高级数理逻辑-习题

1.逻辑语言由哪些内容构成？现代逻辑扩张的方法有哪些？举例说明。

1. 一个字母表(alphabet)：记为A或∑，其元素称为符号，符号(symbol,sign)的有限串构成字(word)。

2. 一个项集(term set)：记为TERM，其元素称为项(term)，是某种合法的字。

3. 一个公式集(formula set,well-formed formula--wff)：记为FORMULA，其元素称为合式公式(wff)，简称公式，是某种合法的字。

一般地，项集与公式集是不的，即TERM⋂FORMULA=∅。

4. 有关的一些语法理论。

(1)项形成规则(formation rule of terms)：规定合法的项；

(2)公式形成规则(formation rule of wffs)：规定合法的公式；

(3)括号省略的原则：缩写约定；

(4)代入规则(substitution rule)：代入的原则及为保持这一原则所作的规定；

(5)其它语法概念：为涉及的其它语法问题所作的规定。

1. 先从语义开始，对已有的各种联结词、算子做出新的语义解释，从而引出有关这些联结词、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统(从语义到语法)；

例如：三值逻辑、多值逻辑、模糊逻辑、归纳逻辑等。

2. 先从语法开始，对已有的逻辑系统增加新的词项及新的算子，从而引出有关这些词项、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统，新的逻辑体系立即引发出全新的语义解释(从语法到语义)

3. 两种扩张的方法混合使用。

1. 三值逻辑是如何从二值逻辑扩张而来的

(1) 经典的二值逻辑对联结词的语义解释——赋值

υ:FORMULA→V AULE (这里：V AULE={t,f})

例如：以下是各非经典逻辑所增加的新算子。

⏹模态逻辑：☐(必然)， (可能)；

⏹时态逻辑：☐(总是)， (有时)，o(下一个)，①(下一时)，U(直到)；

⏹二阶逻辑：二阶变项，二阶量词；

⏹道义逻辑：O(必须)，P(允许)，F(禁止)；

⏹优先逻辑：P(优先)；

⏹时间逻辑：P(过去)，R(现在)，F(将来)；

⏹时相逻辑：H(发生)，B(未发生)，A(事后)，G(完成)；

⏹信念逻辑：B(相信)；断定逻辑：A(断定)；………等。

3. 两种扩张的方法混合使用。

例如：非经典的莱欣巴哈(Reichenbach)三值量子逻辑。

在联结词方面莱欣巴哈三值量子逻辑增加了：

⏹两种否定词：～(循环否定)，——(完全否定)，(原否定词(⌝)称为直接否定

(－))；

⏹两种蕴涵词：→(二者择一蕴涵)，(准蕴涵)，(原蕴涵词(→)称为标准蕴

涵(⊃))；

⏹一种等价词：(二者择一等价)，(原等价词(↔)称为标准等价(≡))；

⏹(并且原合取词(∧)记为(⋅))。

2.求命题公式⌝（P∨Q）↔（P∧Q）的析取范式与合取范式。

⌝（P∨Q）↔（P∧Q）

<=>(⌝（P∨Q）→（P∧Q）)∧(（P∧Q）→⌝（P∨Q）)

<=>(（P∨Q）∨（P∧Q）)∧( ⌝（P∧Q）∨⌝（P∨Q）)

<=>(（P∨Q）∨（P∧Q）)∧(（⌝P∨⌝Q）∨（⌝P∧⌝Q）)

<=>（P∨Q）∧（⌝P∨⌝Q）(合取)

<=>（⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q）（析取）

3.试求下列公式的主析取范式：

（1）))

⌝

∧

⌝

→

∨

→

Q

((P

)

P⌝

Q

(

P

=>⌝P∨((⌝P ∨ Q)∧ (P∧Q))

=>(⌝P∧(⌝Q∨ Q))∨(P∧Q)

=>(⌝P∧⌝Q) ∨(⌝P∧ Q))∨(P∧Q)

（2）)))

⌝

∨

⌝

∨

→

Q

(

P→

(R

Q

P

=>P∨(P∨ (Q∨ (Q∨R))) =>P∨Q∨R

=>(P∧(⌝Q∨Q)∧(⌝R∨R))∨((⌝P∨P)∧Q∧(⌝R∨R))∨((⌝P∨P)∧(⌝Q∨Q)∧R)

=>(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)

4.利用基本等值式证明下列命题公式为恒真公式。

（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）

<=>（⌝P∨Q）∧（⌝ Q ∨ R）∧（⌝P∨ R）

<=> ((P∨Q）∧（P ∨⌝ R）∧（⌝ Q ∨⌝ R）)∨（⌝P∨ R）

<=>⌝ Q ∨⌝ R ∨⌝P∨ R

<=>T

（（P∨Q）∧⌝（⌝P∧（⌝Q∨⌝R）））∨（⌝P∧⌝Q）∨（⌝P∧⌝R）

<=> ((P∨Q) ∧(P∨(Q∧R))) ∨（⌝P∧⌝Q）∨（⌝P∧⌝R）

<=>P∨((P∨Q)∧ (Q∧R)) ∨（⌝P∧⌝Q）∨（⌝P∧⌝R）

<=> (Q∧R) ∨P∨⌝Q∨（⌝P∧⌝R）

<=>R ∨⌝Q∨P∨⌝R

<=>T

5.设已知：

(1)能阅读者是识字的；

(2)海豚不识字；

(3)有些海豚是很聪明的。

试证明：有些聪明者并不能阅读

证首先，定义如下谓词：

R(x)：x能阅读。

L(x)：x识字。

I(x)：x是聪明的。

D(x)：x是海豚。