 备 单 调 性 ， 以 考 虑 利 用 证 明 数 列 单 可 调 性 的基 本 方 法 来 达 到 目 的． 于 证 明单 调 性 可 以 归 结 为 由 比较 相 邻 项 的大 小 问题 ， 比 较 大 小 常 用 的 是 作 差 比较 法 而 和作 商 比较 法 ， 此有 下 面 的证 法一 和证 法 二 ． 因 证法一 作 差 比较 法 ．
且 是 证 明 与 数 列 有 关 的不 等 式 的 基 本 方 法 ． 其 是 对 备 战 尤
高 考 的 老 师 和 学 生 来 说 ， 有 很 好 的 参 考 价 值 的 ． 钻 研 不 是 对
等 式 证 明 的 广 大 爱 好 者 来 说 ， 例 也 是 不 错 的 题 目． 培 养 本 既 了 大 家 的 逻 辑 推 理 能 力 ， 提 升 了 大 家 的思 维 空 间． 待 着 又 期
当 ｍ≥２时 ， 于 ３ ＝（ 由 １＋２ ＝１＋ｃ ・２＋… ＋ ）
ｃ ２ １ ・ ２ ：・ ≥ ＋ｃ ２＝ ｍ＋１ 因此 不 等 式 （ ★ ） 立 ， 等 ， ★ 成 不 式（ ） 立 ， 而原不等式成立． ★ 成 从
即ｃ （ １ … ＜ ２ ｃ ＝ 从而 ｃ≤÷ （ Ｎ ． ｃ一 ＜ ｃ ＝ ｌ ÷． ∈ ）
＝
对任意 的 ／ Ｎ ， ７ 由于 ，
ｃ ＋ 一 ｃ ＝ 一
墨
．
ｎ一１则 ｍ≥２ 证 明不 等式 （ ， ， ★） 又可 等 价 于证 明不 等式
２ ＋１ （ ★ ） ｍ ≤３ ★ ．
当 ｎ＝１时， 上式 ＝ ， ｃ ＝ｃ ＝÷ ； ０即 ｌ ２
当ｎ ≥２时 ， ＋ —Ｃ ＜ 故 ｃ ＋ ＜ｃ． ｃ ｌ ０， １
一
２ｆ ２ｎ 一
当ｎ １ 上式 ＝ ， ｃ ＝ ２ ÷ ； ＝ 时， １即 。 ｃ ＝
当ｉ时ｎ ≥ｌ ２≤ ， １ ２， １ ， ＿ ÷ ３等ｃ结 ＞ ２ ３＋ 一 故 ．
合 ｃ ＞ （ ∈ ） 亦有 ｃ ｃ一 ＜… ＜ ２ ｃ ＝ ． ０ｎ Ｎ ， ＜ １ ｃ ＝ ｌ ÷ 从而
●
・
・
镑 雅 。
●
鳓
数列 的有 界 性是 数 列 的一 个 重要 性 质 ， 性 质 多 见 于 高 该
磋
◎孟 凡 群 （ 东省 淄博 第 四 中 学 ２ ５ ０ ） 山 ５ １０
２ｆ ２ｎ ＋
３
渣
等数 学 的 教 材 中 ， 研 究 数 列 极 限 的 一 个 有 力 工 具 ． 了更 是 为
果 不 从 单 调 性 角 度 ， 否 也 证 明 出 该 问 题 呢 ？ 答 案 是 肯 定 能 的． 即从 分 析 法 角 度 分 析 转 化 要 证 明 的 不 等 式 ．
证法三 分析转化之数学归纳法．
，
要 证 明 ｃ ≤— （ ｎ∈Ｎ ２ ）
由于 ｃ ＝
， 需证 只
大 家 对该 问 题 的 新 研 究 、 发 现 ！ 新
数 学 学 习与 研 究 ２ １ ．７ ００ １
注 意 到 ｃ ０ ｎ∈Ｎ ＞ （ ） 可 以考 虑 作 商 比较 法 ． 任 意 ， 对
的 ｎ∈Ｎ ，
好 的 突出 中 学数 学 与 大学 数 学 之 间 的联 系 ， 学 数 学 中数 列 中 的证 明题 往 往 围 绕 着 数 列 的这 一 重 要 性 质 来 考 查 学 生 推 理 论证 的能 力 ． 面 这 个 例 子 就 是 高 考 模 拟 题 中 的 一 个 习 题 ， 下 通过 这 个 习 题来 总 结 证 明数 列 有 界性 的几 种 常 见 的方 法 ． 例 已知 等 差 数 列 ｛， 的 公 差 大 于 ０ 且 。 ， 是 方 程 ／｝ ７ ， ｎ
（ ） ｃ ・ 求证 ： ≤÷ （ ∈Ｎ ． ２ 记 ＝口 ｂ ， ｃ ｎ ）
从 形 式 上 知道 该 题 的第 （ ） ２ 问属 于 证 明题 ， 质 上 是 数 本 列 有 界性 的证 明 题 ． 生 通 过 算 出 的数 列 的通 项 公 式 可 以 学
发现 该 数 列 确 实 具 备 这 样 的 性 质 ， 样 完 成 这 一 证 明 呢 ？ 怎
下面是证 明（ ） 过程． ★ 的
通 公 算 数 的 几 ： ÷ｃ÷ｃ ，＝ 项 式 出 列 前 项 ， ，＝ ，＝ ｃ ｃ ： ］ ：
， … ，
① 当 ｎ＝１时 ， 边 ＝右 边 ＝１ 即 不 等 式 （ ） 立 ； 左 ， ★ 成
发 现 随 着项 数 的增 加 ， 应 项 在 减 小 （ 子 不 如 分 母 相 分
贝 当 ｎ＝ ＋１时 ， （ ＋１ ０ ２ ）一１＝２ ｋ一１ ≤３一 ２≤ ＋２ ‘ ＋
３ ’＋２ ・３ ＝３ ・３ ‘＝ ３ “ 一
．
即 不 等 式 （ ） ｎ＝ ＋ ★ 对
Leabharlann Baidu
１ 立． 成 由① ② 结 合 数 学 归 纳 法 原 理 知 不 等 式 （ ） 一 切 ★ 对
∈Ｎ 均 成 立 ． 而 原 不 等 式 成 立． 从
除 了 转 化 以后 用 数 学 归 纳 法 证 明 之 外 ， 可 以 利 用 二 也 项式展开式完成不等式 （ ） ★ 的证 明．
证法 四 分析转化之二项式定理放缩法． 不 等 式 （ ） ｎ＝１ ｎ＝ ★ 当 ， ２时 均 成 立 ． ｎ 当 ≥３时 ， ｍ ＝ 令
得证．
证 明 该 问 题 不 仅 仅 只 有 这 四种 方 法 ， 此 之 外 ， 有 函 除 还
数 导 数 法 等． 几 种 证 法 不 仅 是 证 明 数 列 有 界 性 的方 法 ， 这 而
又注意到 ｃ ＝ 证法二 作 商 比较 法 ．
＞ （ ０ ｎ∈Ｎ ， ） 因此 有 ：
首先 根 据 学 过 的数 列 的 基 本 知 识 算 出 ｎ ＝２ ｎ一１ ６ ‘ ， ， ＝
≤
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进 而 得 出数 列 ｛ｎ 的通 项 公 式 。 Ｃ｝ ：
． 次 ， 据 该 其 根
要 证 明的 不 等 式 之 后 ， 可 以 利 用 数 学 归 纳 法 加 以证 明 了． 就
ｃ≤÷ （ ∈Ｎ ， ） 得证．
以上 两 种 证 法 都 是 基 于 数 列 的 单 调 性 完 成 的 证 明 ． 如
１ ｘ ４ ０的 两根 ， 列 ｛ 的前 ｎ项 和 为 Ｓ ， Ｓ ４ ＋ ５＝ 数 ６｝ 且 ＝
１ 一÷ ｂ．
（ ） 数 列 ｛ ， ｂ ｝ １求 。 ｝ ｛ 的通 项公 式．
② 假 设 ： 时 ， 等 式 （★ ） 立 ， ２ 不 成 即 一ｌ≤ ３ “
成立．
增 加 的多 ） 有 了这 样 的 感 性 认 识 ， 可 以用 数 学 工 具 完 成 ， 就
该 题 的证 明 了． 面 是 笔 者 找 到 的 几 种方 法 ， 大 家 分 享 ． 下 与 注 意 到 该 数 列 具 备 单 调 性 ， 以 考 虑 利 用 证 明 数 列 单 可 调 性 的基 本 方 法 来 达 到 目 的． 于 证 明单 调 性 可 以 归 结 为 由 比较 相 邻 项 的大 小 问题 ， 比 较 大 小 常 用 的 是 作 差 比较 法 而 和作 商 比较 法 ， 此有 下 面 的证 法一 和证 法 二 ． 因 证法一 作 差 比较 法 ．
且 是 证 明 与 数 列 有 关 的不 等 式 的 基 本 方 法 ． 其 是 对 备 战 尤
高 考 的 老 师 和 学 生 来 说 ， 有 很 好 的 参 考 价 值 的 ． 钻 研 不 是 对
等 式 证 明 的 广 大 爱 好 者 来 说 ， 例 也 是 不 错 的 题 目． 培 养 本 既 了 大 家 的 逻 辑 推 理 能 力 ， 提 升 了 大 家 的思 维 空 间． 待 着 又 期
当 ｍ≥２时 ， 于 ３ ＝（ 由 １＋２ ＝１＋ｃ ・２＋… ＋ ）
ｃ ２ １ ・ ２ ：・ ≥ ＋ｃ ２＝ ｍ＋１ 因此 不 等 式 （ ★ ） 立 ， 等 ， ★ 成 不 式（ ） 立 ， 而原不等式成立． ★ 成 从
即ｃ （ １ … ＜ ２ ｃ ＝ 从而 ｃ≤÷ （ Ｎ ． ｃ一 ＜ ｃ ＝ ｌ ÷． ∈ ）
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对任意 的 ／ Ｎ ， ７ 由于 ，
ｃ ＋ 一 ｃ ＝ 一
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ｎ一１则 ｍ≥２ 证 明不 等式 （ ， ， ★） 又可 等 价 于证 明不 等式
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当 ｎ＝１时， 上式 ＝ ， ｃ ＝ｃ ＝÷ ； ０即 ｌ ２
当ｎ ≥２时 ， ＋ —Ｃ ＜ 故 ｃ ＋ ＜ｃ． ｃ ｌ ０， １
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当ｎ １ 上式 ＝ ， ｃ ＝ ２ ÷ ； ＝ 时， １即 。 ｃ ＝
当ｉ时ｎ ≥ｌ ２≤ ， １ ２， １ ， ＿ ÷ ３等ｃ结 ＞ ２ ３＋ 一 故 ．
合 ｃ ＞ （ ∈ ） 亦有 ｃ ｃ一 ＜… ＜ ２ ｃ ＝ ． ０ｎ Ｎ ， ＜ １ ｃ ＝ ｌ ÷ 从而
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等数 学 的 教 材 中 ， 研 究 数 列 极 限 的 一 个 有 力 工 具 ． 了更 是 为
果 不 从 单 调 性 角 度 ， 否 也 证 明 出 该 问 题 呢 ？ 答 案 是 肯 定 能 的． 即从 分 析 法 角 度 分 析 转 化 要 证 明 的 不 等 式 ．
证法三 分析转化之数学归纳法．
，
要 证 明 ｃ ≤— （ ｎ∈Ｎ ２ ）
由于 ｃ ＝
， 需证 只
大 家 对该 问 题 的 新 研 究 、 发 现 ！ 新
数 学 学 习与 研 究 ２ １ ．７ ００ １
注 意 到 ｃ ０ ｎ∈Ｎ ＞ （ ） 可 以考 虑 作 商 比较 法 ． 任 意 ， 对
的 ｎ∈Ｎ ，
好 的 突出 中 学数 学 与 大学 数 学 之 间 的联 系 ， 学 数 学 中数 列 中 的证 明题 往 往 围 绕 着 数 列 的这 一 重 要 性 质 来 考 查 学 生 推 理 论证 的能 力 ． 面 这 个 例 子 就 是 高 考 模 拟 题 中 的 一 个 习 题 ， 下 通过 这 个 习 题来 总 结 证 明数 列 有 界性 的几 种 常 见 的方 法 ． 例 已知 等 差 数 列 ｛， 的 公 差 大 于 ０ 且 。 ， 是 方 程 ／｝ ７ ， ｎ
（ ） ｃ ・ 求证 ： ≤÷ （ ∈Ｎ ． ２ 记 ＝口 ｂ ， ｃ ｎ ）
从 形 式 上 知道 该 题 的第 （ ） ２ 问属 于 证 明题 ， 质 上 是 数 本 列 有 界性 的证 明 题 ． 生 通 过 算 出 的数 列 的通 项 公 式 可 以 学
发现 该 数 列 确 实 具 备 这 样 的 性 质 ， 样 完 成 这 一 证 明 呢 ？ 怎
下面是证 明（ ） 过程． ★ 的
通 公 算 数 的 几 ： ÷ｃ÷ｃ ，＝ 项 式 出 列 前 项 ， ，＝ ，＝ ｃ ｃ ： ］ ：
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① 当 ｎ＝１时 ， 边 ＝右 边 ＝１ 即 不 等 式 （ ） 立 ； 左 ， ★ 成
发 现 随 着项 数 的增 加 ， 应 项 在 减 小 （ 子 不 如 分 母 相 分