材料力学应力和应变分析强讲义度理论1

各侧面上切应力均为零的单元体
3、主平面 4、主应力
切应力为零的截面 主平面上的正应力
说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂 直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数 值大小的顺序来排列, 即
123
五、应力状态的分类
1、空间应力状态 2、平面应力状态
y
t
Ft 0
d A x(ydcAo)sco sx(dcAo)ssin
y(xdsAin )siny(dsAin )co s0
目录
7-2 二向应力状态分析-解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin 2
并注意到 yx xy 化简得
7-2 二向应力状态分析-解析法
1.斜截面上的应力
y
yx
x
xy
x
y
x αa
n
a
xy
dA
yx
t
y
Fn 0 Ft 0
目录
7-2 二向应力状态分析-解析法
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列平衡方程
Fn 0
x αa
n
a
xy
dA
d A x(ydcAo )ssinx(dcAo )sco s yx
y(xdsAin )co sy(dsAin )sin0
p
k
{pcoscos2
F
p sin cossinsin2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
7
7—1 应力状态的概念
一、单元体的取法
F
F
F
m
m
Me
q
x
Me
x x
7—1 应力状态的概念
一、单元体的取法
l
y
S平面
SF
a
1
T
4
z
x
2
T
Fa
M
将sin2α0 和 cos2α0代入
公式
x 2 y x 2 yc o s2 x ysin 2
得到 max 和 min (主应力）
m m a in xx 2y (x 2y)2x 2y
二、最大切应力及方位
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
1、最大切应力的方位
解：破坏时沿45º线断开
Me AD BC Me
最大切应力 T 16T
Wp d 3
取单元体如图
x 0, y 0, x m main xx 2y x 2y2x2y
e xy x
f
30°
30
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
n
40604060cos(60)(50)sin(60)
2
2
58.3MPa
300
x
y
2
sin2xycos2
4060sin(60 )(50)cos(60) 18.3MPa
2
(2) 求主应力和主单元体
x = -40MPa
大小
y =60 MPa
m m ian x x 2y(x 2y)2x 2 8 6 .7 0 M .7 0 MP xP ==-3-a 05°a 0MPa
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
目录
二、最大正应力及方位
x 2yx 2yco2 sxysi2n x 2ysi2nxyco2 s
1、最大正应力的方位
令 d d 2 [x 2ys2 in xc y2 o ] s 0
tan20
2xy x y
00 90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
Fl
1
T
Wt
σ
Mz Wz
3 Mz 3
T Wt
σ
Mz Wz
目录
7—1 应力状态的概念
一、单元体的取法
S平面
F
S平面
F
5
2
4
l/2
l/2
3
Mz
Fl 4
2 1
1 1
2
2
2
3 3
10
二、单元体的特征
2 3
1、单元体特征 单元体的尺寸无限小，
1
1
每个面上应力均匀分布
3
任意一对平行平面上的应力相等
2
2、主单元体
18.7 0MP2 a0 36.7 0MPa
方位 ta2 n 0 x 2 x y y 2 4( 0 5 6)0 0 1
2 0
45 135
0
22.5 67.5
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
y
1
3
xy
x
22.5°
例2 ： 讨论圆轴受扭转时 的应力状态并分析铸铁件受 扭时的破坏现象。
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
7-2 二向应力状态分析-解析法
y
y yx xy
x
x
z
y
yx
x
xy
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元
体上有x ,xy 和 y , yx
材料力学应力和应变分析强度理
第七章
应力和应变分析 强度理论
第七章 应力和应变分析 强度理论
7-1 应力状态的概念 7-3 二向应力状态分析-解析法 7-4 二向应力状态分析-图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-11 四种常用强度理论
7—1 应力状态的概念
问题的提出
铸铁
低碳钢
令
d d 2 [x 2 yc2 o sxs y2 i n ] 0
tan21
x y 2xy
11 90
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应 力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.
2、最大切应力
将sin2α1 和 cos2α1代入
公式
x
y
2
sin2xyco2s
得到 max和min
m ma i nx(x 2y)2x 2y
比较
tan20
2xy x y
和
tan21
x y 2xy
可见
1
tan20
tan21
21202, 104
例题3 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=50MPa.试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.
y
(1) 求 ef 截面上的应力
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
目录
7—1 应力状态的概念
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
目录
7—1 应力状态的概念
横力弯曲
FN Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应
力各不相同，此即应力的点的概念。
6
7—1 应力状态的概念
直杆拉伸
F
k
k
F
k
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
1 2
( x
y ) sin
2
xy
cos 2
目录
7-2 二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y yx
x
xy
x
y
α x
a
n
a
xy
x
t yx y
正应力：拉为正；压为负
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转