第7章 梁的强度问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
要求： Iy、Iz通过形心。 ※ 移轴定理：指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之 间的关系，即通过图形对于一对坐标轴的惯性矩、惯性积， 求图形对另一对与上述坐标轴平行的坐标轴的惯性矩与惯性 积。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理
I y1 cos 2a I yz sin 2a 2 2 I y Iz I y Iz I z1 cos 2a I yz sin 2a 2 2 I y Iz I y1 z 1 sin 2a I yz cos 2a 2 I y Iz I y Iz
S y 0, Sz A1 yC1 A2 yC 2 30 300 0 270 50 150 2025000
Sz yC A
Ay
i 1 i
n
Ci
A
i 1
n
Sy 2025000 90, zC 0 30 300 270 50 A
i
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 1.平面假定与应变分布 平面假定：如果用相邻的两个横截面从梁上截取长度为dx 的一微段，假定梁发生弯曲变形后，微段的两个横截面仍 然保持平面，但是绕各自的中性轴转过一角度dθ，这一假 定称为平面假定。
dx - yd
I y 0 I max I y Iz 1 2 2 ( I I ) 4 I y z yz 2 2 I z 0 I min
※ 对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的 主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯 性矩，简称为形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与 形心主矩。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
【例题7-2】T形截面尺寸如图所示，试求其形心主惯性矩。
解： 1．将所给图形分解为简单图形的组合
将T形分解为图示的两个矩形I和Ⅱ。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
2．确定形心位置
( yC1, zC1 ) (0,0),( yC 2 , zC 2 ) (150,0)
S y A1 zC1 A2 zC 2 0
20
S z A1 yC1 A2 yC 2 20 80 10 120 20 80 208000
S yC z A
y
Ay
i 1 i
n
Ci
A
i 1
n
Sy 208000 52, zC 0 20 80 120 20 A
M
纵向对称面
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念 ※ 平面弯曲：所有外力(包括力、力偶)都作用在梁的同一 主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲 线位于外力作用平面内，这种弯曲称为平面弯曲。
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念 ※ 纯弯曲：如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这 种平面弯曲称为纯弯曲。纯弯曲情形下，由于梁的横截面上 只有弯矩，因而只有垂直于横截面的正应力。 P P a a ※ 横向弯曲：梁在垂直梁轴线 的横向力作用下，其横截面上 A B 将同时产生剪力和弯矩。这时， 梁的横截面上不仅有正应力， Q 还有切应力。这种弯曲称为横 x 向弯曲，简称横弯曲。 M x
S z A1 yC1 A2 yC 2 S y A1 zC1 A2 zC 2
Sz yC A
An yCn Ai yCi
i 1 n
n
An zCn Ai zCi
i 1
Ay
i 1 i
n
Ci
Ai
i 1
n
, zC
Sy A
Az
i 1 n
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念
※ 非对称弯曲：若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非 对称弯曲。 P2 q P1
M
纵向对称面
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 1.平面假定与应变分布 中性层：看到梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些层 则发生缩短变形，在伸长层与缩短层交界处的那一层既不 伸长也不缩短，这一层称为梁的中性层或中性面。 中性轴：中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴， 中性轴垂直于加载方向。
dA F
x A x A
N
0
z
( dA) y M
Mz C Iz Mz y x Cy Iz
A A
2 ( CydA ) y C y dA CI z M z
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 4.中性轴的位置
※ 转轴定理：研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标 轴的惯性矩和惯性积的变化规律（不要求坐标原点通过形 心） 。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.5 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 ※ 图形对于过一点(y0,z0)的一对坐标轴 的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为 过这一点的主轴。图形对于主轴的惯性 矩称为主惯性矩。主惯性矩具有极大值 或极小值的特征。
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
iy iz
Iy A Iz A
iy、iz称为图形对于坐标轴y、z的惯 性半径。惯性半径的单位为m或mm。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 y y y d D C z C C h z z
b
d
1 3 I Z bh 12 1 3 Iy hb 12
π 4 Iz I y d 64 IP
πD4 I y Iz (1 α 4 ) 64
32
d
4
πD 4 IP (1 α 4 ) 32 d α D
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.3 惯性矩与惯性积的移轴定理
Hale Waihona Puke Baidu
I y1 I y a 2 A 2 I z1 I z b A I y1z1 I yz abA
Mz y FN x dA dA Iz A A Mz Iz Mz ydA= Sz 0 Iz A
A
Mz y x Cy Iz
Sz ydA 0
中性轴z通过截面形心，并且垂直于对称轴，所以，确 定中性轴的位置，就是确定截面的形心位置。
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 y 5.最大正应力公式与弯曲截面模量
i
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
定义
I y z 2 dA
A
I z y dA
2 A
Iy、Iz分别称为图形对于y轴和 z轴的截面二次矩或惯性矩。惯性矩 的单位为m4或mm4。 ※ 注意： Iy、Iz分别可以看成是面积A对于y轴和z轴的 二次矩，故Iy、Iz称为截面二次矩或惯性矩。 ※ 注意：Iy、Iz恒为正值。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
定义
I P r 2 dA
A
IP称为图形对于点O的截面二 次极矩或极惯性矩。极惯性矩的单 位为m4或mm4。 ※ 显然，由图示知：
r 2 z 2 y2 , I P I y I z
※ 注意：IP恒为正值。
dx d
dx d y x y dx dx 1 d dx
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 2.胡克定律与应力分布
x E x
C E
Ey
Cy
z
y x
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 3.应用静力方程确定待定常数
I zC I zC ( I ) I zC ( II )
1 300 303 90 2 300 30 12
1 50 2703 60 2 270 50 2.04 108 mm 4 12
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念 ※ 对称面：若梁的横截面具有对称轴，则所有相同的对称 轴组成的平面，称为梁的对称面，通常采用纵向对称面。 ※ 主轴平面：梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截 面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为 梁的主轴平面。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴 平面；反之则不然。 P1 q P2
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
3．确定形心主轴 以形心C为坐标原点建立图示的CyCzC坐标系，其中zC轴通过原 点且与对称轴yC垂直，则yC、zC即为形心主轴。 4．计算形心主惯性矩
I yC I yC ( I ) I yC ( II ) 1 1 30 3003 270 503 7.03 107 mm 4 12 12
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
I yz yzdA
A
Iyz称为图形对于通过点O的一 对坐标轴y、z的惯性积。惯性积的 单位为m4或mm4。
※ 注意： Iyz可能为正值，可能为负值，也可能为零。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
§ 7.1 工程中的弯曲构件 3.工程中的弯曲实例
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 定义 静矩、形心及其相互关系
S y zdA
A
S z ydA
A
Sy、Sz分别称为图形对于y轴和z
轴的截面一次矩或静矩。静矩的单位 为m3或mm3。 ※注意：Sy、Sz分别可以看成是面积A对于y轴和z轴之矩， 故Sy、Sz称为截面一次矩或静矩。 ※注意：Sy、Sz可能为正值，可能为负值，也可能为零。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 静矩、形心及其相互关系
※形心：图形几何形状的中心称为 形心。
Sz yC A zC Sy A
A
ydA A zdA A
A
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 静矩、形心及其相互关系
※ 复杂图形形心的计算： 分解为若干个简单图形（可直接确定形心 位置的图形），然后依下式计算：
n
i Ci
A
i 1
i
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 静矩、形心及其相互关系 20 C yC
80
y1 y2 z
例：确定右图所示图形的形心位置。
解：建立图示坐标系，假定形心在C点 由于图形是左右对称的，易知：
120
( yC1 , zC1 ) (10,0) ( yC 2 , zC 2 ) (80,0)
本 章 内 容：
§7.1 工程中的弯曲构件 §7.2 截面图形的几何性质
§7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力
§7.4 平面弯曲正应力公式应用举例
§7.5 梁的强度计算
§7.6 斜弯曲 §7.7 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 §7.8 结论与讨论
§ 7.1 工程中的弯曲构件 1.弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
【例题7-1】截面图形的几何尺寸如图所示。试求图中具有剖面线部分的 惯性矩Iy和Iz。 解： 根据惯性矩定义，具有剖面线的图形对 于y、z轴的惯性矩，等于高为H宽为b的矩形 对于y、z轴的惯性矩，减去高为h宽为b的矩 形对于相同轴的惯性矩，即
1 1 3 1 3 Iy Hb hb (H - h)b 3 12 12 12 1 1 1 I z bH 3 bh 3 b(H 3 - h 3 ) 12 12 12
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理
I y1 cos 2a I yz sin 2a 2 2 I y Iz I y Iz I z1 cos 2a I yz sin 2a 2 2 I y Iz I y1 z 1 sin 2a I yz cos 2a 2 I y Iz I y Iz
S y 0, Sz A1 yC1 A2 yC 2 30 300 0 270 50 150 2025000
Sz yC A
Ay
i 1 i
n
Ci
A
i 1
n
Sy 2025000 90, zC 0 30 300 270 50 A
i
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 1.平面假定与应变分布 平面假定：如果用相邻的两个横截面从梁上截取长度为dx 的一微段，假定梁发生弯曲变形后，微段的两个横截面仍 然保持平面，但是绕各自的中性轴转过一角度dθ，这一假 定称为平面假定。
dx - yd
I y 0 I max I y Iz 1 2 2 ( I I ) 4 I y z yz 2 2 I z 0 I min
※ 对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的 主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯 性矩，简称为形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与 形心主矩。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
【例题7-2】T形截面尺寸如图所示，试求其形心主惯性矩。
解： 1．将所给图形分解为简单图形的组合
将T形分解为图示的两个矩形I和Ⅱ。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
2．确定形心位置
( yC1, zC1 ) (0,0),( yC 2 , zC 2 ) (150,0)
S y A1 zC1 A2 zC 2 0
20
S z A1 yC1 A2 yC 2 20 80 10 120 20 80 208000
S yC z A
y
Ay
i 1 i
n
Ci
A
i 1
n
Sy 208000 52, zC 0 20 80 120 20 A
M
纵向对称面
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念 ※ 平面弯曲：所有外力(包括力、力偶)都作用在梁的同一 主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲 线位于外力作用平面内，这种弯曲称为平面弯曲。
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念 ※ 纯弯曲：如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这 种平面弯曲称为纯弯曲。纯弯曲情形下，由于梁的横截面上 只有弯矩，因而只有垂直于横截面的正应力。 P P a a ※ 横向弯曲：梁在垂直梁轴线 的横向力作用下，其横截面上 A B 将同时产生剪力和弯矩。这时， 梁的横截面上不仅有正应力， Q 还有切应力。这种弯曲称为横 x 向弯曲，简称横弯曲。 M x
S z A1 yC1 A2 yC 2 S y A1 zC1 A2 zC 2
Sz yC A
An yCn Ai yCi
i 1 n
n
An zCn Ai zCi
i 1
Ay
i 1 i
n
Ci
Ai
i 1
n
, zC
Sy A
Az
i 1 n
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念
※ 非对称弯曲：若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非 对称弯曲。 P2 q P1
M
纵向对称面
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 1.平面假定与应变分布 中性层：看到梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些层 则发生缩短变形，在伸长层与缩短层交界处的那一层既不 伸长也不缩短，这一层称为梁的中性层或中性面。 中性轴：中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴， 中性轴垂直于加载方向。
dA F
x A x A
N
0
z
( dA) y M
Mz C Iz Mz y x Cy Iz
A A
2 ( CydA ) y C y dA CI z M z
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 4.中性轴的位置
※ 转轴定理：研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标 轴的惯性矩和惯性积的变化规律（不要求坐标原点通过形 心） 。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.5 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 ※ 图形对于过一点(y0,z0)的一对坐标轴 的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为 过这一点的主轴。图形对于主轴的惯性 矩称为主惯性矩。主惯性矩具有极大值 或极小值的特征。
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
iy iz
Iy A Iz A
iy、iz称为图形对于坐标轴y、z的惯 性半径。惯性半径的单位为m或mm。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 y y y d D C z C C h z z
b
d
1 3 I Z bh 12 1 3 Iy hb 12
π 4 Iz I y d 64 IP
πD4 I y Iz (1 α 4 ) 64
32
d
4
πD 4 IP (1 α 4 ) 32 d α D
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.3 惯性矩与惯性积的移轴定理
Hale Waihona Puke Baidu
I y1 I y a 2 A 2 I z1 I z b A I y1z1 I yz abA
Mz y FN x dA dA Iz A A Mz Iz Mz ydA= Sz 0 Iz A
A
Mz y x Cy Iz
Sz ydA 0
中性轴z通过截面形心，并且垂直于对称轴，所以，确 定中性轴的位置，就是确定截面的形心位置。
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 y 5.最大正应力公式与弯曲截面模量
i
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
定义
I y z 2 dA
A
I z y dA
2 A
Iy、Iz分别称为图形对于y轴和 z轴的截面二次矩或惯性矩。惯性矩 的单位为m4或mm4。 ※ 注意： Iy、Iz分别可以看成是面积A对于y轴和z轴的 二次矩，故Iy、Iz称为截面二次矩或惯性矩。 ※ 注意：Iy、Iz恒为正值。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
定义
I P r 2 dA
A
IP称为图形对于点O的截面二 次极矩或极惯性矩。极惯性矩的单 位为m4或mm4。 ※ 显然，由图示知：
r 2 z 2 y2 , I P I y I z
※ 注意：IP恒为正值。
dx d
dx d y x y dx dx 1 d dx
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 2.胡克定律与应力分布
x E x
C E
Ey
Cy
z
y x
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 3.应用静力方程确定待定常数
I zC I zC ( I ) I zC ( II )
1 300 303 90 2 300 30 12
1 50 2703 60 2 270 50 2.04 108 mm 4 12
§ 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念 ※ 对称面：若梁的横截面具有对称轴，则所有相同的对称 轴组成的平面，称为梁的对称面，通常采用纵向对称面。 ※ 主轴平面：梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截 面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为 梁的主轴平面。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴 平面；反之则不然。 P1 q P2
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
3．确定形心主轴 以形心C为坐标原点建立图示的CyCzC坐标系，其中zC轴通过原 点且与对称轴yC垂直，则yC、zC即为形心主轴。 4．计算形心主惯性矩
I yC I yC ( I ) I yC ( II ) 1 1 30 3003 270 503 7.03 107 mm 4 12 12
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
I yz yzdA
A
Iyz称为图形对于通过点O的一 对坐标轴y、z的惯性积。惯性积的 单位为m4或mm4。
※ 注意： Iyz可能为正值，可能为负值，也可能为零。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
§ 7.1 工程中的弯曲构件 3.工程中的弯曲实例
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 定义 静矩、形心及其相互关系
S y zdA
A
S z ydA
A
Sy、Sz分别称为图形对于y轴和z
轴的截面一次矩或静矩。静矩的单位 为m3或mm3。 ※注意：Sy、Sz分别可以看成是面积A对于y轴和z轴之矩， 故Sy、Sz称为截面一次矩或静矩。 ※注意：Sy、Sz可能为正值，可能为负值，也可能为零。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 静矩、形心及其相互关系
※形心：图形几何形状的中心称为 形心。
Sz yC A zC Sy A
A
ydA A zdA A
A
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 静矩、形心及其相互关系
※ 复杂图形形心的计算： 分解为若干个简单图形（可直接确定形心 位置的图形），然后依下式计算：
n
i Ci
A
i 1
i
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 静矩、形心及其相互关系 20 C yC
80
y1 y2 z
例：确定右图所示图形的形心位置。
解：建立图示坐标系，假定形心在C点 由于图形是左右对称的，易知：
120
( yC1 , zC1 ) (10,0) ( yC 2 , zC 2 ) (80,0)
本 章 内 容：
§7.1 工程中的弯曲构件 §7.2 截面图形的几何性质
§7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力
§7.4 平面弯曲正应力公式应用举例
§7.5 梁的强度计算
§7.6 斜弯曲 §7.7 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 §7.8 结论与讨论
§ 7.1 工程中的弯曲构件 1.弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
【例题7-1】截面图形的几何尺寸如图所示。试求图中具有剖面线部分的 惯性矩Iy和Iz。 解： 根据惯性矩定义，具有剖面线的图形对 于y、z轴的惯性矩，等于高为H宽为b的矩形 对于y、z轴的惯性矩，减去高为h宽为b的矩 形对于相同轴的惯性矩，即
1 1 3 1 3 Iy Hb hb (H - h)b 3 12 12 12 1 1 1 I z bH 3 bh 3 b(H 3 - h 3 ) 12 12 12