排列及n级行列式

32
●行列式的定义
行列式是研究矩阵的一个重要工具，是矩阵的重要数字
特征。 对于n阶方阵
用记号
第一行
元素
表示一个与A相对应的数，称为矩阵A的行列式(Determinant).
记做det(A)，或|A|.
排列的逆序数
定义1(P52) 由n 个自然数1,2,3, …，n,构成的一个有 序数组称为这一个n 阶排列.
例如：1, 2, 3构成的三阶排列有： 123， 231, 132等等
例如：1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 都是数1，2，3，4，5的一个5阶排列.
53214
注：n个数的不同n阶排列有n !个. 1,2,3, …，n,按照由小到大的顺序排成的 排列称为n阶标准排列或自然顺序排列.
定义2（P52）在一个排列中，若某个较大的数排在某 个较小的数前面，就称这个排列含有一 个逆序. 一个排列中出现的逆序的总数
a 元素 44 的余子式 M44 a21 a22 a23
a31 a32 a33
a 元素 44 的代数余子式 A44 1 44 M44 M44
注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a12a23a31
乘积项任意排列
a a a (1) (231) (312) 23 31 12
a12a23a31
该项都是相等的！
行列式的性质
转置行列式
a11 a12 L a1n
Transpose D a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 K annn
行、列对掉
ri ci
f x 1 x 1 1
32 x 1 1 1 2x 1
23
解 含 x3 的项有两项,即
x1 1 2
对应于
f x 1 x 1 1
32 x 1 1 1 2x 1
1 a a a a 1 a a a a (1234) 11 22 33 44
1243
11 22 34 43
称为这个排列的逆序数，排列 j1 j 2 L j n
的逆序数通常记为 ( j1 j 2 L j n )
例如：排列12的逆序数为 0，
大小
排列21的逆序数为 ，1
排列231的的逆序数为 ，2
排列213的逆序数是 。1
练习： (45321) 9 (54321) 10
n 级排列 i1i2 L in 的逆序数的计算:
4、每项符号与逆序数的奇偶有关，偶排列取 正，奇排列取负。
例1（P57）
1000
0 0
2 0
0 3
0 0

(1) (1234)a11a22a33a44 24
百度文库
0004
1
2 3 4
(1) (654321) a16a25a34a43a52a61
5
6
6! 720
上三角形行列式
定义4 n阶行列式（P56）
n 级行列式
a11 a12 L a21 a22 L M MO an1 an2 L
的值等于所有取自不同行
a1n
不同列的n个元素的乘积 的代数和
a2n
( j1 j2L jn )
(1) a a L a . 1j1 2 j2
njn
M j1 j2L jn
ann
其中 j1 j2L jn 为自然数 1，2，L ，n 的一个排列，
(i1, i2 , , in ) 数 i1 后面比 i1 小的数的个数
数 i 后面比i 小的数的个数
2
2

数 in1 后面比 in1 小的数的个数
定义3（P53）
逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的
排列称为奇排列。
定义（P53）
把一个排列中的某两个数交换位置，其余数字 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换(动词)。
an1 anj ann
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a ij 的代数余子式．
●余子式和代数余子式
a 在 n 阶行列式中，把元素 ij 所在的第 i 行和
a1 al ab b1 bm 对换a与b a1 al ba b1 bm 除a ,b 外，其它元素所成逆序不改变.
因此对换相邻的两个元素，排列改变奇偶性.
2) 一般情形 ab不相邻
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn m 次相邻对换
k 1
D按第i行展开的展开式
例 根据展开式计算行列式的值
2 12 D 4 3 1
2 35
按第一行展开
2 A11 1A12 2 A13
2 (1)11 3 1 1 (1)12 4 1 2 (1)13 4 3
35
25

a11 a21 L an1 a12 a22 L an 2 M MMM
记为D DT
an1 an 2 L ann
a1n a2n L ann
如 a b a c
cd bd
余子式与代数余子式(P75-77)
对 n 阶行列式
a11 a1 j a1n
ai1 aij ain
1
a a a a (1234) 11 22 33 44

x3,
1
a a a a 1243 11 22 34 43

2 x 3
故 x3 的系数为 1.
24
a11 a12 L a1n
行列式的三个等价定义 P62
a21
a22
L
a2n
M MO M
an1 an2 L ann
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线 法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
练习：根据定义算一算
514 3 2 1 2 0 2
522 1 (1)(2) 430 4 2 (2) 132 5(1)0
现证n级排列情形： 设 j1 j2L jn 是一n级排列，若 jn n ,由归纳,
则n1级排列 j1 j2 L jn1可经一系列对换变成排列
12L n 1 ，则此对换将 j1 j2L jn 变成 12L n 若 jn n ，先对 j1 j2 L jn 作 jn , n 的对换，它就 变成 j1' j2' L jn' 1n，则归结成前一情形，因此总成立.
二阶行列式的计算
一种运算表达式！
主对角线 a11 副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
a22
例 6 2 6(3) 2(5) 8
5 3
cos sin cos2 (sin2 ) 1
sin cos
三阶行列式的计算
三阶行列式
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
a 元素
23 的代数余子式
A23
1
M 2 3 23
M23.
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a12 a13
Cn2

k

n(n 1) 2

k
作业：P96 4
二阶行列式的计算 主对角线 a11 副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
a22
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积
特别
a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a44
a11a22a33a44
对角形行列式
x1 1 2
例2 f x 1 x
1
1 求 x3 的系数.
32 x 1
1 1 2x 1
解 含 x3 的项有两项,即 x1 1 2
定理2 （P54）
若干L次L对换 j1 j 2 L j n
若干次对换
定理2 （P54） 若干L次L对换 j1 j 2 L j n
若干次对换
证明：对排列的级数n作归纳，证明该结论成立。
1级排列只有1 个，结论自然成立。 假设结论对n1 级排列成立，
j1 j 2 L j n1 若干次L对换
a11 a21 L an1
D a12 a22 L an2
MM
M
或记作 DT
a1n a2n K ann
称 DT为行列式 D 的转置行列式
●行列式的性质
表明行与列是 性质1（P60） 行列式转置后，其值不变， 对等的，行具
即
有的性质，列
也具有
a11 a12 L a1n
a21 M
a22 M
L a2n MM

(1) ( j1 j2L
a a L jn ) 1 j1 2 j2
anjn .行下标取自然顺序
j1 j2L jn
列下标取自然顺序
行列下
标任意 排列
三阶行列式的项按行下标排列
(1) (231) a12a23a31 a12a23a31
乘积项按列下标排
(1)
a a a (312) 31 12 23
作乘积和！
第i行元 第i行元对应 的代数余子式
行列式按行（列）展开法则
定理3 n 阶行列式等于它的某一行（列）的各 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n an1 an2 ann
对应代数余子式
n
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik i 1,2, , n
为这个排列的逆序数．
a11 a12 A a21 a22
an1 an2
a1n a2n
的值等于所有取自不同行 不同列的n个元素的乘积
的代数和
ann

(1) ( j1 j2L
a a L jn ) 1 j1 2 j2
anjn .
j1 j2L jn
结论：1、共有n！项；2、每项又n个元素； 3、每项这n个元素一定处于不同行不同列中；
例如：1 2 3 4 5 1 3 2 4 5
定理1 (P53)
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．
奇排列 对换 偶排列 对换 奇排列
定理1 (P53)
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．
证明 1) 特殊情形：ab相邻 设排列为
a 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 ij
的余子式(cofactor)。记为 Mij
a 称
Aij
1
M i j ij
为元素
ij 的代数余子式。
a11 a12 a13 a14 例如： D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
(2) 自然排列12…n可经一系列的对换变到任意一个n元
排列： j1 j2 L jn 。
本定理的后一结论显然成立(自然排列为偶排列).
(偶排列) 奇数次对换 j1 j 2 L j n (奇排列)
思考题
如果排列 x1 x2L xn1 xn 的逆序数为 k ，则排列 xn xn1L x2 x1 的逆序数是多少？P96 5
a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论： n 时2 ，n 个数的所有排列中，奇偶 排列各占一半，各为 个n. !2
a11 a12 a13 a14 0 a22 a23 a24 0 0 a33 a34 0 0 0 a44
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为
主对角线上的元素之乘积
下三角形行列式
a11 0 0 0
a a a a a21 a22 0 0
11 22 33 44
a31 a32 a33 0
a41 a42 a43 a44