输油管的布置
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优化问题是人们在工程技术、经济管 理和科学研究等领域中最常遇到的一类问 题。
• 商品经营者制定价格使得销售利润最高
• 生产计划要在满足工艺流程需求的条件 下,降低成本使总利润最高
• 运输方案的安排问题中要使运输成本最 小且收益最大
• 结构设计要在满足强度要求等条件下,使 所用材料的总重量最轻
一 简单的优化模型 二 数学规划模型 三 求解优化问题的数学软件 四 离散优化模型简介
一 简单的优化模型
• 本节考虑较简单的优化模型，将其归结 为函数极值问题，可以直接用微分法求 解。
• 存贮模型（不允许缺货）
存贮模型（不允许缺货）
• 工厂定期订购原料，存入仓库供生产之 用；
• 车间一次加工出一批零件，供装配线每 天生产之用；
• 商店成批购进各种商品，放在货柜里以 备零售；
思考
gp(x)>=0, p=1, …, t
• 若f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t) 均为线性函数，则问题(MP)就被称为线 性规划问题。
• 线性规划问题：求多变量线性函数在线 性约束条件下的最优值。
• min f (x)
s.t. hi(x)=0, i=1, …, m
要 建立生产周期、产量、需求量、准备费、贮存 求 费之间的关系。
问题分析
日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1 • 元每。天生产一次，每次100件：
准备费5000元，无贮存费。每天费用5000元。
• 10天生产一次，每次1000件：
准备费5000元，贮存费900＋800＋…+100=4500， 总计
• 由 T
2c1 ,C c2r
2c1c2r 得: T=10, C=1000.
• 这里得到的费用C与前面计算得950元有
微小差别，你能解释吗？
二 数学规划模型
数学规划
• 线性规划 • 非线性规划 • 整数规划 • 0－1规划 • 混合整数规划
• 奶制品的生产与销售
数学规划的一般模型
• min f (x) s.t. hi(x)=0, i=1, …, m gp(x)>=0, p=1, …, t
• 若只要求部分变量取整数值，则称之为 混合整数规划。
奶制品的生产和销售
甲：12小时
1桶 牛奶
乙：8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
• 每天有50桶牛奶供应
• 每天正式工人总的劳动时间为480小时 • 设备甲每天至多能加工100公斤A1 • 设备乙的加工能力没有限制
试制订生产计划，使每天获利最大
(MP)
gp(x)>=0, p=1, …, t
• 若f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t) 中至少有一个是非线性函数，问题(MP) 就被称为非线性规划问题。
• 若要求变量 x 取整数值时，则称之为整 数规划；
• 若变量只取0或1时，则称之为0-1规划；
• 时间和产量都作为连续量处理
建模目的
• 设r, c1, c2已知，求T, Q使每天总费用的平 均值最小。
模型建立
• 总费用与变量的关系
• 总费用＝生产准备费＋存贮费 ＋缺货损失费
• 存贮费＝存贮单价×存贮量 • 存贮量＝？
存贮量的计算
• 设 t 时刻的存贮量为 q(t),t=0时生产Q件,
存贮量 q(0)=Q, q(t) 以需求速率 r 线性递
减，直至 q(T)=0 ： q
• q(t) = Q – r t
Q
• Q = rT
r
• 一个周期内存贮量 A=QT/2
0
T
t
T q(t)dt QT （A的面积）
0
2
费用
• 一个周期的总费用
C%
c1
c2
Q 2
T
c1
c2
rT 2
2
• 每天的费用（目标函数）
C(T ) C% c1 c2r T TT 2
• f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t)均 是定义在En上的实函数。
• x=(x1, …, xn)T: 决策变量
• f (x): 目标函数
• hi(x), gp(x): 约束函数
• min f (x)
s.t. hi(x)=0, i=1, …, m
(MP)
• 5905天00生元产。一每次天，费每用次90＋4800 ＋…+100=122500元，
总计127500元。每天费用2550元。
10天生产一次平均每天费用最小吗？
问题分析
• 周期短，产量小 • 周期长，产量大
贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
模型求解
• 求T使得 C(T ) c1 c2r T 最小
T2
•
用微分法：
dC(T ) c1
dT
T2
c2r 2
0
• 解得： T 2c1 , Q rT 2c1r
c2r
c2
• 每天的最小费用： C 2c1c2r
• 经济订货批量公式（EOQ公式）。
结果解释
T
2c1 , c2r
Q rT
• 这是一个优化问题，关键是建立目标函数。 • 不能用一个周期的总费用作为目标函数。 • 目标函数——每天总费用的平均值
模型假设
• 产品每天的需求量为常数 r ；
• 每次生产准备费为c1，每天每件产品贮 存费为c2 ；
• T天生产一次（周期），每次生产Q件， 当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生 产时间不计）；
2c1r , c2
C 2c1c2r
• 准备费 c1 增加，生产周期和产量变大；
• 存贮费 c2 增加，生产周期和产量变小；
• 当日需求费 r 增加，生产周期变小而产 量变大。
• 这些定性结果符合常识，而定量关系 （平方根，系数2等）凭常识是无法得 出的，只能由数学建模得到。
在本例中
• c1=5000, c2=1, r=100,
• 存贮量多少合适？
• 存贮量过大，存贮费用太高；
• 存贮量太小，会导致一次性订购费用增 加，或不能及时满足需求。
• 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时 因更换设备要付生产准备费（与生产数量无 关），同一产品的产量大于需求时要付贮存费。 该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时 间内产出。
• 已知某产品日需求量100件，生产准备费 5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品 的生产计划，即多少天生产一次（生产周期）， 每次产量多少，使总费用最小。
• 商品经营者制定价格使得销售利润最高
• 生产计划要在满足工艺流程需求的条件 下,降低成本使总利润最高
• 运输方案的安排问题中要使运输成本最 小且收益最大
• 结构设计要在满足强度要求等条件下,使 所用材料的总重量最轻
一 简单的优化模型 二 数学规划模型 三 求解优化问题的数学软件 四 离散优化模型简介
一 简单的优化模型
• 本节考虑较简单的优化模型，将其归结 为函数极值问题，可以直接用微分法求 解。
• 存贮模型（不允许缺货）
存贮模型（不允许缺货）
• 工厂定期订购原料，存入仓库供生产之 用；
• 车间一次加工出一批零件，供装配线每 天生产之用；
• 商店成批购进各种商品，放在货柜里以 备零售；
思考
gp(x)>=0, p=1, …, t
• 若f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t) 均为线性函数，则问题(MP)就被称为线 性规划问题。
• 线性规划问题：求多变量线性函数在线 性约束条件下的最优值。
• min f (x)
s.t. hi(x)=0, i=1, …, m
要 建立生产周期、产量、需求量、准备费、贮存 求 费之间的关系。
问题分析
日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1 • 元每。天生产一次，每次100件：
准备费5000元，无贮存费。每天费用5000元。
• 10天生产一次，每次1000件：
准备费5000元，贮存费900＋800＋…+100=4500， 总计
• 由 T
2c1 ,C c2r
2c1c2r 得: T=10, C=1000.
• 这里得到的费用C与前面计算得950元有
微小差别，你能解释吗？
二 数学规划模型
数学规划
• 线性规划 • 非线性规划 • 整数规划 • 0－1规划 • 混合整数规划
• 奶制品的生产与销售
数学规划的一般模型
• min f (x) s.t. hi(x)=0, i=1, …, m gp(x)>=0, p=1, …, t
• 若只要求部分变量取整数值，则称之为 混合整数规划。
奶制品的生产和销售
甲：12小时
1桶 牛奶
乙：8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
• 每天有50桶牛奶供应
• 每天正式工人总的劳动时间为480小时 • 设备甲每天至多能加工100公斤A1 • 设备乙的加工能力没有限制
试制订生产计划，使每天获利最大
(MP)
gp(x)>=0, p=1, …, t
• 若f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t) 中至少有一个是非线性函数，问题(MP) 就被称为非线性规划问题。
• 若要求变量 x 取整数值时，则称之为整 数规划；
• 若变量只取0或1时，则称之为0-1规划；
• 时间和产量都作为连续量处理
建模目的
• 设r, c1, c2已知，求T, Q使每天总费用的平 均值最小。
模型建立
• 总费用与变量的关系
• 总费用＝生产准备费＋存贮费 ＋缺货损失费
• 存贮费＝存贮单价×存贮量 • 存贮量＝？
存贮量的计算
• 设 t 时刻的存贮量为 q(t),t=0时生产Q件,
存贮量 q(0)=Q, q(t) 以需求速率 r 线性递
减，直至 q(T)=0 ： q
• q(t) = Q – r t
Q
• Q = rT
r
• 一个周期内存贮量 A=QT/2
0
T
t
T q(t)dt QT （A的面积）
0
2
费用
• 一个周期的总费用
C%
c1
c2
Q 2
T
c1
c2
rT 2
2
• 每天的费用（目标函数）
C(T ) C% c1 c2r T TT 2
• f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t)均 是定义在En上的实函数。
• x=(x1, …, xn)T: 决策变量
• f (x): 目标函数
• hi(x), gp(x): 约束函数
• min f (x)
s.t. hi(x)=0, i=1, …, m
(MP)
• 5905天00生元产。一每次天，费每用次90＋4800 ＋…+100=122500元，
总计127500元。每天费用2550元。
10天生产一次平均每天费用最小吗？
问题分析
• 周期短，产量小 • 周期长，产量大
贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
模型求解
• 求T使得 C(T ) c1 c2r T 最小
T2
•
用微分法：
dC(T ) c1
dT
T2
c2r 2
0
• 解得： T 2c1 , Q rT 2c1r
c2r
c2
• 每天的最小费用： C 2c1c2r
• 经济订货批量公式（EOQ公式）。
结果解释
T
2c1 , c2r
Q rT
• 这是一个优化问题，关键是建立目标函数。 • 不能用一个周期的总费用作为目标函数。 • 目标函数——每天总费用的平均值
模型假设
• 产品每天的需求量为常数 r ；
• 每次生产准备费为c1，每天每件产品贮 存费为c2 ；
• T天生产一次（周期），每次生产Q件， 当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生 产时间不计）；
2c1r , c2
C 2c1c2r
• 准备费 c1 增加，生产周期和产量变大；
• 存贮费 c2 增加，生产周期和产量变小；
• 当日需求费 r 增加，生产周期变小而产 量变大。
• 这些定性结果符合常识，而定量关系 （平方根，系数2等）凭常识是无法得 出的，只能由数学建模得到。
在本例中
• c1=5000, c2=1, r=100,
• 存贮量多少合适？
• 存贮量过大，存贮费用太高；
• 存贮量太小，会导致一次性订购费用增 加，或不能及时满足需求。
• 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时 因更换设备要付生产准备费（与生产数量无 关），同一产品的产量大于需求时要付贮存费。 该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时 间内产出。
• 已知某产品日需求量100件，生产准备费 5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品 的生产计划，即多少天生产一次（生产周期）， 每次产量多少，使总费用最小。