立体几何中的向量方法——空间角的计算

立体几何中的向量方法——空间角的计算

环节一：导读课本，引入课题

师：解决立体几何中的问题有三种方法：综合方法、向量方法、坐标方法，而向量方法通常与坐标方法结合起来使用。请同学们看课本选修2—1第105页的这段文字，它的意思，有两个：第一，用向量的方法可以帮助我们解决立体几何中的位置关系证明以及空间角和距离的定量问题。今天我们主要研究用向量方法来解决立体几何中空间角的计算.。

板书课题：立体几何中的向量方法——空间角的计算

第二，从这段文字中可以看出使用向量方法的基本操作程序分为三步，哪三步呢？ 生齐答

师：不错！即：1.向量表示；2.向量计算；3.回归几何. “三步曲”，

环节二：，梳理认知，再练课本

1、梳理认知

师： .立体几何中有线线角、线面角、二面角共三种，这三种空间角的计算都可以利用向量的数量积公式12

12cos n n n n ϕ⋅=⋅来计算。

下面我们来一起分析两个向量1n ，2n 的夹角ϕ与三种空间角的对应关系。

随着幻灯片的演示，教师讲解：

当1n 与2n 分别为两条直线1l 与2l 的方向向量时，1l 与2l 所成的角θ与ϕ的关系是

(0)2()2

πϕϕθππϕϕπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩此时有：cos cos θϕ= 当1n 为直线l 的方向向量，2n 为平面α的法向量时，l 与α所成的角θ与ϕ的关系是

(0)22()22

ππϕϕθππϕϕπ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩ 此时有：sin cos θϕ=

当1n 与2n 分别为平面α和平面β的法向量时，

α与β所成的二面角θ与ϕ的关系

是：ϕπϕθ-=或

通过课件展示法向量的方向与二面角的关系以后，得出结论：

当两个法向量同在二面角的内部或外部时θ与ϕ互补；若一内一外则θ=ϕ. 2.再练课本

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行,下面我们来动手做一做这道课本上的题.，看谁算的又快又准.。

选修2-1课本第118页第11题改编

如图，在直三棱柱111C B A ABC -的底面ABC 中，

,2,90,11=︒=∠==AA BCA CB CA (1)____;1所成角的余弦值为与CN BC

(2).____11所成角的余弦值为与平面C BA CN

【解题交流】 师：由于有明显的三线两两垂直，所以非常适合建立空间直角坐标系，又数字简单，计算方便，所以适合用向量方法。以点Ｃ为坐标原点建系，第一问计算结果是 生１：5

10 1C 1

B 1A N

C B A

师：是这个结果吗？

生（齐）：是

师（微笑地点头）：第二问呢？ 生２：1010

3

师：算的很对，有没有算错的？我看了一下，还真有几位同学算错了，要知道向量方法就是将证明转化成计算，为了计算的准确，合理的建立坐标系又是关键，怎样才算是合理呢？在下面的环节中，我们一起来探讨

环节三：激活课本，拓展思维

师：.我们还是从课本开始，请同学们看课本必修2第69页例3

例1.（课本必修2第69页例3）

.

师：这是一道好题啊！它揭示了空间图形中运动的不变性，即点Ｃ在圆周上只要不与直径ＡＢ的端点重合，就有这两个平面垂直。今年的文理科立体几何解答题，就是根据这道题改编的。今天我们也将这道题改编一下

变式１：如图，ＡＢ是圆Ｏ的直径，ＰＡ垂直于 圆Ｏ所在的平面，Ｅ是ＰＢ的中点，点Ｃ在 圆周上，满足ＣＡ＝ＣＢ＝ＰＡ＝2， 求二面角Ｂ—ＣＥ—Ａ的大小。

【分析】：这道题数字比较简单，而且有很多垂直关系，我们应当首先想到用向量方法，O A B

C

P

E

如何建立空间直角坐标系呢？下面我们分小组讨论一下（前后四个同学为一组）

片刻以后，全班交流

师：哪一个组先说一说，好，这一组，说说你们的想法。

生３：以点Ａ为坐标原点，过点Ａ作圆Ｏ的切线ＡＤ为ｘ轴，ＡＢ为ｙ轴，ＡＰ为ｚ轴。

师（追问）：说说你的理由。

生３：这样建系有两个好处，一是直接利用了ＰＡ垂直于ＡＢ；二是几个关键点或在坐标轴上或在坐标平面内，坐标表示比较简单。

师（点头微笑）：有道理！还有没有不同的呢？好，这一组的同学，你们是怎样建立坐标系的呢？

生４：我们是以Ｃ点为坐标原点，利用ＣＡ垂直于ＣＢ，作ＣＤ垂直于平面ＡＢＣ。 师：好！行！这两个组的同学都利用了现成的两线垂直，（环视一下后）还有没有别的建系方法呢？（如果没有发现用三线垂直的可以启发）图形中有没有三线垂直？

生５：Ｅ是ＰＢ的中点，Ｏ是ＡＢ的中点，所以ＯＥ／／ＡＰ，所以ＯＥ垂直于底面ＡＢＣ，连接ＯＣ，根据题设三角形ＡＢＣ为等腰直角三角形，ＯＣ垂直于ＯＢ，所以，以Ｏ为坐标原点，ＯＣ为ｘ轴，ＯＢ为ｙ轴，ＯＥ为ｚ轴，我觉得这样建系更好，因为各点都在坐标轴上，向量表示更简单。

师赞许地点了点头：来点掌声鼓励一下。

师：同学们，什么叫合理建系？明白了吗？那就是：第一、充分利用垂直关系；第二、使向量表示更简洁，运算更方便。下面一、二组用第一种方法算，第三组用第二种方法算，第四组用第三种方法算，看哪个组最先算出来。

约２分钟后，交流结果

师在各组汇报的基础上给予肯定后，接着追问：为什么我们算出法向量的夹角的余弦值是12

后，就肯定所求的二面角大小为0120，而不是060呢？有谁告诉我？ 生６：观察出来的。

师：这位同学的观察力不错，这个二面角的大小容易看出，是一个钝角，如果有时候看不出来，我们就要用法向量的方向与二面角的关系来检验。

下面我们把这一道题再改编一下，我们让点Ｅ在线段ＰＢ上动起来

z y x O A B C P E z x y

O A B C P E z y

x O A B C P E