第八章+图与网络

称矩阵A为图G的邻接矩阵。
一、图与网络的基本知识
（四）欧拉回路和中国邮路问题 1．欧拉回路与道路
第八章
定义13 连通图G中，若存在一条道路，经过每边一 次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路， 经过每边一次且仅一次，则称这条回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图 (E 图 ) 。哥尼斯堡七桥 问题就是要在图中寻找一条欧拉回路。 定理3 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中无奇点。 定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当它每个顶点 的出次等于入次。
图论中的图是由点和点与点之间的线所组成的。通常，
我们把点与点之间不带箭头的线叫做边（无向边），带箭 头的线叫做弧（有向边）。
一、图与网络的基本知识
第八章
如果一个图是由点和边所构成的，那么，称为无向 图，记作G =(V，E)，其中V表示图G的点集合，E表示图 G的边集合。连接点vi,vjV的边记作(vi,vj)，或者(vj,vi)。
称矩阵A为网络G的权矩阵。
一、图与网络的基本知识
第八章
用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方
便的．图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、关联矩
阵、回路矩阵、割集矩阵等，这里只介绍其中两种常用 矩阵。 定义12 对于图G＝(V，E)，|V|=n，构造一个矩阵A ＝(aij)n╳n，其中
1 ( v i , v j ) E a ij 0 other
一、图与网络的基本知识
第八章
定义2 一个无环，无多重边的图称为简单图，含有多 重边的图称为多重图。如不特别说明，都是简单图。
定义3
每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完
全图。有n个顶点的无向完全图记作Kn。 有向完全图则是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的 简单图。 定义4 图G＝(V，E)的点集V可以分为两个非空子集X， Y，即X∪Y＝V，X ∩Y＝ Ø ，使得E中每条边的两个端点必 有一个端点属于X，另一个端点属于Y．则称G为二部图(偶 图)，有时记作G＝(X，Y，E)。
这个图必须是无圈的。
图8.8是一个不含圈的连通图，代表 了一个电话线网。
图8-8
第二节
树
第八章
再比如，乒乓球单打比赛抽签后的选手们相遇情况以及 企业的组织结构图等。
总经理 市场 总监
市 场 总
常务副 总经理
学 术 总 教 质 部
学术 总监 研 发 部 人 事 部
A
B C D E
F G H
第二节
定义14
一、图与网络的基本知识
中国邮路问题也可以转为如下问题：
第八章
在连通图G＝(V，E)中，求一个边集E1∈E，把G中属于
E1 的边均变为二重边得到图 G* ＝ G+E1 ，使其满足 G* 无奇 点，且 L(E1)=∑l(e)最小。 定理5 己知图G*＝G+E1无奇点，则L(E1)=∑l(e)最小的充 分必要条件为: (1)每条边最多重复一次； (2)对图 G中每个初等圈来讲，重复边的长度和不超过圈 长的一半。
一、图与网络的基本知识
（三）图的矩阵表示
第八章
用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方
便的．图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、关联矩
阵、回路矩阵、割集矩阵。
定义11 网络(赋权图) G＝(V，E)，其边(vi，vj)有权 wij,构造矩阵A＝(aij)n╳n，其中
(vi , v j ) E w ij a ij other 0
言
第八章
当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步者如何能够走
过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最终回到原出发地。
尽管试验者很多，但是都没有成功。 为了寻找答案， 1736年欧拉将这个问题抽象成图 8.1b 所示 图形的一笔画问题。即能否从某一点开始不重复地一笔画出这 个图形，最终回到原点。欧拉在他的论文中证明了这是不可能
v2 v4
v1
v6
v3
v5
图8.2
一、图与网络的基本知识
第八章
从以上的几个例子可以看出，我们用点和点之间的
线所构成的图，反映实际生产和生活中的某些特定对象
之间的特定关系。一般来说，通常用点表示研究对象， 用点与点之间的线表示研究对象之间的特定关系。由于 在一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间线的 长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重
要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本质上是不
同的。
一、图与网络的基本知识
（一）图与网络的基本概念 1、图及其分类
第八章
定义1
一个图是由点集 V={vi}和V中元素的无序对的
一个集合 E＝ {ek}所构成的二元组，记为 G＝ (V， E)， V中 的元素vi叫做顶点，E中的元素ek叫做边。 当V，E为有限集合时，G称为有限图，否则，称为无 限图。本章只讨论有限图。
的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能
将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。
5
引
言
第八章
C
A
B
D
图8.1 b
6
一、图与网络的基本知识
第八章
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的关 系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。 例 8.1: 图 8.2 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城市，用点与点之 间的线表示城市之间的铁路线。诸如此类还有城市中的 市政管道图，民用航空线图等等。
题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加以解决。
引
言
第八章
1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一 篇科学论文，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。德 国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河，河中有两个岛屿
，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接，如图 8.1a
所示。
3
引
言
C
第八章
A
B
D
图8.1 a
引
分为有向网络和无向网络。
一、图与网络的基本知识
（二）连通图 定义 8
第八章
链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点
边序列;如: v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1,en ,vn ；
v0 ，vn分别为链的起点和终点。 初等链：链中没有重复点和重复边者称为初等链。 有向图中，链上的边方向相同时称为道路。
一、图与网络的基本知识
2．中国邮路问题
第八章
这个问题是我国管梅谷同志在 1962 年首先提出的。因 此国际上通称为中国邮路问题。用图论的语言描述：给定 一个图 G ，每边有非负权 l(e) ，要求一条回路过每边至少 一次，且满足总权最小。
由定理3知，如果G没有奇点，则是一个欧拉图，显然 按欧拉回路走就是满足要求的过每边至少一次且总权最小 的回路。 如果G中有奇点，要求连续走过每边至少一次，必然 有些边不止一次走过，这相当于在图 G中对某些边增加一 些重复边，使所得到的新图G*没有奇点且满足总路程最短。
一、图与网络的基本知识
定义9 圈：起点和终点相同的链。 初等圈：圈中没有重复点和重复边者称为初等圈。 有向图中，圈中边方向相同时称为回路。
第八章
在无向图中，道路与链，回路与圈的意义是相同的。 定义 10 一个图中任意两点间至少有一条链相连， 则称此图为连通图。任何一个不连通图都可以分为若 干个连通子图，每一个称为原图的一个分图。
一、图与网络的基本知识
例如. 图8.4是一个无向图G=（V，E） 其中V={v1,v2,v3,v4} E={(v1,v2),(v2,v1),(v2,v3), (v3,v4),(v1,v4),(v2,v4), (v3,v3)} v1 v2
第八章
图8.4 v4 v3
一、图与网络的基本知识
第八章
图8.5是一个有向图 其中V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} E={(v1,v2),(v1,v3),(v3,v2), (v3,v4),(v2,v4),(v4,v5), (v4,v6),(v5,v3),(v5,v4), (v5,v6),(v6,v7)}
如果一个图G =(V，E)是由点和弧所构成的，那么称 为它为有向图，其中V 表示有向图G的点集合， E表示有 向图G的弧集合。一条方向从vi指向vj的弧，记作(vi,vj)。 两个点u，v属于V，如果边(u，v)属于E，则称u,v两点 相邻。u,v称为边(u,v)的端点。
两条边ei, ej属于E，如果它们有一个公共端点u，则称 ei, ej相邻。边ei, ej称为点u的关联边。
v3
v1 v2
v5
v6 v4
图8.5
v7
一、图与网络的基本知识
常用的名词：
第八章
一个图G中的点数记作n(G),简记为n; 边数记作m(G) ，
简记为m 。 如果边 (vi,vj)E, 那么称 vi,vj 是边的端点，或者 vi,vj 是相 邻的。如果一个图G中，一条边的两个端点是相同的 ,那么 称这条边是环（自回路），如图 8.4中的边 (v3,v3)是环。如 果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。 有向图中两点之间有不同方向的两条边，不叫多重边。
7
一、图与网络的基本知识
北京 太原 石家庄
第八章
天津 塘沽 济南 青岛
郑州
徐州 连云港
南京 上海
8
源自文库
重庆
武汉
图8.2
一、图与网络的基本知识
第八章
例2:有六支球队进行足球比赛，我们分别用点v1…v6表示 这六支球队。它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，已 知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜v5队，如此等等。这 个胜负情况，可以用图8.3所示的有向图反映出来。
第二节
树
二、图的生成（支撑）树 定义15 设图K=(V,E’)是图G=(V,E)的一生成（支撑）子 图,如果图K=(V,E’)是一个树,那么称K是G的一个生成树。 G 中属于生成树的边称为树枝，不在生成树上的边称为 弦。 例如,图8.10b 是图8.10a 的一个生成树。 v5 v3 v5 v3 v1 v6 v2 v4 v1 v6
一、图与网络的基本知识
2、顶点的次 定义5
第八章
以点v为端点的边的个数称为点v的次（度），记
作d(v),如图8-4中d(v1)=3,d(v2)=4, d(v3)=4, d(v4)=3。
次为零的点称为弧立点，次为 1 的点称为悬挂点。悬挂 点的边称为悬挂边。次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点 称为偶点。 奇点：d(v)=奇数； 偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0；空图(empty graph)：V= ， E = 。
第八章 图与网络分析
一、图与网络的基本知识
二、树 三、最短路问题
四、最大流问题
五、最小费用流问题
引
言
第八章
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛
地应用于物理学控制论，信息论，工程技术，交通运
输，经济管理，电子计算机等各项领域。科学研究， 市场和社会生活中的许多问题，可以用图论的理论和 方法来加以解决。例如，各种通信线路的架设，输油 管道的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问
树
第八章
连通且不含圈的无向图称为树。
树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点。 树的性质可用以下定理表示： 定理6 价的： 图T=(V,E)，|V|=n，|E|=m,则下列关于树的说法是等
1. T是一个树。
2. T无圈，且m=n-1。 3. T连通，且m=n-1。 4. T无圈，但每加一新边即得唯一一个圈。 5. T连通，但任舍去一边就不连通了。 6. T中任意两点，有唯一链相连。 图8-9
一、图与网络的基本知识
3、子图
第八章
定义7
图G＝(V，E)，若E’是E的子集，V’是V的子集，
且 E’中的边仅与 V’中的顶点相关联，则称 G’＝ (V’，E’)是G 的一个子图。特别地，若V’＝V，则G’称为G的生成子图(支
撑子图)。
4、网络 点或边带有某种数量指标的图称为网络 (赋权图) 。网络
一、图与网络的基本知识
第八章
定理8.1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理8.2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
v V1
d (v ) d (v ) d (v ) 2m
v V 2 v V
定义6 有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的出次，
用 d+(vi) 表示，以 vi 为终点的边数称为点 vi 的入次，用 d-(vi) 表示。 vi点的出次与入次之和就是该点的次。容易证明有 向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
二、树
第八章
一、树及其性质 在各种各样的图中，有一类图是十分简单又非常具有应用 价值的图，这就是树。 例 3 ：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任 意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v3 v2 六个城市的一个电话网就作成一个图。 这个图必须是连通图。 v5 v4 v6