高数第二章习题课一

1、导数的定义 :
f
x0
lim
x0
y x
特别
导函数
当
时,为左导数
当
时,为右导数
2.
f
x0 存在
fx0
f
x0
4
3、 函数连续与可导性的关系 连续
可导
即:连续是可导的必要条件。
4、导数的几何意义
f x0 在几何上表示曲线 y = f ( x ) 在点x0, f x0 处
切线的斜率，即 k f x0
y
d d
y x
t t
t
x t
y
t
y
d d
2y x2
d y dx
t t
10
（四) 隐函数的导数
若 y＝f x是由方程 Fx,y 0所确定的可导函数， 则 f x可以由方程 d Fx, f x 0求得。
dx
（逐项求导） 求隐函数的二阶导数的两种方法
1、求出 y, 对 x 再求一次导数，应注意：y 的表达式中
2） y dy ox
（2） 可导与可微的关系
lim y x0 x
A
可导
可微
d y f xd x
14
（3） 微分的运算法则
设 u ux v vx 是可微函数
du v d u d v
du v v d u u d v
d
u v
v
d
u v2
u
d
v
d
1 v
1 v2
d
v
（4） 一阶微分形式的不变性
最后的结果不应该保留中间变量。
7
3、反函数求导法
设 x y是单调连续函数，在点 y 处可导，且 y 0, 则其反函数 f ( x ) 在对应点 x 处也可导，且有
d d
y x
1
y
.
4、基本初等函数的导数公式（如书）
8
5、高阶导数常用公式
ex n ex
ax n ax lnn a
sin
除了掌握基本初等函数的求导公式、求导四则运算
法则、反函数、复合函数的求导法则外，对一些特殊
函数的求导方法，如：隐函数求导法则；参数方程所确
定的函数的求导方法，及对数求导法也应熟悉。
1、函数的和、差、积、商求导法则
若 u ux v vx 可导，则
u v u v
uv uv uv
u v
y yx , 即 y 是 x 的函数。
2、方程两边对 x 连续求两次导数，然后解出 y.
11
（五）幂指函数的导数和对数求导法
y uxvx 称为幂指函数，
（不是指数函数或幂函数）
其求导方法
1、用对数求导法，两边取对数，得： ln y v ln u
两边对 x 求导得：
y
u
v
v
ln
u
v u
u
2、将其化为 y evlnu
切线方程 y f x0 f x0 x x0
法线方程 y f
5、高阶导数的定义
x0
f
1
x0
x
x0
形式上和一阶导数类似，如 f x在 x0 处的二阶导数：
f
x0百度文库
lim
x0
f x0
x
x
f x0
lim
xx0
f x f x0
x x0 5
(二) 初等函数的导数
熟悉导数及微分的计算是本章的基本要求之一，
设 u 是自变量
dy f ud u
vx 0
设 u 是中间变量 u x
dy f (x) xd x
d u xd x dy f ud u
即：无论 u是中间变量还是自变量均有
dy f ud u
15
7、 微分的应用 求近似值
1） 当 f x0 0 且 x x x0 0 f x f x0 f x0 x x0
2） 当 f 0 0 且 x 0 f x f 0 f 0x
16
二、 导数和微分的求法
1. 正确使用导数及微分公式和法则
2. 熟练掌握求导方法和技巧
(1) 求分段函数的导数
注意讨论界点处左右导数是否存在和相等
(2) 隐函数求导法
对数微分法
(3) 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)
y et t v lnu
利用复合函数的求导法则求出 y.
12
（六）利用导数定义解决的问题
1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则
(C) 0;
(ln
x)
1 x
;
(sin x) cos x
其他求导公式都可由它们及求导法则推出;
2) 求分段函数在分界点处的导数（左、右导数存在
并相等），及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. 4)用导数定义求极限
lim f (x) 3, x2 x 2
解: 由题意可得 f (2) lim f (x) 0
5)微分在近似计算与误差估计中的应用
13
6、 函数的微分
（1）微分的定义
设 y f x 在 x 的某领域内有定义，若
y A x ox
（A是与 x 无关的常数）
则称 y 的线性主部 A x 是 y f x 在 x 处的微分。
记为： dy A x
微分的两个特点：
1） dy 是关于自变量增量 x 的线性函数。
高等数学
第十三讲
主讲教师: 王升瑞
1
习题课一
第二章
一元函数微分学
一、 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法
2
一、导数和微分
导数和微分是微分学的两个重要的概念， 导数反映了当自变量变化时函数变化的快慢程度； 而微分是函数增量的线性主部。 这两个是不同的概念，但它们之间有着密切的联系。
3
(一) 导数的概念及应用
xn
sin
x
n
2
cos
xn
cos
x
n
2
a
1
x
(n)
(1)n
n! (a x)n1
1 ax
(n)
(a
n! x)n1
ln
1
x n
1 n1
n 1! 1 xn
uvn unv nun1v nn 1un2v uvn
2!
9
(三) 由参数方程确定的函数的导数
若
x t
y
t
对参变量 t 可导，则 y 对 x 的导数：
(5) 高阶导数的求法
逐次求导归纳 ;
间接求导法; 利用莱布尼兹公式.
17
1、利用导数的定义求极限
例1 求极限
lim
arctan x
3
x 3 x 3
lim arctan x arctan 3
x 3
x 3
arctan xx 3
1
1 x
2
x 3
1 4
18
例2.设 f (x) 在 x 2 处连续,且 求 f (2) .
uv uv v2
1 v
v v2
vx 0 6
2、复合函数求导法
设u x在点x处可导，y f u在对应的点处
亦可导，则复合函数 y f [x]在点 x 处可导。且有
d y d y du dx du dx
或
yx f ux
注： 1、在具体求导时必须注意分析函数复合过程与
中间变量。计算时应由外层逐一向内层计算。 2、在需要时，可能要引入中间变量，求完导数后，