学高中数学概率§古典概型的特征和概率计算公式教师用书教案北师大版必修

§２古典概型

２．１古典概型的特征和概率计算公式

学习目标核

心素养

１．能记住古典概型的概念、两个基本特征及计算

公式．（重点）

２．掌握求基本事件总数的常用方法：列举法、树状图法、列表法等．（重点）

３．会选择恰当的方法求古典概率模型的概率．（难点）１．通过古典概型的概念、两个基本特征及计算公式的学习，提升数学抽象素养．

２．通过选择恰当的方法求古典概率模型的概率，培养数学运算素养.

１．古典概率模型的特征

（１）１试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；

２每一个试验结果出现的可能性相同．

我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．

（２）试验的每一个可能结果称为基本事件．

２．古典概型的概率公式

对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P（A）＝错误!＝错误!.

思考：若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？

[提示] 不一定是，还要看每个事件发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是．

１．下列关于古典概型的说法中正确的是（）

１试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

２每个事件出现的可能性相等；

３每个基本事件出现的可能性相等；

４基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P（A）＝错误!.

A．２４B．１３４

C．１４D．３４

B [根据古典概型的特征与公式进行判断，１３４正确，２不正确，故选Ｂ．]

２．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的２个，则基本事件共有（）

A．１个B．２个C．３个D．４个

C [基本事件共有{计算机，数学}、{计算机，航空模型}、{数学，航空模型}三个．]

３．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为（）

Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．错误!Ｄ．错误!

B [用（A，B，C）表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有：（A，B，C），（A，C，B），（B，A，C），（B，C，A），（C，A，B），（C，B，A），共6种，其中B先于A，C通过的有：（B，C，A）和（B，A，C），共２种，故所求概率P＝错误!＝错误!.]

４．下列试验是古典概型的为________（填序号）．

１从6名同学中选出４人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；

２同时掷两枚骰子，点数和为7的概率；

３近三天中有一天降雨的概率；

４１0人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．

１２４[１２４是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．３不是古典概型，因为不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影响．]

基本事件的计数问题

（１）从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；

（２）从装有形状、大小完全一样且分别标有１,２,３,４,５号的５个球的袋中任意取出两个球的试验．[解] （１）从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件．

分别是A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{b，c}，共３个．

（２）从袋中取两个球的等可能结果为球１和球２，球１和球３，球１和球４，球１和球５，球２和球３，球２和球４，球２和球５，球３和球４，球３和球５，球４和球５．故共有１0个基本事件．

确定基本事件空间的方法随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定基本事件空间必须明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案.求基本事件时，一定要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.

错误!

１．（１）４张卡片上分别写有数字１,２,３,４，从这４张卡片中随机抽取２张，则取出的２张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为________．

（２）袋中有２个标号分别为１,２的白球和２个标号分别为３,４的黑球．这４个球除颜色、标号外完全相同，４个人按顺序依次从中摸出１个球，求基本事件的个数．

（１）４[用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：（１,２），（１,４），（２,３），（３,４），共４种结果．故填４．]

（２）４个人按顺序依次从袋中摸出１个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：

共２４个基本事件．

古典概型的判定

（１）从区间[１,１0]内任意取出一个实数，求取到实数２的概率；

（２）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；

（３）从１,２,３，…，１00这１00个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率．

[思路探究] 根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可．

[解] （１）不是古典概型，因为区间[１,１0]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．

（２）不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．

（３）是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．

判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征

１．有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个．

２．等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

错误!

２．（１）在数轴上0～３之间任取一点，求此点的坐标小于１的概率．此试验是否为古典概型？为什么？

（２）从１,２,３,４四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是２的概率，此试验是古典概型吗？试说明理由．

[解] （１）在数轴上0～３之间任取一点，此点可以在0～３之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．

（２）此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：（１,２），（１,３），（１,４），（２,３），（２,４），（３,４），且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型．

古典概型概率的求法

[探究问题]

１．掷一枚骰子共有多少种不同的结果？

提示：共有6种不同的结果．