高中数学 三角函数题型及解法

三角函数题型及解法

近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 三角函数的命题趋于稳定,2011年高考可能依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.

三角函数试题可以归纳为以赏析下几种典型题型。 1、三角函数的概念及同角关系式

此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.

例1（10全国I 卷理2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=

21k -21k -21k -21k

-

解： 222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,

∴tan100tan80︒=-2

sin 801cos80k -=-

=-。故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思

想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.

例2（10全国1卷文1）cos300︒=

(A)32-

12 (C)1

2

(D) 32 解：()1

cos300cos 36060cos602

︒=︒-︒=︒=

评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值

这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.

例3（10重庆文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则23

23

1

1

cos

cos

sin

sin

3

3

3

3

αααααα++-=____________

解：

23

23

123

1

1

cos

cos

sin

sin

cos

3

3

3

3

3

ααααααααα++++-=

又 1232αααπ++=，

∴123

1cos

32

ααα++=-

评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的.

例4（10全国卷1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25

α=-

,则tan(2)4

π

α+= .

解： α为第三象限的角 ∴ππ+k 2<α<ππ2

3

2+

k ∴ ππ24+k <2α<ππ34+k (Z K ∈)

又 3cos 25α=-

<0, ∴4sin 25α=, ∴sin 24

tan 2cos 23

ααα==-

∴tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143

π

απα-

+=

=--+. 评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。是一道综合性较

强的题目。

3、)sin(ψω+=x A y 的图象和性质

图像变换是三角函数的考察的重要内容，. 解决此类问题的关键是理解ψω,,A 的意义，特别是ω的判定，以及伸缩变换对ψ

的影响。

例5（10全国卷2理数7）为了得到函数sin(2)3

y x π

=-

的图像，只需把函数

sin(2)6y x π

=+的图像

（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π

个长度单位

（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2

π

个长度单位

解： sin(2)6

y x π

=+

=sin 2()12

x π

+

，

sin(2)3y x π=-=sin 2()6

x π

=-，

∴将sin(2)6

y x π

=+

的图像向右平移

4

π

个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，

故选B.

评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数

sin()y A x ωϕ=+中的ω对函数图象变化的影响是历年考生的易错点，也是高考的重点。

例6（10辽宁理数5）设ω>0,函数y=sin(ωx+3

π

)+2的图像向右平移34π个单位后与

原图像重合，则ω的最小值是

（A ）

23 (B)43 (C)3

2

(D)3 解： 将y=sin(ωx+3

π

)+2的图像向右平移34π个单位后为

4sin[()]233y x ππω=-++4sin()2

33x πωπ

ω=+-+

∴43

ωπ

=2k π, 即32k ω=

又 0ω>， k ≥1

故32k ω=≥32

， 所以选C

评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数

图像知识灵活掌握的程度。

4、三角形中的三角函数

此类题主要考查在三角形中三角函数的利用. 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理.

例7（10天津理数7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若2

2

a b -=，

sin C B =，则A=

（A ）0

30 （B ）0

60 （C ）0

120 （D ）0

150

解：由正弦定理得

22c c R R

=⇒=

所以cosA=222+c -a 2b bc ==A=300

评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。 通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。 . 例8 （10江苏卷13）、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b

a

C a b

+=，则

tan tan tan tan C C

A B

+

=________。