圆内接四边形的性质学习资料
3.圆内接四边形的性质与判定
3．圆内接四边形的性质与判定一、基础知识回顾1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的相等，所对的 也相等。
2. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条 、两条 、两个 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。
3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 。
(1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90º的圆周角所对的弦是 .(2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 .二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
例如，图1中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。
圆内接四边形有以下性质：性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。
已知：如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE 是四边形ABCD 的外角。
求证：（1）∠A+∠BCD=180º，∠B+∠D=180º； （2）∠DCE=∠A 。
证明：（1）∵ ，，∴∵ 和 的度数和是360 º∴同理，∠B+∠D=180º。
(2) ∵∠DCE 是四边形ABCD 的外角，∴∠DCE+∠BCD=180º由（1）得∠A+∠BCD=180º九年级上册第三章用O AB C D 图1 OAB C DE 图2BAD ⌒ BCD ⌒ ⌒∠A 所对的弧是BCD ∠BCD 所对的弧是BAD ⌒⌒ ⌒ m m .21,21A BAD BCD BCD =∠=∠.18036021)(212121︒=︒⨯=+=+=∠+∠BAD BCD BAD BCD BCD A m ⌒ ⌒ ⌒ ⌒∴∠DCE=∠A 。
反过来，如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗？已知：四边形ABCD 中，∠B +∠D=180° 求证：A,B,C,D 在同一圆周上。
圆内接四边形的性质与判定ppt课件
圆内接四边形的对角互补
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶 点共圆.
性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角 的对角。
如果四边形的一个外角等于它的内角的 对角，那么它的四个顶点共圆.
性质定理的逆命题成立吗？
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
(2)如果点D在⊙O内部。 则∠B+∠E=180°
∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC
同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。
综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。 A D
E O
B
C
（2）
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.
A
E
D
证明：(1)如果点D在⊙O外部。 则∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180° B
得∠ D=∠AEC与“三角形外角大于任意
O
C
（1）
不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
o 圆 1与
圆o2都经过A,B两点。经过点A
的直线CD与圆o1交于点C,与圆o2交与点经过点B
的直线EF与圆o1交于点E,与圆o2交与点F.
求证：CE//DF. 证明：连接AB
非学科数学学培训 圆内第四大定理之圆内接四边形(资料附答案)
自学资料一、圆内接四边形【知识探索】1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆．2．圆内接四边形的对角互补．【错题精练】例1．如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD=AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：①OA⊥DB；②CD+CB=2CE；③∠CBA−∠DAC=∠ACB；④若∠DAB= 90∘，则CD+CB=√3CA．其中正确的结论（）第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. ①③④；B. ①②④；C. ②③④；D. ①②③．【答案】D，例2．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30∘，BD是⊙O的直径，如果CD=4√33则AD=．【答案】4．的值是例3．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则EFGH （）A. ；B. ；C. ；D. 2．【答案】C例4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为第2页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（）．A. cmB. 9 cmC. cmD. cm【解答】C【答案】C例5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，∠C=2∠BAD．（1）求∠BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r,∠ODA=45∘，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．【解答】（1）解：∠A+∠C=180，∠C=2∠A，∴∠A=60∘，∴∠BOD=2∠A=120∘（2）证明：连接OB，OC，OD，可以得出△BOC是等边三角形，∴OB=OC=OD=CD，∴四边形OBCD是菱形；（3）解：过D做DH⊥AB与H，∵DH=√62r，BH=√62r，AH=√22r，∴S△ABD=3+√34r2．第3页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】（1）∠BOD=2∠A=120∘；（2）略；（3）S△ABD=3+√3r2．4例6．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40∘，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．【解答】（1）解：∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF=50∘；（2）证明：令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180∘−2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90∘−α，∴∠CFD+∠FCD=α+(90∘−α)=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．【答案】（1）∠CBF=50∘；（2）CD⊥DF．例7．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．第4页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC⋅AF=DF⋅FE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠DCB+∠DAB=180∘，∵∠MCD+∠DCB=180∘，∴∠MCD=∠DAB，∵CD为∠BCA的外角的平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，∴∠DCA=∠DBA，∴∠DAB=∠DBA，∴DB=DA，∴△ABD为等腰三角形．（2）证明：由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF①∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF，而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180∘，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，同理∠DCA=∠AFE∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，∴△CDA∽△FAE，∴即CD⋅EF=AC⋅AF，又由①有AC⋅AF=DF⋅EF．【答案】（1）略；（2）略．例8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD．第5页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】例9．（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．（2）依已知条件和（1）中的结论：①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．第6页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】【答案】见解析例10．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE=DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【答案】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，第7页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第8页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】第9页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第10页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】【举一反三】1．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78∘，则∠EAC=度．【答案】27．2．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE，若∠D=78∘，则∠EAC=（）A. 37°；B. 32°；C. 21°；D. 18.5°．【答案】C．3．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②AE=2EC；③劣弧AE是劣弧DE的2倍；④DE=DC．其中不正确结论的序号是（）A. ①B. ④C. ③D. ②【解答】【答案】D4．如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（）A. AB=AEB. AB=BEC. AE=BED. AB=AC【解答】【答案】C5．已知△ABC．（1）如图，AC⊥AB，点D为BC上一点，∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠CAD，求证：AE∥BC．（2）如图，点P是BC上一点，且∠APC＜90°，以AP为一边作正方形APMN，若NC⊥BC，则∠ACB= °，并证明你的结论．【答案】6．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AF⊥BC于点H，AD与BC的延长线交于点E，连接BD．（1）若BC=8，FH=2，求⊙O得半径长；（2）若∠EDC=70∘，求∠ADB的度数．【解答】（1）解：由垂径定理得BH=4，OH=r−2，由勾股得：r=5；（2）解：连接AC，由垂径定理得：AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EDC=70∘，∴∠ABC=∠ACB=70∘，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=70∘．【答案】（1）5；（2）70°．7．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．【答案】8．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（-3，0），C（，0））（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】9．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．【解答】【答案】见解析10．已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB=6，CD=2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．【解答】【答案】见解析11．我们学过圆内接三角形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，下面我们来研究它的性质．（I）如图（1），连接AO、OC，则有．∴，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圆内接四边形对角（相对的两个角）互补．（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角，请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．（III）应用：请你应用上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，如果DE平分∠FDC，求证：AB=AC．【解答】【答案】见解析1．如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45∘，试求AB的长．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴∠DCO=90∘．∵∠POM=45∘，∴∠CDO=45∘．∴CD=CO．∴BO=BC+CO=BC+CD．∴BO=2AB．连接AO，∵MN=10，∴AO=5．在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，AB2+(2AB)2=52，解得：AB=√5，则AB的长为√5．【答案】√5．2．如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90∘．在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，∴BC=√AB2−AC2=√62−22=4√2．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD．∴．∴AD=BD．∴在Rt△ABD中，AD=BD=3√2，AB=6．∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD=12AC⋅BC+12AD⋅BD=12×2×4√2+12×3√2×3√2=9+4√2．故四边形ADBC的面积是9+4√2．【答案】9+4√2．3．（2015秋•嵊泗县期中）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；（2）写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数；（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）【解答】【答案】。
圆内接四边形的性质(对角线相等)
圆内接四边形的性质（对角线相等）圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，本文将探讨圆内接四边形的性质之一——对角线相等。
1. 圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。
这种情况下，对角线相等的性质就会出现。
2. 圆内接四边形的性质对于任意一个圆内接四边形，其对角线是相等的。
也就是说，四边形的两条对角线长相等。
证明如下：设圆内接四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，四条边分别为AB、BC、CD、DA。
连接AC和BD作为对角线。
我们需要证明|AC| = |BD|。
由于四边形的四个顶点都在同一个圆上，根据圆上弧所对的圆心角相等的性质，我们可以得到：∠ABC = ∠CDA∠BCD = ∠DAB又因为圆上的切线与半径垂直，我们可以得到：∠BAC = ∠BDC∠CBD = ∠CAD根据上述等角关系，我们可以证明△ABC与△CDA全等，以及△BCD与△DAB全等。
因此，我们可以得出以下结论：∠A = ∠C，∠B = ∠D△ABD与△CBA全等根据全等三角形的性质，我们可以得到：|AB| = |CB||AD| = |CD|因此，我们有|AC| = |AB| + |BC| = |CB| + |CD| = |BD|。
这样，我们证明了对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。
3. 圆内接四边形的应用圆内接四边形的对角线相等这一性质在几何学中有广泛应用。
例如，当我们需要求解一个圆内接四边形的对角线长度时，我们可以利用这一性质进行计算。
另外，对角线相等还可以用于证明其他性质，扩展到更复杂的几何问题中。
4. 总结圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。
对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。
这一性质可以通过等角关系和全等三角形的性质进行证明。
圆内接四边形的对角线相等性质在几何学中有广泛应用，可以用于计算和证明其他性质。
通过本文的讨论，我们对圆内接四边形的对角线相等性质有了更深入的了解，也增加了对几何学中相关概念的理解。
圆内接四边形知识讲解
圆内接四边形责编：康红梅【学习目标】1．了解圆内接四边形和四边形的外接圆的定义；2．掌握圆内接四边形的对角互补.【要点梳理】要点一、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典型例题】类型一、圆内接四边形1.如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC=120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是（）A．130° B．120° C．110° D．100°【思路点拨】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠ADE=180°，然后根据同角的补角相等得出∠ADE=∠B=120°．【答案】B；【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=120°，∴∠ADE=120°．【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52°B．54°C．56°D．60°【答案】B．【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，∴∠DCE=∠BAD=108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠DCE=54°．2.（2016•聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【思路点拨】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【答案】B．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．故选B．【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．举一反三：【变式】在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若点E在上，求∠E的度数．【答案与解析】解：连接BD，∵∠C+∠BAD=180°，∴∠BAD=180°﹣110°=70°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=（180°﹣70°）=55°，∵四边形ABDE为圆的内接四边形，∴∠E+∠ABD=180°，∴∠E=180°﹣55°=125°．3.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【思路点拨】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．【答案与解析】解：（1）∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC；（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣．【总结升华】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．举一反三：【变式】已知：如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC．求证：AD平分∠EAC．【答案】证明：如图，∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，∴∠EAD=∠DCB．∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB．又∵∠DBC=∠DAC，∴∠EAD=∠DAC，即AD平分∠EAC．4.如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．【思路点拨】首先在MA上截取ME=MC，连接BE，由BM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得到BE=BC，得到∠BEC=∠BCE；再由AB=BD，得到∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，则∠BEC=∠BAD，根据圆内接四边形的性质得∠BCD+∠BAD=180°，易得∠BEA=∠BCD，从而可证出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，即有AM=DC+CM．【答案与解析】证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，∵BM⊥AC，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵AB=BD，∴=，∴∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，∴∠BEC=∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，∴∠BEA=∠BCD，∵∠BAE=∠BDC，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∴AM=AE+EM=DC+CM．【总结升华】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．。
数学素材：教材梳理第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理
庖丁巧解牛知识·巧学一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个：定理1是圆的内接四边形对角互补；定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理的表述形式稍有差别,但反映的本质相同，都反映了圆内接四边形所具有的特征.知识拓展利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系;再进行其他的计算或证明。
利用这两个定理可以得出一些重要结论：如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形。
应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程。
二、圆内接四边形的判定定理1.定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B+∠D=180°,那么四边形ABCD内接于圆。
疑点突破要证明四边形ABCD内接于圆,就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上。
根据我们的经验，只要能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆。
因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点，譬如A、B、C三点作一个圆，再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难，所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点D不在圆上是错误的，因此点D只能在圆上.由于点D不在圆上时，可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况,所以应分别加以证明，下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D 在圆内,若作出对角线BD,设BD和圆交于D′，连结AD′、CD′，则ABCD′为圆内接四边形（如图2-2-2）,则∠ABC+∠AD′C=180°。
另一方面，因为∠ADB、∠BDC分别是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B<∠ADB,∠BD′C<∠BDC，于是有∠AD′C〈∠ADC.因为已知∠ABC+∠ADC=180°，所以∠ABC+∠AD′C〈180°,这与圆内接四边形的性质定理矛盾。
圆内接四边形的性质与判定定理
(2)如果点D在⊙O内部. 延长AD交圆于点E, 连接CE,则
∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°
A D
E O
B
C
∴∠E=∠ADC
（2）
这同样与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.
∴点D不可能在⊙O内.
综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆.
2.【圆内接四边形的判断定理】
∠DGF = ∠A +∠AEG,
A
B
而∠AEG = ∠CEF. ∴∠CFG = ∠DFG.
GF
E
D
C
如果多边形所有顶点都在一个圆上.那么这个多边 形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
思考:
任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗?为什么?
需要具备 什么样的 条件呢？
等腰梯形呢?为什么?
一般地, 任意四边形都有外接圆吗?为什么?
A
DA
D
A
D
A
D
O
B
C
别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，则
FG ∥ BD,GH ∥ AC.∵AC ⊥ BD,
A
H
∴FG ⊥ GH.同理可证，HE ⊥ EF.
E
D
∴∠HEF +∠FGH = 180o.
G
∴F、G、H、E四点共圆.
B
F
3.如图，∵A、B、C、D四点共圆.∴∠FCE = ∠A.
C
∵∠CFG = ∠FCE +∠CEF,
过D就证明了.
O C
显然，点D与圆有且只有三种位置关系：
初中圆内接四边形知识点
初中圆内接四边形知识点圆内接四边形是初中数学中的一个重要概念，它涉及到了圆和四边形的关系。
本文将通过逐步思考的方式，详细介绍初中圆内接四边形的相关知识点。
第一步：理解内接四边形的概念首先，我们需要明确什么是内接四边形。
一个四边形被称为内接四边形，当且仅当四个顶点都位于同一个圆上。
第二步：认识内接四边形的性质接下来，我们来了解一些内接四边形的性质。
1.性质一：对角线互相垂直对于任意一个内接四边形，其对角线互相垂直。
这是因为对角线是圆的直径，而直径与圆上的任意一条弦垂直。
2.性质二：对角线相互平分内接四边形的对角线相互平分。
也就是说，对角线的交点是对角线的中点。
3.性质三：内角之和为360度内接四边形的四个内角之和等于360度。
这是因为四边形可以看作是两个三角形的组合，而一个三角形的内角之和是180度。
4.性质四：内接四边形是等边四边形的特例如果一个内接四边形的四个边相等，那么这个内接四边形就是等边四边形。
第三步：推导内接四边形的相关定理在初中数学中，我们还可以通过一些定理来推导内接四边形的性质。
1.定理一：圆内接四边形的内角和定理对于任意一个圆内接四边形，其内角和等于180度。
这个定理的证明可以通过将圆内接四边形分成两个三角形来完成。
2.定理二：内接四边形的对角线定理对于一个内接四边形，其对角线互相垂直且相互平分。
这个定理可以通过圆的性质以及对角线互相垂直的性质进行证明。
第四步：解题思路和应用最后，我们可以通过解题来巩固对圆内接四边形的理解。
在解题时，我们可以首先根据题目中给出的条件，判断是否为内接四边形。
然后，可以利用内接四边形的性质和相关定理，进行推导和计算。
例如，我们可以通过已知内接四边形的一个角的度数，计算其他角的度数。
或者，通过已知内接四边形的一个边的长度，计算其他边的长度。
总结初中圆内接四边形是数学中一个重要的概念，它涉及到了圆和四边形的关系。
通过逐步思考，我们可以了解到内接四边形的性质和相关定理，并且可以通过解题来巩固和应用这些知识点。
圆的内接四边形复习讲义
圆的内接四边形复习讲义一、知识点总结[顶点]四个定点 [圆] 圆内接四边形的四个顶点在圆上[边]四条边 [弦]圆内接四边形的每条边都是圆的弦[公共点]每相邻的边有公共点[角]四个角 [圆周角] 圆内接四边形的每个角都是一个圆周角[邻角] 每相邻两角有一条公共边[对角] 对角互补[和] 四个角的和为360度[对角]圆内接四边形的对角互补，任何一个外角等于它的内对角任何一个对角互补的四边形都有外接圆[顶点在圆上]如果一个四边形的顶点在圆上，则这个四边形是圆内接四边形[边是弦]如果一个四边形的边都是一个圆的弦，则这个四边形是圆内接四边形[平行四边形]圆的内接平行四边形是矩形 [平行]平行弦所夹的弧相等[菱形]圆的内接菱形是正方形 [点]圆的内接正方形的四个顶点把圆四等分∽[外切正方形] 圆的外切正方形的四个切点把圆四等分[内接、外切]正方形的内切圆的圆心和外接圆的圆心重合[梯形]圆的内接梯形是等腰梯形圆的内接多边形圆的外切四边形二、知识的应用模型四：圆内接等边三角形模型构成部分：如图1，⊙O、正△ABC本质：角度一：位置关系正△ABC的三个顶点在⊙O上角度二：圆心O1、如图1，过A作AD⊥BC于D，交⊙O于E，设⊙O的半径为R，AD=h，边长为a，边心距为r，则（1）具有圆内接等腰三角形所有的性质（2）对称性：C D A B圆和它的内接等边三角形组成的图形是轴对称图形，对称轴是三边的中垂线（3条）圆和它的内接等边三角形组成的图形是中心对称图形，对称中心是△ABC 的中心（3）3:32:2:1:::=h a R r2、 如图2，把⊙O 对折，使A 点落在弧BC 的中点H 处，FG 为折痕，交AB 、AC 于点D 、E ，设边长为a ，则（1）圆心O 为DE 的中点（2）△BOH 为正三角形（3）FG ∥BC a DE BC DE 3232=⇒=→ 三、练习题1.已知:如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E,若AB=10,CD=6,则BE 的长是( ).(A)4 (B)3(C)2 (D)12.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,点E 在BC 延长线上.若∠A=50o ,则∠DCE 等于( ).(A) 40o (B) 50o(C) 70o (D) 130o3、如图， A 、B 、C 、D 在同一个圆上，则圆中相等的圆周角有（ ）A ．1 对B ．2 对C ．3 对D ．4 对4、在圆内接四边形ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1，则∠D= 。
圆内接四边形的性质与判定定理 课件
如果四边形的一个外角等于它的内角的________，那么这 个四边形的四个顶点共圆．
1．互补 对角 2.(1)互补 3.对角
在圆内接四边形ABCD中，已知∠A、∠B、 ∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．
解析：设∠A、∠B、∠C的度数分别为4x、3x、5x， 则由∠A＋∠C＝180°，可得4x＋5x＝180°，∴x＝20°.
∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°， ∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.
如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB 和DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，如果 ∠A＝50°，∠P＝30°，求∠Q的度数．
解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠QCD＝∠A＝50° 又∠P＝30° ∴∠CDQ＝∠P＋∠A＝80°. ∴∠Q＝180°－80°－50°＝50°.
圆内接四边形的性质与判定定理
1．在圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角 ________．
圆内接四边形性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内 角的______．
2．圆内接四边形的判定定理
(1)定理：如果一个四边形的对角________，那么这个四边 形的四个顶点共圆．
(2)符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝ 180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆．
如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形， 过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、 F四点共圆．
分析：连接EF，由∠B＋∠AEF＝180°，∠B＋∠C＝ 180°，可得∠AEF＝∠C.
证明：如图，连接EF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＋∠C＝180°. ∵四边形ABFE内接于圆，
《圆周角》圆(第2课时圆内接四边形的性质)
圆周角定理的应用非常广泛，它可以解决各种与圆和四边形相关的问题，包括证 明、计算和作图等。
详细描述
利用圆周角定理，可以证明一些与圆和四边形相关的性质和定理，如切线的性质 、弦的性质等。此外，在解决一些几何问题时，如计算角度、长度等，也可以利 用圆周角定理来简化计算过程。
圆内接四边形与圆周角的联系
03
圆内接四边形与圆周角的关系
圆周角定理
总结词
圆周角定理是圆内接四边形的一个重要性质，它描述了圆周角与相邻的两条弦 之间的关系。
详细描述
圆周角定理指出，在一个圆内接四边形中，相对的两个角所夹的弧所对的圆周 角等于这个角的对边所对的中心角的一半。这个定理是证明其他圆周角性质和 定理的基础。
圆周角定理的应用
作图步骤
1. 确定圆心位置
选择四边形的对角顶点作为圆 心。
2. 确定半径长度
根据四边形边长的一半和圆心 位置，计算出半径长度。
3. 画出圆弧
以圆心为起点，沿着确定的半 径长度画出圆弧。
4. 完成作图
根据需要，可以进一步画出四 边形的其他边和角。
实例演示
首先，选择矩形对 角顶点B和C作为圆 心。
接着，以B和C为起 点，沿着确定的半 径长度画出圆弧。
圆内接四边形也是解析几何中的重要概念，它可以用于研究平面解析几何中的问 题，如轨迹、极坐标等。
在建筑设计中的应用
圆内接四边形在建筑设计中也有广泛应用。例如，在建筑设 计时，可以利用圆内接四边形的性质来设计出优美的建筑造 型，使建筑更加符合人们的审美需求。
圆内接四边形也可以用于建筑设计中的空间布局和结构设计 ，以提高建筑的使用功能和安全性。
在日常生活中的应用
圆内接四边形在日常生活中也有很多应用。例如，在制作 家具时，可以利用圆内接四边形的性质来设计出符合人体 工程学的椅子、桌子等家具，提高家具的舒适度和实用性 。
圆内接四边形的性质及其应用
03 圆内接四边形的面积和周 长
面积的计算
面积公式
圆内接四边形的面积可以通过公 式计算，公式为$S = frac{1}{2} times d times p$，其中$d$是 圆的直径，$p$是圆内接四边形
的周长。
面积与半径的关系
圆内接四边形的面积与半径成正 比，当半径增大时，面积也相应
增大。
面积与角度的关系
04 圆内接四边形的实际应用
在几何作图中的应用
性质利用
圆内接四边形的对角互补性质在几何作 图中常被用来确定点或线的位置。例如 ，通过已知的两个相对角的度数，可以 确定一个圆的圆心和半径。
VS
作图工具
圆内接四边形可以作为作图工具，帮助确 定复杂图形的角和边的长度。例如，在绘 制椭圆或更复杂的几何图形时，可以利用 圆内接四边形的性质来辅助作图。
，证明相对的两个内角互补。
弦切角定理的证明
总结词
弦切角定理表明，在圆内接四边形中，切线与弦之间 的夹角等于该弦所对的圆周角。
详细描述
要证明弦切角定理，可以首先在圆内接四边形中作一 条切线，并连接该切线与弦的端点。然后，利用圆的 切线性质和圆周角定理（圆周角等于同弧所对的圆心 角的一半），证明弦切角定理成立。
切线长定理
总结词
切线长定理表明在圆内接四边形中，两条相对的切线长度相等，且两条切线的交点到两切点的距离也 相等。
详细描述
在圆内接四边形ABCD中，如果AB和CD是切线，那么线段AC等于线段BD，即AC = BD。这是因为切线 与半径垂直，而两条切线的交点到两切点的距离相等。这个定理可以用来判断一个四边形是否为圆内接四 边形。
圆内接四边形的面积还与其相对 的两个角度有关，相对角度越大，
圆内接四边形的性质与判定定理 课件
【思路探究】 先利用 PC 是圆的直径，得到 PF∥BC， 再利用圆内接四边形的性质，得到 DF∥PC，最后利用平行
线分线段成比例证明结论．
【自主解答】 连接 DF、PF. ∵PC 是直径， ∴PF⊥AC. ∵BC⊥AC，
∴PF∥BC，∴PPAB＝FFAC.
∵四边形 PCFD 内接于⊙O， ∴∠ADF＝∠ACP， ∵AP＝AC， ∴∠APC＝∠ACP.
△ABC 外接圆劣弧 上的点(不与点 A，C 重合)，延长 BD
至 E. (1)求证：AD 的延长线 DF 平
分∠CDE； (2)若∠BAC＝30°，△ABC 中
BC 边上的高为 2＋ 3，求△ABC 外接圆的面积．
图 2－2－7
【思路探究】 (1)利用同弧所对的圆周角相等及圆内接 四边形的性质定理求解．
∴∠ADF＝∠APC.∴DF∥PC，
∴DDAP＝FFAC，∴PPAB＝DDAP.
1．在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直 线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等．
2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其 内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而 证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
如图 2－2－5 所示，在△ABC 中，AD＝DB， DF⊥AB 交 AC 于 F，AE＝EC，EG⊥AC 交 AB 于 G，求证：
(1)D、E、F、G 四点共圆； (2)G、B、C、F 四点共圆．
图 2－2－5
【思路探究】 (1)要证 D、E、F、G 四点共圆，只需找 到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等， 可取 GF 的中点 H，证点 H 即为圆心．
圆内接四边形的性质与判定定理
1．圆内接四边形的性质定理 (1)定理 1：圆的内接四边形的 对角互补 ．如图 2－2－1： 四边形 ABCD 内接于⊙O，则有：∠A＋ ∠C＝180°，∠B＋ ∠D ＝180°.
圆内接四边形课件
与矩形的关系
特殊的圆内接四边形是矩 形，即对角线相等的平行 四边形。
与菱形的关系
特殊的圆内接四边形是菱 形，即四边相等的平行四 边形。
与正方形的关联
正方形是特殊的矩形和菱 形的结合体，因此也是特 殊的圆内接四边形。
圆内接四边形的历史与发展
古代起源
01
古希腊数学家开始研究圆内接四边形，发现了其与圆的性质之
详细描述
圆内接四边形的定义是四个顶点 都在同一个圆周上的四边形。这 个圆被称为四边形的外接圆。
性质
总结词
圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括对角互补、外角等 于内对角等。
详细描述
圆内接四边形的性质包括对角互补，即相对的两个内角之和 为180度；外角等于内对角，即外角等于另一个内角所对的 弧上的圆周角。此外，圆内接四边形的对角线互相平分，且 相对的两边之积等于另外两边之积。
分类
总结词
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型。
详细描述
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型，分别是 正圆内接四边形、椭圆内接四边形、抛物线内接四边形和双曲线内接四边形。 不同类型的圆内接四边形具有不同的性质和特点。
02
圆内接四边形的判定定理
定理内容
注意作图的精度
在绘制过程中，要注意作图的精度，尽量保证四边形各边的长度相 等，角度相等，以提高作图的准确性。
05
圆内接四边形的实际应用
在几何图形中的应用
圆内接四边形是几何学中的基本图形之一，它在证明定理和 推导公式等方面具有广泛的应用。例如，利用圆内接四边形 的性质可以证明勾股定理、托勒密定理等重要的几何定理。
圆内接四边形也是解析几何和微积分中的基础概念，常用于 研究曲线的性质和函数的极值等问题。
圆内接四边形的性质与判定定理 课件
类型 1 性质定理的应用(规范解答)
[典例 1] 如图所示，⊙O 是等腰 三角形 ABC 的外接圆，AB＝AC， 延长 BC 到点 D，使 CD＝AC，连接 AD 交⊙O 于点 E，连接 BE 与 AC 交于点 F.
(1)判断 BE 是否平分∠ABC，并说明理由． (2)若 AE＝6，BE＝8，求 EF 的长．， 所以 EF＝AED·EEC＝92.(10 分)
归纳升华 圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内 角的对角，这两个性质可用来作为三角形相似的条件，从 而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
类型 2 判定定理的应用(互动探究)
圆内接四边形的性质与判定定理
1．圆内接多边形的定义 如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆． 2．圆内接四边形的性质定理 定理 1：圆内接四边形的对角互补． 定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
3．圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四 个顶点共圆． 4．判定定理的推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么 这个四边形四个顶点共圆． 温馨提示 圆内接四边形判定定理及推论为证明四
审题指导：(1)判断 BE 是否平分∠ABC，关键是判断 ∠ABC＝2∠EBC 是否成立．
(2)EF 的长可利用三角形相似来求． [规范解答] (1)BE 平分∠ABC.(2 分) 因为 AC＝CD， 所以∠CAD＝∠ADC，
所以∠ACB＝∠CAD＋∠ADC＝2∠CAD.(4 分) 又因为 AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD. 因为∠CAD＝∠EBC， 所以∠ABC＝2∠EBC， 所以 BE 平分∠ABC.(6 分)
圆内接四边形的性质与判定定理课件
DAC= 2,
∴∠BAD=45°. 又∵AC=2 3,∴∠CAB=30°,
∴∠CAD=45°-30°=15°.
错因分析:作图时,未能考虑全面,没有对相对位置关系进行分类讨论, 致使题目答案漏解.
证明:连接 CB,BF.因为四边形 ABEC 为圆内接四边形,所以∠2=∠CEB. 又因为∠1=∠ECB,且∠1=∠2,而∠2=∠CEB,所以∠CEB=∠ECB.所以 BC=BE.在△CBD 与△EBF 中,∠BCA=∠BEA,∠D=∠F,BC=BE,所以 △CBD≌△EBF.
所以 CD=EF.
探究三 易错辨析
圆内接四边形的性质与判定定理
1.性质定理 1 文字语言 圆的内接四边形的对角互补
符号语言 若四边形 ABCD 内接于圆 O,则有∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°
图形语言
作用
证明两个角互补
2.性质定理 2 文字 语言
符号 语言
图形 语言
作用
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 四边形 ABCD 内接于☉O,E 为 AB 延长线上一点, 则有∠CBE=∠ADC
【典型例题 2】 两圆相交于 A,B,过 A 作两直线分别交两圆于 C,D 和 E,F.若∠EAB=∠DAB,求证:CD=EF.
思路分析:连接 CB,BF,要证 CD=EF,只需证明△CBD≌△EBF 即可.从 题图可以看出,∠BCA=∠BEA,∠D=∠F,因此,尚需找一条对应边相等即可. 比如,能否推出 BC=BE 呢?要证 BC=BE,只需∠CEB=∠ECB,有无可能呢? 可以发现,∠ECB=∠1,又已知∠1=∠2,所以只需证∠2=∠CEB 即可.这时 我们发现,四边形 ABEC 是圆内接四边形,根据性质定理,它的外角∠2 与它 的内对角∠CEB 当然相等.至此,结论得证.
圆内接四边形知识点总结
圆内接四边形知识点总结在几何学中，圆内接四边形是指四个顶点都位于同一圆上的四边形。
它具有一些独特的性质和特点，下面将对圆内接四边形的相关知识点进行总结。
一、定义：圆内接四边形是指四个顶点都位于同一圆上的四边形。
二、性质：1. 对角线互相垂直：在圆内接四边形中，对角线互相垂直。
换句话说，连接圆内接四边形相对顶点的线段相互垂直。
2. 对角线平分：在圆内接四边形中，对角线互相平分。
这意味着连接圆内接四边形相对顶点的线段相互等长。
3. 对角线交点是圆心：对角线的交点是圆内接四边形的圆心。
圆内接四边形的圆心是四个顶点所在圆的中心。
4. 对角线和边的关系：圆内接四边形的任意一条边与圆心连线构成的角是顶点对边上相对顶点与圆心的角的一半。
5. 内接四边形周长公式：圆内接四边形的周长等于对角线的和。
6. 面积公式：圆内接四边形的面积可以通过利用已知的弦长和半径来计算。
三、推论：1. 正方形是圆内接四边形的一种特殊情况：当正方形的对角线相等时，它也是一个圆内接四边形。
2. 矩形是圆内接四边形的一种特殊情况：当矩形的对角线相等时，它也是一个圆内接四边形。
3. 圆内接四边形的内角和：圆内接四边形的内角和等于360度。
这是因为，对角线互相垂直，所以每个顶点的内角和为90度，而四个顶点的内角和为360度。
四、示例问题：1. 已知一个圆的半径为r，求解圆内接四边形的面积。
解答：可以利用已知的半径和弦长来计算四边形的面积。
首先根据已知半径r和弦长的关系，可以求出弦长。
然后利用弦长和半径计算圆内接四边形的面积。
2. 已知一个圆内接四边形的对角线d1和d2的长度分别为x和y，求解四边形的周长。
解答：根据圆内接四边形的性质可知，对角线相等，即d1 = d2。
可以利用已知对角线的长度x或y来求解四边形的周长，周长等于2(x+y)。
3. 若一个圆内接正方形的面积为16平方厘米，求解正方形的边长。
解答：已知圆内接正方形的面积为16平方厘米，根据正方形的性质可知，面积等于边长的平方。
圆内接四边形知识点总结
圆内接四边形知识点总结一、定义和性质：圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且每条边都切到圆。
1.1 定义：圆内接四边形是指一个四边形ABCD，它的四个顶点A、B、C、D 都在同一个圆上，且每条边都与圆相切。
1.2 性质：（1）对角线相互垂直：AC⊥BD；（2）对角线平分：AC=BD；（3）对角线长度和等于：AC+BD=AB+CD；（4）内角和为180度：∠A+∠B+∠C+∠D=180°；（5）内接四边形的对边互补：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°；（6）内接四边形的对边平行：AB∥CD，AD∥BC。
二、判定方法：2.1 方法一：对角线相等法如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个圆内接四边形。
2.2 方法二：等腰梯形判定法如果一个四边形是一个等腰梯形，且它的两底边都切到同一个圆，那么它就是一个圆内接四边形。
2.3 方法三：角平分线相交于圆心法如果一个四边形的两条相对的角平分线相交于圆心，那么它就是一个圆内接四边形。
三、性质证明：3.1 对角线相互垂直的证明：连接AC和BD，由于每条边都与圆相切，所以AC和BD都是半径，而半径互相垂直，所以AC⊥BD。
3.2 对角线平分的证明：由于每条边都与圆相切，所以AC和BD都是半径，而半径相等，所以AC=BD。
3.3 对角线长度和等于的证明：连接AD和BC，由于每条边都与圆相切，所以AD和BC都是半径，而半径相等，所以AD=BC。
再由于AC=BD，所以AC+BD=AD+BC。
3.4 内角和为180度的证明：连接对角线AC和BD，由于每条边都与圆相切，所以∠A和∠C是切线与半径的夹角，所以∠A=∠C。
同理，∠B=∠D。
所以∠A+∠B+∠C+∠D=∠A+∠A+∠A+∠A=4∠A=180°。
3.5 内接四边形的对边互补的证明：连接对角线AC和BD，由于每条边都与圆相切，所以∠A和∠C是切线与半径的夹角，所以∠A=∠C。
圆内接四边形知识讲解
圆内接四边形【学习目标】1．了解圆内接四边形和四边形的外接圆的定义；2．掌握圆内接四边形的对角互补.【要点梳理】要点一、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典型例题】类型一、圆内接四边形1.如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC=120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是（）A．130° B．120° C．110° D．100°【思路点拨】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠ADE=180°，然后根据同角的补角相等得出∠ADE=∠B=120°．【答案】B；【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=120°，∴∠ADE=120°．【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52°B．54°C．56°D．60°【答案】B．【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，∴∠DCE=∠BAD=108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠DCE=54°．2.（2016•聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【思路点拨】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【答案】B．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．故选B．【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．举一反三：【变式】在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，⊙C=110°，若点E在上，求⊙E的度数．【答案与解析】解：连接BD，⊙⊙C+⊙BAD=180°，⊙⊙BAD=180°﹣110°=70°，⊙AB=AD，⊙⊙ABD=⊙ADB，⊙⊙ABD=（180°﹣70°）=55°，⊙四边形ABDE为圆的内接四边形，⊙⊙E+⊙ABD=180°，⊙⊙E=180°﹣55°=125°．3.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若⊙E=⊙F时，求证：⊙ADC=⊙ABC；（2）若⊙E=⊙F=42°时，求⊙A的度数；（3）若⊙E=α，⊙F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示⊙A的大小．【思路点拨】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得⊙ECD=⊙A，再根据三角形外角性质得⊙ECD=⊙1+⊙2，则⊙A=⊙1+⊙2，然后根据三角形内角和定理有⊙A+⊙1+⊙2+⊙E+⊙F=180°，即2⊙A+α+β=180°，再解方程即可．【答案与解析】解：（1）⊙E=⊙F，⊙⊙DCE=⊙BCF，⊙⊙ADC=⊙E+⊙DCE，⊙ABC=⊙F+⊙BCF，⊙⊙ADC=⊙ABC；（2）由（1）知⊙ADC=⊙ABC，⊙⊙EDC=⊙ABC，⊙⊙EDC=⊙ADC，⊙⊙ADC=90°，⊙⊙A=90°﹣42°=48°；（3）连结EF，如图，⊙四边形ABCD为圆的内接四边形，⊙⊙ECD=⊙A，⊙⊙ECD=⊙1+⊙2，⊙⊙A=⊙1+⊙2，⊙⊙A+⊙1+⊙2+⊙E+⊙F=180°，⊙2⊙A+α+β=180°，⊙⊙A=90°﹣．【总结升华】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．举一反三：【变式】已知：如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC．求证：AD平分∠EAC．【答案】证明：如图，∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，∴∠EAD=∠DCB．∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB．又∵∠DBC=∠DAC，∴∠EAD=∠DAC，即AD平分∠EAC．4.如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．【思路点拨】首先在MA上截取ME=MC，连接BE，由BM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得到BE=BC，得到∠BEC=∠BCE；再由AB=BD，得到∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，则∠BEC=∠BAD，根据圆内接四边形的性质得∠BCD+∠BAD=180°，易得∠BEA=∠BCD，从而可证出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，即有AM=DC+CM．【答案与解析】证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，∵BM⊥AC，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵AB=BD，∴=，∴∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，∴∠BEC=∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，∴∠BEA=∠BCD，∵∠BAE=∠BDC，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∴AM=AE+EM=DC+CM．【总结升华】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．。
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1．图中，ABCD是圆内接四边形，
则下列式子成立的是：( C )
(A) ∠A+∠DCE= 180° (B) ∠B+∠DCE= 180° (C) ∠A = ∠DCE (D)∠B = ∠DCE
圆的内接四边形
１．什么叫做圆的内接三角形？ 什么叫做三角形的外接圆？
答：经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆，这个三角形叫 做这个圆的内接三角形。
如果一个多边形的所有顶点都在 同一个圆上,这个多边形叫做圆内 接多边形。 这个圆叫做这个多边形的外接圆。
１．什么叫做圆的内接三角形？ 什么叫做三角形的外接圆？ 2．如图,⊙Ｏ中弧 的度数是 100°,则弦ＡＢ所对的圆周角是 多少度？
例 如图，⊙O1与⊙O2都经过A、 B两点，Байду номын сангаас过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与⊙O2交于点D．经过 点B的直线EF与⊙O1交于点E，与 ⊙O2交于点F．
求证：CE ∥ DF
求证：圆内接平行四边形 是矩形。
如果把上题中的圆内接平 行四边形改为圆内接梯形, 将会是什么样的梯形？
1．如果一个多边形的所有顶点都 在同一个圆上,这个多边形叫做圆 内接多边形。这个圆叫做这个多 边形的外接圆。
2．图中，从⊙O外一点P作两条直 线与⊙O相交于A、B和C、D，则： △PAC∽△ PDB ； △PAD∽△ PCB ； △AED∽△ BEC ； △CED∽△ BEA ．
如图,四边形ABCD内接
于⊙Ｏ，∠A=125°, 那 么，∠BCD＝( 55°)； ∠B+∠D＝( 180°).
如图,四边形ABDC为⊙O的内 接四边形,已知∠BOC为100°, 求∠BAC及∠BDC的度数。
解：∠BAC=50°, ∠BDC=130°
如图,BC是直径，则∠DBC＋ ∠BAE等于：( B ) (A)60° (B)90° (C)120° (D)180°
C
答：弦AB所对的 圆周角分别是50° 和130°。
D
∵ 与 所对的 圆心角的和是360° ∴∠A+∠BCD=180°
E
同理,∠ABC+∠ADC=180°
延长BC到E， 那么,∠BCD+∠DCE=180° ∴∠A＝∠DCE
• 定理 圆的内接四边 形的对角互补，并且 任何一个外角都等于 它的内对角。