化二次型为标准型的方法样本

化二次型为标准型的方法 一、 绪论

高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景, 以线性变换为方法, 以矩阵为工具, 着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数, 其内容本应属于函数讨论的范围, 然而二次型用矩阵表示之后, 用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确, 二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形, 也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。

二次型是高等代数的重要内容之一, 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项, 即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、 二次曲面的化简问题, 其理论也在网络、 分析、 热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题, 而且它在物理学、 工程学、 经济学等领域有非常重要的应用, 因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。

我们知道, 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定, 而任一实对称矩阵都能够化成一对角矩阵, 相应的任一实二次型都能够化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法: 配方法和正交变换法; 另外, 由于任意矩阵能够利用初等变换化为对角矩阵, 因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。

经过典型例题, 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性, 我们应熟练掌握各种方法。

以下就是几种方法的简单介绍, 而且又提出了一种新的方法: 雅可比喻法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。

二、 二次型及其矩阵表示

在解析几何中, 我们看到, 当坐标原点与中心重合时, 一个有心二次曲线

的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=.

( 1)

为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 我们能够选择适当的角度θ, 作转轴

( 反时针方向转轴) ''

''

x x cos y sin y x sin y cos θθ

θθ

⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ ( 2)

把方程( 1) 化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。

( 1) 的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的线性替换( 2) 化简一个二次齐次多项式, 使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现, 而且数学的其它分支以及物理、 力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P 是一数域, 一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式

22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++

称为数域P 上的一个n 元二次型, 或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ; 12n y ,y ,...,y 是两组文字, 系数在数域P 中的一组关系式

11111221n n

22112222n n 33113223n n n n12n22nn n

x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪

=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ ( 4) 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换, 。如果ij c 0≠, 那么线性替换( 4) 就称为非退化的。

在讨论二次型时, 矩阵是一个有力的工具, 因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另ij ji a =a , i

22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++

=n n

ij i j i 1j 1

a x x ==∑∑

它的系数排成一个n*n 矩阵

11121n 2122

2n n1n2nm a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。

令 12n x x

X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

于是二次型可写成12n f (x ,x ,...,x )='X AX 非退化线性替换能够表示成X=CY

三、 化二次型为标准形的方法之一: 配方法

定理: 数域P 上任意二次型都能够经过非退化的线性替换变成平方和的形式, 即标准形。

证明: 下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法, 也就是”配方法”。

我们对变量的个数做数学归纳法。 对于n=1, 而二次型就是

2

1111f (x )a x =

已经是平方和的形式了。现假定对n-1元二次型, 定理的结论成立。再假设

n

n

12n ij i j i 1j 1f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑( ij a =ji a )

分三种情况来讨论:

1) ii a ( i=1, 2, …, n) 中是少有一个不为零, 例如11a ≠0。这时

12n f (x ,x ,...,x )=2

111

a x +n 1j 1j j 2a x x =∑+n i1i 1i 2a x x =∑+n n

ij i j i 2j=2

a x x =∑∑

=2111

a x +2n 1j 1j j 2a x x =∑+n n

ij i j i 2j=2

a x x =∑∑