第6讲 旋转曲面的面积

数学分析 第十章 定积分的应用
§4 旋转曲面的面积
定积分的所有应用 问题,都可按 “分割、近似、 求极限” 三个步骤导出所求量 的积分形式, 但在实际应用中 又常用“微元法”来处理. 本 节将介绍微元法,并用以导出旋 转曲面面积的计算公式.
一、微元法 二、旋转曲面的面积
*点击以上标题可直接前往对应内容
0
22
∫ = 32πa2 1 u4du = 32 π a2 .
0
5
∫π
2π a(1+ cosθ ) sinθ
a2 (1+ cosθ )2+ a2 sin2 θ dθ
0
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
例3 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . y
b
= Φ (a) 0= , Φ (b) ∫a f ( x)dx.
现在恰好要把问题倒过来: 若所求量Φ 是分布在区
间 [a, x] 上的 (a ≤ x ≤ b), 或者说它是该区间的端点
x 的函数, 即
Φ = Φ ( x), x ∈[a,b],
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
面的面积.
解 将曲线用参数方程表示:
=x r cos=θ a(1 + cosθ )cosθ ,
=y r sin=θ a(1 + cosθ )sinθ .
于是
∫ =S
π
2π r sinθ
r 2 + r′2dθ
0
∫ = 2π π a(1+ cosθ ) sinθ a2 (1+ cosθ )2+ a2 sin2 θ dθ 0
这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面(如下图).
y
y = f (x)
O a x x+∆ x b x
通过 x 轴上点 x 与 x + Δx 分别作垂直于 x 轴的平
面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带.
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
当 Δx 很小 时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积,
微元法
旋转曲面的面积
而且当 x = b 时, Φ (b) 适为最终所求的值.
在任意小区间 [ x, x + Δx] ⊂ [a,b] 上, 若能把 Φ 的
微小增量 ΔΦ 近似表示为 Δx 的线性形式
ΔΦ ≈ f ( x)Δx,
其中 f 为某一连续函数, 当 ∆x → 0 时,
ΔΦ − f ( x)Δx = o(Δx),
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
第六讲 旋转曲面的面积
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
微元法
微元法
旋转曲面的面积
当 f 为 [a,b]上的连续函数时，若令
x
Φ ( x) = ∫a f (t)dt ,
则 Φ ′( x) = f ( x), 或dΦ = f ( x)dx, 且
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
∫ = 2π π a(1+ cosθ ) sinθ ⋅ a 2(1+ cosθ )dθ 0
∫ =2πa2 π (1 + cosθ )sinθ ⋅ 2cos θ dθ
0
2
∫ = 16πa2 π cos4 θ sin θ dθ
∫ =S
2π
b
f (x)
1 + f ′2 ( x)dx.
a
如果光滑曲线由参数方程
x = x(t), y = y(t), t ∈[α , β ]
给出, 且 y(t) ≥ 0, 则曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转
曲面的面积为
∫ S
2π
β
y( t )
x′2 (t) + y′2 (t)dt.
α
数学分析 第十章 定积分的应用
0
π2
c2 =a2 − b2 , e =c , a
∫1
4πab
1 − e2u2du
0
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得, 请读者自行指出这应该怎么做？
例2 求心脏线 r = a(1 + cosθ ) 绕极轴旋转所得曲
即 ΔS ≈ π[ f ( x) + f ( x + Δx)] Δx2 + Δy2
2
=π[2 f ( x) + Δ y]
1
+
Δy Δx
Δx
其中 Δy = f ( x + Δx) − f ( x). 由于
2
lim ∆ y =0, lim
∆x→0
∆x→0
1
+
∆y ∆x
=1 + f ′2 ( x) ,
绕 x 轴旋转
π
∫ ( ) ( ) S=2 ⋅ 2 π 2 a sin3 t ⋅
−3a cos2பைடு நூலகம்t sin t
2
+
3a sin2 t cos t
2
dt
0
π
y
∫ = 12 π a2 2 sin4 t cos t dt 0
π
=
12
π
a
2
1 5
sin5
t
2 0
O
x
=S
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
例1
求将椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b)
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
=x a co= s t , y bsin t , 0 ≤ t ≤ π.
令 c2 =a2 − b2 , e =c , 则
a
∫ S
2π
π
bsin t
β
2π∫α y(t)
x′2 (t) + y′2 (t)dt
ΔΦ ≈ f ( x)Δx.
在一般情况下, 要严格检验
ΔΦ − f ( x)Δx
为Δ x的高阶无穷小量不是一件容易的事.
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
旋转曲面的面积
设平面光滑曲线 C 的方程为
y = f ( x) ≥ 0 , x ∈[a, b],
因此由 f ′( x) 的连续性可以保证
π[2 f ( x) + Δy]
1
+
Δy Δx
2
Δx
− 2π f ( x) 1 +
= o(Δx),
f ′2 ( x)Δx
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
所以得到 = dS 2πf ( x) 1 + f ′2 ( x)dx,
a2 sin2 t + b2 cos2 tdt
0
π
∫ = 4πb 2 sin t a2 − (a2 − b2 )cos2 tdt 0π
∫ = −4πb 2 a2 − c2 cos2 td(cos t ) 0
∫ =
1
4πab
1 − e2u2 du
0
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
b
那么只要把 ∫a f ( x)dx 计算出来, 就是该问题所
求的结果.
以上方法通常称为微元法, 在用微元法时, 应注意:
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
(1) 所求量 Φ 关于分布区间必须是可加的.
(2) 微元法的关键是正确给出 ΔΦ 的近似表达式
解 对曲线弧
x1O x2 R x
应用公式得
∫ S = 2 π
x2
x1 R2 − x2
⋅
1
+
−x 2
R2
−
x2
dx
y
∫ = 2 π x2 Rdx x1
O
当球台高 h = 2 R 时, 得球的表面积公式
x
z
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
例4 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积 S . 解 利用对称性
微元法
旋转曲面的面积
=
4πab
1 2
u
1 − e2u2
+
1 2e
arcsin
eu
1 0
=
2πab
b a
+
a c
arcsin
c a
a2
a2 − b2
=
2πb b +
arcsin a2 − b2
a
.
特别当 a = b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
0
∫ S = 4πa2 2 sin tdt = 4πa2 cos t = 4πa2 .