《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布5-7节

f (x, y)
P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy.
G
随机事件的概率=曲顶柱体的体积 x
Gy
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例3 设( X ,Y )的分布密度为
kx(x y), 0 x 1,x y x,
f (x, y) 0,
其他.
y
1 yx
(1) 试确定常数k；
(2) 求概率P( Y<X/2 ).
解(1)由1
f (x, y)dxdy
O
1x
y x
1
dx
x
kx(x y)dy k
1
dx
x (x2 xy)dy
0 x
0 x
2k
1
dx
x x2dy 2k
1 x3dx k ,
k 2
00
0
2
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例3 设( X ,Y )的分布密度为
2x(x y), 0 x 1,x y x,
pi1 pi2 … pij …
其中 pij满足： (1) pij 0, (i, j 1,2, );
(2) pij 1.
i1 j1
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例1 一枚硬币一面刻有数字1，另一面刻有数字2. 将硬币抛两次，以X表示第一次、第二次出现的 数字之和.以Y表示第一次出现的数字减去第二次出 现的数字，求（X,Y）的分布律，P(X+Y>2).
e
X(e)
S
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Y(e)
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注意事项
(1)我们应把二维随机变量
X， Y X e， Y e e S
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；
(2) 在几何上，二维随机变 量X， Y 可看作平面
上的随机点．
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3.联合分布函数
1）定义
设(X ,Y )是二维随机变量,对任意实数x,y ,则称
1 2
3 4
1/4 0
0 1/4
1/4 0
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三、二维连续随机变量
1. 二维连续随机变量 定义 设X, Y均为连续随机变量，若存在非负
函数f (x, y), 使得对于 xOy平面上的任意区域 G有
P[(X ,Y ) G] f (x, y)dxdy
G
则称( X ,Y )为二维连续型随机变量，
f (x, y) 0,
其他.
(2) 求概率P( Y<X/2 ).
y
1 yx
解(2)事件{Y<X/2}={(X,Y) ∈D}
P{(X ,Y ) D} f (x, y)dx dy.
O D1 x
D
y x
1
dx
0
x/2 (2x2 - 2xy)dy
x
1 0
dx
(2
x2
y
xy2
)
|x / 2
x
Fx， y PX x， Y y 是二维随机变量X， Y 的联合分布函数.
2）几何意义
y
Fx, y表示平面上的随机点X,Y 落在以x, y为顶点而位于该点
左下方的无穷矩形区域内的概率．
(X, Y ) o
(x, y)
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3）一个重要的公式
设x1 x2 ，y 1 y2 ， 则
f (x, y)称为联合密度函数(简称联合概率密度).
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联合概率密度的性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f ( x, y)dxdy F(,) 1 ;
另外， 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有
几何解释
2F( x, y) f ( x, y). xy
这个公式非常重要！
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1 f x， y dxdy
f
x， y
ce 3 x4 y
0
x 0，y 0 其它
c
e 3x4 ydxdy
c e 3xdx e 4 y dy
c
00
12
0
0y
所以，c 12．
(2) F x， y PX x， Y y
x 0, y 0
xy
Px1 X x2 ， y1 Y y2
F x2 ， y2 F x2 ， y1 Fx1 ， y2 F x1 ， y1
y y2
(x1 , y2)
y1 (x1 , y1)
(x2 , y2) (x2 , y1)
(X, Y )
o x1
x2 x
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二、二维离散随机变量
1. 二维离散随机变量的联合分布律 定义 若X, Y均为离散随机变量，则 (X,Y ) 为
解： 所有样本点(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)
对应的X取值为：2， 3，3，4
Y取值为：0，-1，1，0
P( X
i, Y
j)
1, 4
X Y -1
0
1
(i, j ) {(2, 0), (3, -1), (3, 1), (4, 0)} 2 0 1/4 0
P( X
+Y
2)
P23 P32
二维离散随机变量,且( X,Y )的所有可能取值为 ( xi , y j ) (i, j 1,2, )
则称 pi j P{X xi ,Y yj } (i, j 1,2, ) 为(X，Y)的分布律或联合分布律.
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Y X
x1 x2 xi
……
…… ……
y1 y2 y j p11 p12 … p1 j … p21 p22 … p2 j …
第五节 二维随机变量
在实际问题中，可能遇到多个随机变量的 情形，如：
1) 射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐 标描述; 2) 研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等;
3) 具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺
寸,外形,外包装等.
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一、 二维随机变量及其分布函数
1）定义： 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是S={e}， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。
f u， vdvdu
x
当 x 0或 y 0时， F x， y 0 ；
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当 x 0 且 y 0 时，
xy
x
y
F x， y f u， vdvdu 12 du e3u4vdv
0
0
x
y
12 e 3udu e 4v dv 1 e 3x 1 e 4 y
1
dx
x/2
2x(x - y)dy
1 15 x3dx 15
0
x
04
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例 4 设二维随机变量X， Y 的密度函数为
f
x， y
ce 3 x4 y
0
x 0，y 0 其它
⑴ 求常数c；
⑵ 求X， Y 的联合分布函数；
(3) P X Y 1．
解：
⑴ 由密度函数的性质，得