两自由度(无阻尼强迫振动)系统

如图所示两自由度（无阻尼强迫振动）系统，证明在强迫振动共振时系统的运动为主振动。 证： 振动微分方程为

t F x k x k k x m ωsin )(12212111=-++∙

∙

t F x k k x k x m ωsin )(22231222=++-∙

∙

引入符号

121m k k a +=

，12m k b =，22m k c =，22

3m k k d +=

111m F f =

，2

22m F

f = 则振动微分方程简化为

t f bx ax x ωsin 1211=-+∙

∙

t f dx cx x ωsin 2212=+-∙

∙

现令 t B x ωsin 11= , t B x ωsin 22= 代入简化的振动方程，得 1212)(f bB B a =--ω

2221)(f B d cB =-+-ω

解之得

2

12

2

2112)()(bf f d f a cf B B +--+=ωω (1) 自由振动时，振动微分方程为 0)(2212111=-++∙

∙x k x k k x m

0)(2231222=++-∙

∙x k k x k x m

x1 x2

F1sinwt F2sinwt

同理解得主振型为

2

12

2

2112122222)()()()(bf f p d f p a cf f p d cf bf f p a p d c b p a i i i i i i i +--+=-=-=-=-=ν (i=1,2) (2)

由（1）、（2）两式比较可知：当i p =ω时（i=1,2）

i i B B ν=)(

1

2

即在系统共振时，系统的振型为主振型，系统的振动为主振动。

李小龙

2017-3-26