将军饮水解析

将军饮马问题——线段和最短

一．六大模型

1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使△PAB 的周长最小

4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边形 PAQB 的

周长最小。

5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小

6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小------

小马成群二、常见题目

Part1、三角形

1．如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，丐AE = 2，求EM+EC的最小值

解：∵点C关于直线AD的对称点是点B，

A A

∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，

过点B作BH⊥AC于点H，

E E

则EH = AH–AE = 3–2 = 1，M H BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3 M

在直角△BHE中，BE = BH2 + HE2 B C B C

D D

= (3 3)2 + 12 = 2 7

2．如图，在锐角△ABC中，AB = 4 2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，

则BM+MN的最小值是____．

解：作点B关于AD的对称点B'，

过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，

则线段B'E的长就是BM＋ＭＮ的最小

值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理

得到，B'E = 4

C

B'

M F D A N E B

3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值

解：作AB关于AC的对称线段AB'，

过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N = MB'+MN = MB+MN

C M

B'N 的长就是 MB+MN 的最小值

则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。

∴AN = 1

在直角△AB'N中，根据勾股定理A

30°

2 B

N

B'

B'N = 3 C

M

A 30°

N 2 B

------

小马成群

Part2、正方形

1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。

即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小

解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值在

直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，则ＢＭ

＝１０

故DN＋ＭＮ的最小值是１０A D

N M B C

2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（）

A．2 3 B．2 6 C．3 D． 6 A D

解：即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小

E 点D关于直线AC的对称点是点B，

连接BE交AC于点P，则BE = PB+PE = PD+PE，P

BE 的长就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 2 3

B C

3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

解：在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小 A D ∵点B关于AC的对称点是D点，

∴连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点

DQ = PD+PQ = PB+PQ P

故DQ的长就是PB+PQ的最小值

在直角△CDQ中，CQ = 1，CD = 2 B

Q C

根据勾股定理，得，DQ = 5

4．如图，四边形ABCD是正方形，AB = 10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；解：连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值

在直角△ABE中，求得AE的长为5 5

A D

B E C