抛物线中的直角三角形存在性问题一对一教案

年级九科目数学班型一对一学生姓名第次课

课题名称抛物线中的直角三角形存在性问题授课老师授课时间2018年3月20日8:00——10:00

教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧；体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。

教学重点.能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题2.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养

教学难点能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题

教学过程：

一、课前小测：

1.直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是

2.已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,动点P、Q分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上向点B移动，速度是2单位每秒；点Q在线段BC上向点C运动，速度是1单位每秒。设运动时间为t（秒），当t= 秒时，△BPQ是直角三角形。

二、新课学习：

（一）经典模型

模型再现：

已知：定点A(2, 1) 、B(6, 4)和动点M（m, 0）, 存在直角三角形ABM,求点M的坐标。

两线一圆找直角模型：

在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。具体有以下三种情况：比如：（1）当以点A为直角顶点时，过点A作AB的垂线交x轴的点即为所求；（2）当以点B为直角顶点时，过点B 作AB的垂线交x轴的点即为所求；（3）当以点M为直角顶点时，只需要以AB为直径作辅助圆与x轴的交点（一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点）即为所求。

（二）解法：1.“K型相似”（一线三直角）

提示：竖直型，上减下；水平型，右减左。遇直角，构矩形，得相似，求结果。

2.勾股定理（暴力法---两点间距离公式）

利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。其基本解题思路是列点.列线.列式。

第一步，列出构建所求直角三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标；

第二步，采用分类讨论思想，列出构建所求直角三角形的三个边，并分类讨论两两垂直的三种可能性；

第三步，把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式，利用勾股定理的逆定理列出等式求解。注意：解出点的坐标应结合已知进行检验，若出现三点共线或出现不合题意得点均要舍去。（请学生完成做题过程）

注意：有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单，在一些综合题中一般要结合“K 型相似”去做更简单一些。

2

2

2

2

222222,HM

BN GH BG HM BM BH GH BG BH -=--=-= 2

22222

2

2

2

22222,AB BD MD CM AC AB

BM AM BM BD MD AM CM AC =+++∴=+=+=+又

3. 解析法：两直线互相垂直，两直线的解析式为11b x k y +=与22b x k y += → 121-=⋅k k ，通过求垂线的解析式再求其与x 轴的交点即可。

K AB ·K AM =-1 K AB ·K BM =-1

（三）典例讲解

例1. 如图，直线与抛物线2

12

y x bx c =

++交于点A （0，1）

，B （4，3）两点。与x 轴交于点D 。 ⑴求直线和抛物线的解析式；

⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAB 是直角三角形时，求点P 的坐标P

y

x

D

O

B

A

例2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点A (3,0),B (−1,0),C (0,−3)，顶点为D. (1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标；

(2)在y 轴上找一点P (点P 与点C 不重合),使得∠APD =90°，求点P 坐标； (3)在(2)的条件下，将△APD 沿直线AD 翻折，得到△AQD ，求点Q 坐标。

例3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0)，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上。

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线。垂足为F，连接EF，当线段EF 的长度最短时，求出点P的坐标。

三、课堂练习：

1. 如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0),B(1,0),C(0,−3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

2. 如图,直角梯形OABC中,OC∥AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交x轴于E,D两点(D点在E点右方).

(1)求点E，D的坐标；

(2)求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；

(3)过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。

检查人： 日期：

3. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(-3，0)、C(0，4)，点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO ． （1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．

4. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋1

2x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．

（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

四、小结：

（1）几何法三部曲：先分类；再画图，构造相似；列比例式求解。 （2）勾股定理三部曲：线罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验。 （3）解析法三部曲：分类画图；K 1·K 2=-1；求直线解析式、交点坐标。 五、作业布置（另附）： 课后 反思