暴露数学思维活动过程加强学生思维能力的培养

暴露数学思维活动过程加强学生思维能力的培养现在数学教育不仅要让学生“学会”，即掌握知识而且不要让学生“会学”，即掌握思想方法，发展思维，形成能力。要会学，最根本的一条就是暴露数学思维活动过程，展现数学知识的发生和发展，使数学教学成为数学活动的教学。

我们知道，数学家在介绍自己的发现时，从来都不是按照这项工作的过程进行的，而是略去过程，通过必要的的订正、改进、修饰和改组等，以尽可能完美的形式表达出来，公布于众。现在的中学数学教科书就是以这种形式表现的数学。教材所表现的是经过逻辑加工的数学形式，呈现为概念——定理――（法则、公式）――例题（习题）组成的纯数学系统。展现在学生面前的是一副经过千锤百炼“完美无缺”的、具有确切的概念、最少的公理是严谨的论证方法的“逻辑链”。而对数学中基本概念和思想方法的产生形成、发展直至完善所走过的曲折而迂回的道路和痕迹都看不见了；数学定理的发现、证明思路的猜测和证明方法的尝试、评析也全然不见了，给人以一种假象；数学是一种完美的规则系统。这种完美的形式在一定程度上颠倒了数学发现的过程，掩盖、埋没了数学发现、数学创造、数学真实应用的思维活动。如果教师在教学中照本宣科，以“就是这样”的观点把教材内容塞灌给学生，无疑将会抑制学生的探索、发现、创新思想，阻碍学生思维的发展和能力的提高，学生得到的仅仅是死的数学知识。要提高数学教学质量，发展学生的思维和能力，数学教学中，教师必须以改革创新的精神，揭开数学的“完美的面纱”，精心重组教学内容，将凝结于教材中的科学活动过程展开，使知识由静返动，把演绎体系背后存在着丰富内容挖掘出来，按照数学活动的结果，通过“似真的”并导致该结果的发现和革新的思维活动为学生创设问

题情景，引起认知冲突、构建。在知识内容的体现上展现其发生发展过程，教学生发现、创造，使数学完成了的形式变为待建立的形式。主学生在展开的活动中将客观形态的知识内化为主观形态的知识，形成“我的数学”。这样学生的学习过程与数学家的研究过程就具有基本的相似之处；二者都是在已有认知的基础上，运用科学方法，探索未知领域，得出新的结论；都是一种主客体相互作用的思维活动过程。

斯托利亚尔指出：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学而不仅是数学活动的结果――数学知识的教学。”因此，数学教学不仅要反映数学活动的结果――理论，而且还要反映得到这些理论的思维活动的过程。从现代人才观念上来说，后者尤为重要。教学中那种不讲背景和条件，不讲思路和过程，忽视数学思想方法的做法，赞成了学生能听懂教师课堂上讲的例题，熟记概念和定理，但课后不会解与例题同类型或稍加变化的题目。原因就在于教师没能展开思维活动的过程，展现思想和方法，调动学生的思维，只是告诉了学生解答的结果。演示了一遍解答的过程。但为什么要这样解。这个思路是怎样得到的，却没有告诉学生，致使学生在解题时由于不会思考方法。我们要教给学生的不是死记现成的材料，而是要通过展开的思维活动发现数学真理，反映数学思想和方法，揭示知识的精神。主此，在数学教学中，要特别注意：数学概念、法则、性质、公式、公理、定理的提出过程；解（证）题思路的探索过程；解（证）题方法和规律的概括、发展过程；数学知识的应用过程；知识结构的建立、推广、发展过程。在过程中展开的思维并加以正确引导，走科学家追求真理的道路，逐步形成一种主动弄清问题的内心需要和向未知领域探索的精神，在学习中懂得应做什么和应该怎样做。

在概念教学中，要认识引入的必要性。若能结合数学史谈其必

要性，将对培养创造性思维有促进作用。比如，为什么要讲有理数域扩充到实数域，再扩充到复数域，扩充的办法为什么是这样，这样做的合理性在地方，又是怎样想出来的，经历了哪些主要坎坷，对数学的发展起了什么作用等。引入概念时，或者是从实际例子出发，对感性材料进行分析，逐步抽象概括出概念来；或者是通过所学概念与学生认知结构中的某个适当概念实现同化来学习概念，例如“一元一次方程”、“平行四边形”等概念的不是通过同化方式来学习的。前者要经历观察、比较分析、抽象、概括等思维活动过程中，最好把概念的形成和概念的同化结合起来，以达到既能了解形成概念背后的丰富事实，又能促进新概念和原认知结构中知识的联系的目的，使概念教学不仅解决“是什么”的问题，还要解决“是怎样想到”的问题，以及有了这个概念以后又是如何建立、发展理论的问题，把概念的来龙去脉和历史背景弄清楚。数学定理的教学应是“发现定理、寻求证明、作者证明、运用定理”的思维活动过程的教学，而不是再现和熟记现成的证明的教学。斯托利亚尔说：“我们必须先发现定理然后再去证明它，我们应当先猜测到证明的思路然后才能作出证明。”要为学生发现的情景和环节，引导学生弄清定理的来源，反映数学的创造和建立的过程。寻求证明，首先要分清定理的条件和结论，要证明的例题是什么，怎样叙述的，对这样的叙述完全了解吗，要证明的例题还有没有另外的叙述方法；等概念的结论各包含哪些事项，它们的关系怎样；明晰书籍什么、求证什么。其次，要思考由什么样的前提才能推出要证明的例题，即由给定范围内的哪些已学过的命题（定义、公理、前此定理等）可以推出这个命题。利用综合法寻求证明的起点比较困难，这是因为怎么能想得到证明（每一个）必须从哪一个定义、公理或前此定理开始呢？怎么能想出由哪一个命题可以推出要证明的

命题呢？必须借助“倒推法”即分析法才能找到证明的起点。再次，弄明白证明中的逻辑结构和手忙脚乱的规则，加强逻辑揄能力训练。作出的证明要清楚、简明，并进行评价分析，深化思想方法。对于定理的作用、用途、应用范围和条件、与其他知识的关系、应用时应注意的问题等，教师也必须创设一系列情景，让学生主动探索，发现新问题。在解题教学中，要注意使学生独立思考、标新立异，从例子和已知知识中发现和提出新数学问题，学会怎样分析、怎样判断、怎样推理、怎样发现、怎样解决问题。通过深化和减弱条件，，通过加强结论、一般化、推广、特殊化、类比等引出或转化成别的问题，寻求一题多变、一题多解、多题一解、这问题同其他问题的联系和区别。教师不仅要按思考成熟的方法讲解，还要把自己猜测的心理活动坦率的告诉学生，必将有利于沉重的想象能力、直觉思维能力培养和灵感的产生。

在数学教学中，暴露数学思维活动的过程，展现知识的发生和发展是否可能？美国心理学家布鲁纳在考察了教学心理学后说：“智力活动到处都是一样的，无论在科学的前沿或是在三年级都是一样”。实践证明，当学生在专门创造的教学环境中发现了什么东西，他是象第一次发现一样来思考的。

第十七小学

汤惠

2006年6月