对勾函数详细分析报告.docx
. . . .
对勾函数的性质及应用
一 .对勾函数 y ax
b
(a 0, b 0)
的图像与性质 ：
x
1. 定义域 ：（ -∞， 0） ∪（ 0 ，+ ∞）
2. 值域 ：(- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞)
3. 奇偶性 ：奇函数 ，函数图像整体呈两个 “对勾 ”的形状 ，且函数图像关于原点呈中心 对称 ，即 f (x) f ( x)
4. 图像在一 、三象限 ,
当 x
0 时， y
ax
b
2√ab （ 当且仅当 x
b
取等号 ）， 即 f ( x) 在
x a
x= b
时，取最小值 2
ab
a
由奇函数性质知 ：当 x<0 时， f ( x) 在 x=
b
时，取最大值
2 ab
a
5. 单调性 ：增区间为 （
b , ），（
,
b
） ,减区间是 （ 0 ，
b
），（
b
,0）
a
a
a
a
1 、 对勾函数的变形形式
类型一 ：函数 y
ax
b
(a
0, b 0) 的图像与性质
x
1.定义域 ： ( ,0) (0,
)
2.值域 ： (-∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞)
3.奇偶性 ：奇函数 ，函数图像整体呈两个 “对勾 ”的形状 .
4.图像在二 、四象限 , 当 x<0 时， f ( x) 在 x=
b
时，取
a
最小值 2
ab ；当 x 0 时， f ( x) 在 x=
b
时，取最大值 2 ab
a
5.单调性 ：增区间为 （ 0 ，
b
），（
b
,0）减区间是 （
b
,
），（
,
b
）,
a
a
a
a
....
类型二：斜勾函数y ax b
(ab 0) x
① a 0, b0 作图如下
1.定义域：(,0)(0,)
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数
4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值 .
5.单调性：增区间为（ -，0 ），（ 0 ， +）.
② a 0, b0 作图如下：
1.定义域：(,0)(0,)
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数
4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值 .
5.单调性：减区间为（ -，0 ），（ 0 ， +）.
2c
(ac
类型三：函数 f ( x)ax bx0)
。
x
此类函数可变形为 f ( x)ax
c b，可由对勾函数 y ax c上下平移得到
x x
练习 1.函数f ( x)x 2
x 1
的对称中心为x
类型四：函数
f ()
x
a(
a
0,
k
0)
x x k
a )
a
左右平移，上下平移得
此类函数可变形为 f (x)(x k
x
k ，则 f ( x)可由对勾函数 y x
k x
到
练习 1.作函数f ( x)x1与 f ( x)x3
x2x x
的草图
2 2.求函数f ( x) x1在 ( 2,) 上的最低点坐标
2x4
3. 求函数f (x)x
x x的单调区间及对称中心1
....
类型五：函数 f ( x)ax(a0,b0) 。此类函数定义域为R，且可变形为
x 2b
f ( x)a a
b b
x2x
x x
a.若a0 ，图像如下：
1 ．定义域：( ,) 2.值域： [a1,a 1 ]
2b2b
3. 奇偶性：奇函数 .
4.图像在一、三象限 .当x0 时， f ( x)在x时，取最大值a
，当 x<0
b
2b 时， f (x) 在x= b 时，取最小值a
2 b
5. 单调性：减区间为（b,），（, b ）；增区间是[ b , b ]
f (x)x
x2 1 的在区间
练习 1.函数2,上的值域为
b. 若a 0，作出函数图像：
1 ．定义域：(,) 2. 值域：[ a 1
,a
1
] 2b 2 b
3. 奇偶性：奇函数 .
4. 图像在一、三象限 .
当 x0 时， f (x) 在
x
时，取最小值a，b
2b
当 x<0时， f ( x) 在x= b 时，取最大值a
b
2
5. 单调性：增区间为（b,），（, b ）；减区间是 [b, b]
练习 1.如
a 1
2x x1,2 ，则的取值范围是x24
....
ax 2
bx
c
(a
a(x m)2s(x m)t t
类型六：函数
f (x)0) .可变形为f (x)a(x m)0)，
x x m x
s(at
m m 则 f ( x) 可由对勾函数y ax t左右平移，上下平移得到
x
练习 1. 函数f (x)x2x11
向（填“左”、右“ ”）平移单位，向x1
由对勾函数y x
x
（填“上”、下“”）平移单位 .
2.已知x1，求函数 f ( x)x27x 10
的最小值；
x1
2
3.已知x 1 ，求函数f ( x)x9x
9 的最大值
x1
类型七：函数f (x)
x m
(a0) ax2bx c
练习 1.求函数
f ( x)
x1在区间 (1,) 上的最大值；若区间改为 [ 4,) 则f (x)的最大值为x 2x2
2 .求函数 f ( x)x22x 3
在区间 [ 0,) 上的最大值
x2x2
类型八：函数 f ( x)x b.此类函数可变形为标准形式：
f (x)x a b a x a b
a
(b a0)
x a x a x a 练习 1.求函数 f (x)x
3 的最小值；
x1
2 ．求函数 f ( x)x5的值域；
x1
3.求函数f (x)x 2 的值域
x3
类型九：函数f (x)x2b
(a0)
。此类函数可变形为标准形式：
x2a
22b a b a
( x a)2
f (x)2x a2(b a o)
x a x a
练习 1.求函数f ( x)x25的最小值；
x 24
2.求函数
f (x)
x
x2
1 的值域
217
三、关于求函数 y x10 最小值的十种解法
x
x
1.均值不等式
.
. .
.
x
0 ，
y
1 2 ，当且仅当 x
1 1 的时候不等式取到 “= ”。 当 x 1 的时候 ，
x
，即 x
x
x
y min
2
2.
法
y
x 1
x 2 yx 1
x
若 y 的最小值存在 ，则 y 2 4
0 必需存在 ，即 y 2 或 y 2 （舍）
找到使 y
2 时，存在相应的 x 即可 。 通过观察当 x 1的时候 ，
y min
2
3. 单调性定义
设 0 x 1 x 2
f x 1
f x 2
x 1 x 2
1 1 x
2 1
1
x 1 x 2
x 1x 2 1
x 1
x 1
x 1 x 2
x 2
x 1x 2
当对于任意的 x 1,x 2 ，只有 x 1 ,x 2 0,1 时， f x 1 f x 2 0 ， 此时 f x 单调递增 ；
当对于任意的 x 1,x 2 ，只有 x 1 ,x 2
1, 时， f x 1
f x 2
0 ， 此时 f x 单调递减 。
当 x
1取到最小值 ， y min f 1
2
4. 复合函数的单调性
1
1 2
y
x
2
x
x
x
t
x
1 在 0, 单调递增 ， y t 2
2 在
,0 单调递减 ；在 0,
单调递增
x
又
x 0,1 t
,0 x 1, t 0,
原函数在
0,1 上单调递减 ；在 1,
上单调递增
即当 x
1取到最小值 ， y min f 1 2
5. 求一阶导
y x
1 y '
1
1 当 x
0,1 时， y ' 0 ，函数单调递减 ；当 x 1,
时， y '
0 ，函
x
x 2
数单调递增 。
当 x
1取到最小值 ， y min f 1 2
6. 三角代换
....令 x tan，，则1
0,cot
2x
y x 1
tancot
2
0,20, x sin 22
当，即 2时， sin 2max1， y min 2 ，显然此时x 1 42
7.向量
y x 1
x 1
1 1 a b ，a x, 1 , b1,1 x x x
a b a b cos 2 a cos
根据图象， a 为起点在原点，终点在 y 1
x 0 图象上的一个向量，a cos的几何意义为 a 在 b x
上的投影，
显然当 a b 时， a cos 取得最小值。此时，x1， y min222 8．图象相减
y
1
x
11
x，即 y 表示函数 y x 和y两者之间的距离x x x
求 y min，即为求两曲线竖直距离的最小值
平移直线 y
1
相切时，两曲线竖直距离最小。x ，显然当 y x 与y
1x
1
y x 轴对称，若 y x 与y在 x 1处有一交点，根据对称
关于直线 y
x
x 1
相交。显然不是距离最小性，在 0x 1 处也必有一个交点，即此时 y x 与y
x
的情况。
所以，切点一定为1, 1 点。此时，x1，y min2
9.平面几何
依据直角三角形射影定理
11
，设
AE x, EB，则 AB AD x
1x x
显然， x AB ，即 AD 为直线 AB 和 CD
为菱形的一条边，只用当 AD
x
之间的距离时， x 1
取得最小值。即四边形 ABCD 为矩形。x
.
. . .
此时 ， x
1 1， y min
2
，即 x
x
10. 对应法则
设 f
x
min
t
f x 2
x 2
1
x 2
x 0,
， x 2
0,
，对应法则也相同
f x 2 min
t
f x
x
1 f
2 x
x 2
1 2
x
x 2
左边的最小值 右边的最小值
t 2 t 2
t
1 （ 舍 ） 或 t 2
当 x
P x 2 ，即 x
1 时 取 到最 小 值 ， 且
y min 2
对勾函数练习 ：
1 ． 若 x>1. 求 y
x 1 的最小值 . 11. 若
t
a t 2 在 t
0,2 上恒成立 ，则 a 的取值范围
x 1
t
2
9
t 2 是
2. 若
x>1. 求 y x 2 2x 2
12. 求函数 f x
x
1 16 x
1 的最值 。
x
1
的最小值
x x 2
x
1
3. 若
x>1. 求 y x 2 x 1
的最小值
13. 当 x
2 x
x 1 (0，1)时，求 f (x)
的值域
4x 1
4. 若
x>0. 求 y
3x
2
的最小值
14. 求f
( x)
x 2
x
x 2
1 的值域
x
x 3
5.已知函数 y
x 2
2x a (x [1,
))
x
（ 1） 求 a
1
时，求 f (x)的最小值
2
(2)若对任意 x ∈[1,+ ∞],f(x)>0 恒成立 ,求 a 范围
6.: 方程 sin 2
x －asinx+4=0
在[ 0 , 2 ]内有解 ，则 a 的取值范围是 __________
10
的 最 小 值 为
； 函 数 y x
10 7. 函 数 y x2 x 7
2 x 7 的 最 大 值 为
....。
8.函数y23x 4
。
的最大值为
x
9 、若4x1
x 22x2
。，则 y
2x
的最值是
2
10. 函数y9 4 sin2 x 的最小值是。
sin2x
专题13幂函数知识点归纳
3 幂函数知识点归纳 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α 系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 练习：做出下列函数的图像： 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、 幂函数的性质 y=x
3 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 四、 幂函数类型题归纳 （一） 定义应用： 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的 解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){} |M x f x g x ==，则集合M 中 元素的个数是（ ） （Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二） 图像及性质应用 1、 右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则 ,,,a b c d 的大小关系是 （ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （ ） ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m n < b c
对勾函数的几点分析
对勾函数的几点分析 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数” 奇偶性与单调性 当x>0时，f(x)= x b ax + 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），即当a b x =的时候 奇函数。 令a b k = ，那么： 增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}； 减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0
最新指数对数幂函数知识点总结
高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2 整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈. (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈. （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ；规律：底数a 保持不变 3注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化。规律：底数a 保持不变 幂值 真数 （二）对数的运算性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是0，即01log =a (a ＞0,且a ≠1)；特殊地：ln10= (3)底的对数是1，即1log =a a (a ＞0,且a ≠1)；特别地：ln 1e = （三）对数运算法则。若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = （5）对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). a b b a log 1 log = (a ＞0,且 b ＞0). （6）指数恒等式：a N a N l o g = （由②N log b ①N a a b ==，,将②代入①得a N a N l o g =）
幂函数题型归纳
幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递 增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两
点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 （1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1． （1）、函数3 x y =的图像是（ ） （2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）
基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0) ____a b +（ ） ——形式二： 2 a b +≥ (a__0,b__0) __ (a >0,b >0) 2 a b + ——形式三：2 2a b ab +?? ≤ ??? （ ） (a>0,b>0)2 a b +≤ 2 a b +？ 用分析法证明：要证 2 a b + （1） 只要证 a b +≥ （2） 要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4） 显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立. 探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等 思考：（1）已知y=x+x 1 ( x>0 ) ，求y 的范围. （2）已知y=x+x 1 ( x≠0 ) ，求y 的范围.
例题拓展 【例1 】已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ） A ．xy y x 2≥+ B ．21 ≥+x x C ．xy y x 222≥+ D ． xy xy y x 1 2≥ + 【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ） 基础回顾 1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.
2、基本不等式：对于____ _ ,a b ,则2 a b +___ _时，不等式取等号. 注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _ 【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋ 81 x ，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 （3）y x x =++23 122 的最小值是 （4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________ （5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________ 【 例2】设x ，y 为正数， 求14 ()()x y x y ++的最小值 【例4 】若0,0,x y >>且 21 1x y +=，则2x y +的最小值为________
2021届浙江省温州市高三上学期11月高考适应性测试(一模)数学试题教师解析版
2021届浙江省温州市高三上学期11月高考适应性测试（一模）数学 试题 一、单选题 1．已知集合{} 15A x x =<<，{} 03B y y =<<，则A B =（） A ．? B ．{} 13x x << C ．{} 05x x << D ．{} 05x x << 答案：B 利用交集的定义可求得集合A B . 解： {}15A x x =<<，{}03B y y =<<，因此，{}13A B x x ?=<<. 故选：B. 2．已知z 为复数，若()1i i z ?+=(i 是虚数单位)，则z = A ．1 B C ． 12 D ． 2 答案：D 先根据复数除法求出复数z ，结合复数模长的求解方法可得模长. 解：因为(1)z i i +=，所以i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z -+====++-+，所以||2 z ==，故选D. 点评：本题主要考查复数的除法及模长，复数模长的求解一般是先化简复数为z a bi =+形式，结 合模长公式z = . 3．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4228S S =+，则d =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B 由4228S S =+，直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 解：因为4228S S =+， 所以 () ()14124282 a a a a +=++，
所以()()11112328a a d a a d ++=+++， 即48d =， 解得2d =， 故选：B. 4．若实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? ，则2x y -的最小值为（） A ．.1 B ．1- C ．3 D ．3- 答案：D 根据实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? ，画出可行域，记目标函数2z x y =-，平移直线 12 2 z y x = -，当直线在y 轴上的截距最大时z 有最小值求解. 解：实数x ，y 满足约束条件0 320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? 的可行域如图所示： 记目标函数2z x y =-，平移直线122 z y x =-，当直线经过点(3,3)A 时在y 轴上的截距最大，此时对应的z 具有最小值， 最小值为3233z =-?=-， 故选：D. 5．已知0a >，0b >则“1a b +=”是“22 1 2 a b +≥ ”的（）
高一数学幂函数知识点总结
高一数学幂函数知识点总结 函数是高中数学中比较重要的一项知识，学好函数可以提高自己的数学知识水平。下面就让小编给大家分享一些高一数学幂函数知识点总结吧，希望能对你有帮助! 高一数学幂函数知识点总结篇一一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴
和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。
高一数学幂函数知识点总结
高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数 的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照 某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
指对幂函数知识点总结
〖2.1〗指数函数 [2.1.1】指数与指数幂的运算 (1) 根式的概念 ① 如果x " = aa R, x ? R, n 1 ,且n N .，那么x 叫做a 的n 次方 根.当 n 是奇数时，a 的n 次方根用符号：a 表示；当n 是偶数时， 正数a 的正的n 次方根用符号 蔦表示，负的n 次方根用符号一蔦 表示；0的n 次方根是0 ;负数a 没有n 次方根. ② 式子蔦叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.当 n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，a_0 . ③根式的性质：(n .a)n =a ;当口为奇数时，n -a n =a ;当n 为偶 (2) 分数指数幂的概念 m ① 正数的正分数指数幂的意义是： a 下「n /(a 0, m, n ?N ,且 n 1). 0 的正分数指数幂等于0. ② 正数的负分数指数幂的意义是： a n =([)n (丄)m (a 〉0,m,门邛十且nn1) . 0 的负分数指数幂没有 a , a 意义. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数. (3) 分数指数幂的运算性质 ① a r a $ = a r s (a 0,r, s R) ③(ab)r =a r b r (a 0,b 0,r R) 【2.1.2】指数函数及其性质 数时， Wa (a —0) (a ： ②(a r )s = a rs (a 0,r,s R)
(4)指数函数
〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若a?N（a 0,且a=1），贝卩x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，其中a叫做底数，N叫做真数.
最新对勾函数详细分析【精选】整理版
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x= 时，取最小值 由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取 最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）, 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）. ②作图如下： 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）. 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习1.函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3. 求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a.若，图像如下： 1．定义域： 2. 值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值 5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
(一）指数与指数函数 1.根式 （1）根式的概念 （２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ （ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａ ｘ a>1 0 图象 定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，0 对勾函数年级：高二科目：数学时间：9/6/2009 16:25:27 新5961438 请问对勾函数的最值如何求。 答：同学，你好，现提供以下资料供你参考： 函数的单调性． 显然此函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），用描点法可作出此函数的图象为： 从图象上可看出，函数在（0，）上单调递减，在[，＋∞）上单调递增，在（－∞，－]上单调递增，在[－，0）上单调递减． 我们可用单调性的定义验证它的单调性（证明略）． 很容易看出f(x)是一个奇函数，所以它的图象是关于原点对称的，我们只需记住它在（0，]、[，＋ ∞）上的单调性就可以了，而且我们用这个函数解题时，通常只用这两个区间上函数的单调性． 特殊地，当k=1时，，它在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增． 一般地，对于函数，我们也可把它转化为的形式，即为， 此时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． 说明：因课本并没有介绍此函数的单调性，所以在利用它时应在答题中将它的单调性证一遍 例：甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元． （1）把全部运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：（1） （2）依题意知s，a，b，v都为正数，故， 当且仅当，即v=时上述等号成立． 若≤c，则当时v=时，全程运输成本y最小． 若>c，，此函数在（0，]上单调递减， 则在（0，c]上也单调递减，所以y≥，当v=c时取等号． 综上知，为使全程运输成本y最小，当≤c时行驶速度应为v=，当＞c时，行驶速度应为v=c． 同学，你好，你要记住做每件事情要有决心。决心决定一切，要努力地去做，让你每一天都充满光彩。学习更上一层楼！ 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时， a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方 根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当 n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质 ： n a =；当 n 为奇数时 ， a =；当 n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数 幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③() (0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数， N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10 log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1, 0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 【2.2.2】对数函数及其性质 幂函数 （1）幂函数的定义： 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α= （其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p y x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α =∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下 方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上 方，若1x >，其图象在直线y x =下方． 幂函数练习题 一、选择题： 1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43 B ．y x =32 C ．y x =-2 D ．y x =-14 2．函数2 -=x y 在区间]2,2 1[上的最大值是 （ ） A ． 4 1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．3 -=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 4．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3 x y =和3 1 x y =图象满足 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα 1α 4α 2α 关于求函数()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 0112=+-?+=yx x x x y 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << ()()()??? ? ??--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 2112 +??? ? ??-=+=x x x x y x x t 1 -=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又Θ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y 五、求一阶导 2'111x y x x y -=?+= 当()1,0∈x 时，0' 对勾函数的性质及应用 一.对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥2√ab （当 且仅当b x a = 取等号），即 )(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大 值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0( 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）() s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a - = （6）,||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数： 【基础过关】 类型一：指数运算的计算题 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根 指数函数 0 式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1 、5+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ，16=mn a ，则m 的值为………………………………………………( ) A ．3 B ．4 C ．3 a D ．6 a 3、 化简 (b a b +-的结果是………………………………( ) A 、a - 、a a D 、2b a + 4、已知0.001a = ，求：413 3 223 3 8(14a a b a b -÷-+=_________________ 5、已知1 3x x -+=，求（1）1 12 2 x x - +=________________（2）332 2 x x -+=_________________ 6 、若y y x x -+=，其中1,0x y ><，则y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ x s A B =?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) A 、()1 12x + B 、 1 4x + C 、2x D 、对勾函数求最值
(完整word版)指对幂函数知识点总结
幂函数知识点总结与练习题
对勾函数最值的十种求法
对勾函数详细分析
指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
指数、对数及幂函数知识点小结及习题