常系数高阶线性微分方程
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程（HCCLDE）是一类常见的微分方程，由一个高次项和多个常系数组成。
它可以用来描述许多物理系统的运动规律，如波动方程，动力学系统，电磁学系统等。
因此，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一件重要而又复杂的工作。
首先，为了解决HCCLDE，需要根据给定的方程确定一
个基本的解，可以使用求解基本解的常用方法，如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开等。
其次，要求出方程的通解，需要对基本解进行叠加，也就是找到该方程的特解，可以采用求解特解的常用方法，如换元法、拉普拉斯变换、Laplace变
换等。
最后，将基本解和特解叠加，就可以得到高阶常系数齐次线性微分方程的通解。
为了求解HCCLDE，必须了解其特性，并利用相应的数
学方法。
根据HCCLDE的特性，可以把HCCLDE的解分为基本解和特解，并通过叠加这两类解得到它的通解。
此外，可以利用常用的方法求解基本解和特解，例如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开、换元法、Laplace变换等。
总之，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一项复杂的任务，需要结合相关知识和技术，并利用一些常用的数学方法来解决。
通过了解HCCLDE的特性，可以将它的解分为基本解
和特解，并将它们叠加，最终得到HCCLDE的通解。
高(二)阶常系数线性微分方程-齐次方程解法
定义 设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间 I 内
n 的n个函数．如果存在 个不全为零的常
数，使得当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相
关．否则称线性无关。
例如 当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
例3：求微分方程y''-2y' 5 y 0的通解
解：特征方程2 2 5 0 特征根为一对共轭虚根1 1 2i，2 1 2i
故通解为：y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x)
练习1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 4r 4 0 ,
(4)
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
将 y, y, y 代入方程(2), 得
c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x)( y1 P( x) y1 Q( x) y1) c2( x)( y2 P( x) y2 Q( x) y2 ) f ( x)
y py qy f ( x)
当 f ( x) 0时， 二阶常系数线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶常系数线性非齐次微分方程
二、二阶常系数齐次线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式:
y py qy 0
(1)
2.二阶齐次微分方程的解的结构:
(2)求出特征方程的两个根1、2
(3)根据特征根的不同情况写出通解
例1：求微分方程y''+4y' 3y 0的通解 解：特征方程2 +4 3 0 特征根为1 3，2 1
常微分方程的常系数线性方程
常微分方程的常系数线性方程常微分方程是求解自然现象中变量随时间变化的数学工具。
它是描述自然现象中许多重要现象如振荡、决策、生长和衰变等的基础。
常微分方程又可分为一阶方程和高阶方程。
一般的高阶方程可以通过将其转化为同阶但有更多变量的方程来解决。
而本文所涉及的是常微分方程中的常系数线性方程，它是一类重要的高阶方程，大量实际问题都可以用常系数线性方程来描述和解决。
一、基本概念和定义常系数线性方程是指高阶形式为$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = f(x)$的方程，其中$n \in N, a_i \in R (i=0,1,...,n-1)$是常数，$f(x)$是已知函数，$y=y(x)$是要解的未知函数。
该方程中的常数称为常系数，线性指$f(x)$为一次函数，即不含有未知函数$y$的高次项。
二、解法为了求解常系数线性方程，我们首先要解其特征方程，即解形如$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = 0$的齐次方程。
特征方程的根称为特征根，常系数线性方程的解法要分三种情况：实根不同、重根和虚根。
(1)实根不同的情况当特征方程有$n$个不同实根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为$y_1,y_2,...,y_n$，那么方程的通解为$y=c_1y_1+c_2y_2+...+c_ny_n$，其中$c_1,c_2,...,c_n$是任意常数。
(2)重根的情况当特征方程有一个重根$\lambda$时，设对应的齐次方程的两个线性无关解分别为$y_1=e^{\lambda x}$和$y_2=xe^{\lambda x}$，那么方程的通解为$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$，其中$c_1，c_2$是任意常数。
(3)虚根的情况当特征方程有$n$个对应的虚根$\alpha_1 \pm \beta_i i(1\leq i\leq m)$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为：$y_1=e^{\alpha_1x}cos\beta_1x,...,y_{2m-1}=e^{\alpha_1x}cos\beta_mx$$y_2=e^{\alpha_1x}sin\beta_1x,...,y_{2m}=e^{\alpha_1x}sin\beta _mx$那么方程的通解为$y=(c_1cos\beta_1x+c_2sin\beta_1x)e^{\alpha_1x}+...+(c_{2m-1}cos\beta_mx+c_{2m}sin\beta_mx)e^{\alpha_1x}$，其中$c_1,c_2,...,c_{2m}$是任意常数。
高阶常系数线性微分方程
特征方程为 r 2 4r 4 0， r1 r2 2，
则通解为 y (C1 C2 x)e2x .
9
Ⅲ 有一对共轭复根 ( 0)
设特征根为 r1 i , r2 i ,
4
10-5 高阶常系数线性微分方程
定义 在n阶线性方程y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn( x) y f ( x)中,
如果未知函数y及其各阶导数y, y, , y(n)的系数全都是常数时,
则称该方程为常系数线性微分方程. 一般形式 : y(n) p1 y(n1) p2 y(n2) pn1 y pn y f ( x),
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 通解的方法称为特征方程法.
11
例1 求方程 y 2 y y 0的通解.
解 特征方程为 r 2 2r 1 0 ,
解得 r1 r2 1 ,
故所求通解为 y (C1 C2 x)e x .
例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
Ⅱ 有两个相等的实根 ( 0)
特征根为 r1 r2
设另一特解为： y
p,
2 u2( x
)e
一特解为
, r1 x
将 y2 ，y2 ，y2代入原方程并化简得
y1 [
y2
e r1x , u( x)]
y1
u (2r1
p)u
(
r2 1
pr1
q)u
0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
38-第38讲高阶常系数线性微分方程、欧拉方程65061
故所求特解为
set(42t)。
例
用手将悬挂着 m的 的弹 质簧 量从 为静止
开始拉长， 当O 点 的位 x 移 x0时 为 突， 然放手，
此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹
簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
解
O
例
用手将悬挂着 m的 的弹 质簧 量从 为静止
开始拉长， 当O 点 的位 x 移 x0时 为 突， 然放手，
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
yexu(x)
y p y q y e xP n (x ) (2 )
u ( 2 p ) u (2 p q ) u P n ( x ) 。 ( 3 )
(1) 若不是特征根，则
2pq0，
此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹
簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
解
O
x0
x
取 x 轴如如图所示。 由力学的虎克定理，有
f kx。（ 恢复力与运动方向相反 ） 由牛顿第二定律，得
mdd2t2x kx。
移项， a2 并 k， 记则有 m
它能正确描述 我们的问题吗？
d d2t2 xa2x0，(a0)。
n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为
n p 1n 1 p n 1 p n 0
特征根
通解中的对应项
单实根
k实重根
1项 Cex
k 项 e x ( C 1 C 2 x C k x k 1 )
一对共轭复根
1,2i
2 项 e x ( C 1 co x C 2 s i x )n
的特征方程为
常系数高阶齐次线性微分方程
总结词
通过幂级数展开来求解高阶线性微分方 程的一种方法。
VS
详细描述
幂级数法的基本思想是将未知函数表示为 一个幂级数，然后利用微分方程的性质， 将原方程转化为一个递推关系式，求解这 个递推关系式可以得到幂级数的系数，从 而得到原方程的解。这种方法适用于具有 特定形式的未知函数的高阶线性微分方程 。
积分因子法
计算
根据求解方法，通过计算得到通解的具体形 式。
05 方程的应用实例
在物理问题中的应用
量子力学
常系数高阶齐次线性微分方程在 量子力学中用于描述粒子的波函 数随时间的变化。例如，在求解 氢原子能级问题时，需要用到此 类方程。
波动问题
在研究波动问题，如声波、电磁 波等时，常系数高阶齐次线性微 分方程可以用来描述波的传播和 演化。
热传导问题
在求解热传导问题时，常系数高 阶齐次线性微分方程可以用来描 述温度随时间和空间的变化。
在工程问题中的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述系统的动态特性。例如，在航空航天、化工等领 域中，此类方程被广泛应用于各种控制系统的建模和仿真。
信号处理
在信号处理中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述信号的滤波、预测和补偿等过程。例如，在通信、雷达和图像 处理等领域中，此类方程被广泛应用于信号处理算法的设计和实现。
02 方程的解法
特征方程法
总结词
通过解特征方程来求解高阶线性微分方程的一种方法。
详细描述
特征方程法的基本思想是将高阶线性微分方程转化为多个一阶线性微分方程来求解。首先，我们对方程进行整理， 得到一个关于未知函数和其导数的多项式方程，然后令其为0，得到一个关于未知函数的多项式方程，即特征方 程。求解特征方程，可以得到一组根，对应于原方程的一组解。
推导微分方程的高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程的解法
推导微分方程的高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程的解法微分方程（Differential Equation）是描述自然界中变化规律的重要数学工具。
在微分方程的研究中，高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程是常见且具有重要意义的两个类型。
本文将介绍这两种微分方程的解法，并进行推导。
一、高阶线性微分方程高阶线性微分方程（High-order Linear Differential Equation）是指方程中包含高于一阶的导数的线性微分方程。
一般形式可以表示为：\[ a_n(x)y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0 \]其中，$y^{(n)}(x)$表示导数的$n$次导数，$a_n(x), a_{n-1}(x),\cdots, a_1(x), a_0(x)$为已知的函数。
解法如下：1. 设方程的$n$个线性无关的特解为$y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$2. 利用特解组合构造齐次线性微分方程的解\[ y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \cdots + C_n y_n(x) \]其中，$C_1, C_2, \cdots,C_n$为常数。
3. 求解常数$C_1, C_2, \cdots, C_n$的值，得到齐次线性微分方程的通解。
二、常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程（Homogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients）是指系数为常数的齐次线性微分方程。
一般形式可以表示为：\[ a_ny^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1y'(x) + a_0y(x) =0 \]其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为已知的常数。
微积分(高阶线性微分方程
y 2 sin x ,
常数, 通解
y C1 cos x C2 sin x.
8
可推广到n阶齐次线性方程.
推论 如果函数 y 1 ( x ), y 2 ( x ), , y n ( x )是n 阶齐次 线性方程
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y 0
( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ;
(89考研)
(C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示
y1 y3 , y2 y3 是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (解的叠加原理可证)
14
已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )有三 个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
( r pr q ) e
2 rx
0
e
rx
0,
故有
r pr q 0
2
特征方程
2
特征根 r1, 2
p
p 4q 2
20
特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
r pr q 0
2
设解y e
rx
特征方程
(1)有两个不相等的实根 ( 0)
y P ( x ) y Q( x ) y
0
(1)
定理 如果函数 y 1 ( x )与 y 2 ( x )是方程 (1 )的两个解 ,
那末 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )也是 (1 )的 解, ( C 1 , C 2 是常数 ).
高阶线性微分方程的解法和常系数法
高阶线性微分方程的解法和常系数法在微积分学中，微分方程是一种重要的数学工具，而高阶线性微分方程则是其中的一个重要类别。
在解决许多实际问题中，很多时候需要高阶线性微分方程的解法。
本文将详细介绍高阶线性微分方程的解法和常系数法。
一、高阶线性微分方程的定义首先，我们需要明确什么是高阶线性微分方程。
高阶线性微分方程的一般形式可以表示为：$$A_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+A_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+A_2(x)\frac{d^2y}{dx^2}+A_1(x)\frac{dy}{dx}+A_0(x)y=f( x)$$其中，$n$为该微分方程的阶数，$A_n(x),A_{n-1}(x),...,A_1(x),A_0(x)$是已知的函数。
$f(x)$是已知的函数或常数。
二、常系数法针对高阶线性微分方程的解法，最常用的方法是常系数法。
常系数法是指假设方程中系数$A_n(x),A_{n-1}(x),...,A_1(x),A_0(x)$都是常数，从而采用特定的方法求解其通解。
对于高阶线性微分方程：$$a_n\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_2\frac{d^2y}{dx^2}+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$$其中，$a_0,a_1,...,a_n$为常数，我们可以进行如下的步骤：1. 假设通解为：$$y=Ae^{rx}$$其中，$A$和$r$是待定常数。
2. 带入上式得到：$$a_ne^{rx}r^n+A_{n-1}e^{rx}r^{n-1}+...+a_2e^{rx}r^2+a_1e^{rx}r+a_0e^{rx}=f(x)$$3. 对于每个$r$，将上式变形得到关于$r$的方程：$$a_nr^n+A_{n-1}r^{n-1}+...+a_2r^2+a_1r+a_0=0$$4. 解出该方程的所有根$r_1,r_2,...,r_n$。
常微分方程的高阶线性方程
常微分方程的高阶线性方程常微分方程是数学中的重要分支，涉及到多种类型的方程。
其中，高阶线性方程是常微分方程的一种，其解决的问题属于物理学、工程学、生物学等多个领域。
在本文中，我们将着重讨论常微分方程中高阶线性方程的相关知识。
一、基本概念高阶线性方程是指带有自变量 x 及其导数y, y', y'',…,y(n) 的线性方程。
其一般形式可表示为：a_n(x)y(n) + a_{n-1}(x)y(n-1) + … + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)其中，a_i(x) 和 f(x) 是已知的函数。
需要注意的是，高阶线性方程中的 y(n) 表示 y 的 n 阶导数，而不是 y 的 n 次方。
同时，这里的方程是线性的，即 y 与其导数之间的系数 a_i(x) 是不依赖于y, y', y'',…,y(n) 的，而仅依赖于自变量x。
二、解法解高阶线性方程是常微分方程研究的重点之一。
一般来说，解法可以分为两种：通过代数方法直接求解，或将高阶线性方程转化为一些比较简单的方程进行求解。
下面我们将分别介绍这两种解法。
1、通过代数方法直接求解通过代数方法求解高阶线性方程的方法很多，这里我们先介绍其中比较基础的几种方法。
（1）特征方程法将常微分方程中的 y(n), y(n-1), …, y' 都看成一个元素，构造一个伴随矩阵和一个行列式，然后根据行列式的性质求解，就可以得到一个方程的特征根，再根据这些特征根和特征向量的性质构造出通解。
这种方法适用于方程系数都不为零的情况。
（2）欧拉方程法如果高阶线性方程的系数中含有 x 跟y, y', y'',…,y(n)，而且都是乘在一起的幂函数形式，那么就可以考虑利用欧拉方程法。
这种方法先要将变量转化成同一形式，然后分离变量，再对两端的积分形式进行分析，最后就可以求得通解。
（3）待定系数法这种方法适用于方程的非齐次项 f(x) 是已知函数的情况。
求解高阶常系数线性微分方程的直接积分法
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船
舶
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预备知识
引入微分算子 （实际为微商算子） 记号 ! " !" ! # ! $ ! $ ! " $ # ! #
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（$）
及线性微分算子
& & " ) （!） % ! ! ’( "! ’( ’ … ’( " & " & ) ， ， …， 为常数， 则 阶常系数线性微分方程 （ ） 可记为： 其中， ( ( & " "( # & & & " ) （!） （#） （! ’( （#） （#） % ! ’ … ’( ! ’( " "+ * * " & " &） )
# 型的情况， 如设) （#） ／ 这时候待定系数法完全无能为力。 此外， 待定系数法还要对单根、 #， 9 # 等， (/ 7
重根及是否与) （#） 中的指数相异等情况区分讨论， 显得累赘。 常数变易法适用范围宽， 但牵涉到解高 阶线性方程组和逐个积分， 显得计算工作量过大。 本文提出符合初学者思维程序的直接积分法， 将求高 阶常系数线性方程的问题， 一律化为同一种积分模式。 对于齐次方程， 简单而令人信服地给出齐次通解； 对于非齐次方程， 利用直接积分公式既可直接定出通解， 也可方便地定出非齐次特解， 而且适用范围较 宽， 对于自由项) （#） 的要求比待定系数法要宽松一些。 本文也引入算子和逆算子记号， 但不同于其他
常系数高阶线性微分方程
04 高阶常系数线性微分方程
定义与性质
要点一
定义
常系数高阶线性微分方程是指形式为$y^{(n)}(x) + a_{n1}y^{(n-1)}(x) + ldots + a_1y'(x) + a_0y(x) = f(x)$的微 分方程，其中$a_0, a_1, ldots, a_{n-1}$是常数，$f(x)$是 已知函数。
解法：特征值法
特征值法是通过将二阶常系数线性微 分方程转化为两个一阶常系数线性微 分方程来求解的方法。
通过对方程进行变换，得到两个一阶线性微 分方程 $y' + lambda y = 0$ 和 $y'' + lambda y' + mu y = 0$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是特征值。然后分别求解这两个 一阶方程，得到原方程的解。
工程问题
在解决工程问题时，如控制系统、电路分析等，常系数高阶线性微分方程也是重要的数 学工具。
02 一阶常系数线性微分方程
定义与性质
定义
一阶常系数线性微分方程是形如 y' + p(x)y = q(x) 的方程，其中 p(x) 和 q(x) 是已知函数。
VS
性质
该方程具有线性性质，即如果 y1 和 y2 是方程的两个解，那么 c1y1 + c2y2 也 是方程的解，其中 c1 和 c2 是任意常数 。
要点二
性质
高阶线性微分方程具有叠加原理、齐次解、特解等性质， 这些性质使得求解高阶线性微分方程成为可能。
解法：降阶法
降阶法是将高阶微分方程转化为低阶微分方程的方法，通过逐次求解低阶微分方 程来找到高阶微分方程的解。
高阶线性微分方程的常系数法
高阶线性微分方程的常系数法引言：线性微分方程是数学中的重要分支，常系数法是求解高阶线性微分方程的一种常用方法。
本文将介绍高阶线性微分方程的常系数法及其应用。
一、一阶线性微分方程的常系数法一阶线性微分方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中P(x)和Q(x)为已知函数。
利用常系数法，我们可以将一阶线性微分方程转化为常微分方程来求解。
具体步骤如下：步骤一：求解齐次线性微分方程首先，我们求解齐次线性微分方程：dy/dx + P(x)y = 0其中P(x)为一阶线性微分方程的已知函数。
解该齐次线性微分方程，可以得到通解y0(x)。
步骤二：求取特解其次，我们利用常数变易法求取特解y1(x)。
设特解为y1(x) = u(x)e^(lx)其中l为待定常数，u(x)为待定函数。
将y1(x)代入原方程，则可以得到：d(u(x)e^(lx))/dx + P(x)u(x)e^(lx) = Q(x)化简后得到：e^(lx) * (d(u(x))/dx + l * u(x)) + P(x)u(x)e^(lx) = Q(x)化简后得到：d(u(x))/dx + (l + P(x))u(x) = Q(x)e^(-lx)根据等号两边系数对应相等原则，我们可以得到：l + P(x) = 0l = -P(x)对上式进行求解，可以得到l的值。
将l的值代入上式，可以得到u(x)的表达式。
因此，特解y1(x) = u(x)e^(lx)的表达式为已知。
步骤三：求取通解最后，我们可以得到一阶线性微分方程的通解为：y(x) = y0(x) + y1(x)其中y0(x)为齐次线性微分方程的通解，y1(x)为特解。
二、高阶线性微分方程的常系数法高阶线性微分方程的一般形式为：a_n * d^n(y)/dx^n + a_{n-1} * d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... + a_1 * dy/dx + a_0 * y = f(x)其中a_n, a_{n-1}, ..., a_0为常数，f(x)为已知函数。
38-第38讲高阶常系数线性微分方程、欧拉方程
是二重特征根时， 当 α 是二重特征根时，取 k＝2 。
注意: α 可以为复数。
例
求方程 y′′ + y = x 2 + x 的通解 。
f ( x) = x 2 + x ， α = 0 ，n = 2 。 ( f ( x) = eα x Pn ( x) )
的两个线性无关的解， 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为
y = C1 y1 + C2 y2 = C1e (α +i β ) x + C2 e (α −i β ) x。
欧拉公式： 欧拉公式：
e iθ = cos θ + i sin θ 。
y1 = e (α +i β ) x = eα x ⋅ e i β x = eα x (cos β x + i sin β x) ，
y = C1e λ1 x + C2 e λ2 x y = e λ1 x (C1 + C2 x) y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)
λ1, 2 = α ± i β (共轭复根 )
的通解。 例 求方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解。 解
特征方程
所求通解为
第五节 二阶常系数线性微分方程
y′′ + p y′ + q y = 0 y′′ + p y′ + q y = f (x)
二阶常系数齐线性方程
二阶常系数非齐线性方程
特征方程
λ2 + p λ + q = 0
特征根
特解 y *
λ1 , λ2
高阶常系数线性微分方程
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
2.已知y1 e , y2 e 是二阶常系数线性齐次 方程
r1 x r2 x
的解，如何求微分方程 ？
特征根为 特征方程:
则齐次方程为 :
3.已知y xe 是二阶常系数线性齐次 方程的解，
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数)
三、二阶常系数齐次线性微分方程
① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r pr q ) e
2
rx
0 r 2 pr q 0
§7.4 高阶线性微分方程
一、二阶微分方程：
d2y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
其中，P(x)、Q(x)、f(x)为x的已知函数；
当P(x)、Q(x)为常数时，称为常系数二阶线性 微分方程；否则为变系数二阶线性微分方程。
r1 x
3. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e ( i ) x e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
高阶线性、常系数齐次微分方程.
x k 1 e [( c c x c x ) cos x 1 2 k 2k项 : (d1 d 2 x d k x k 1 ) sin x ]
k 重实根 r
一对 k 重复根 r1, 2 i
y y x 2 的通解为:
y c1 sin x c2 cos x x 2 2 .
小结 : 求解 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
先求 y P( x ) y Q( x ) y 0 的通解 Y c1 y1 c2 y2 ,
(5)
分三种情况讨论:
r1 , r2 为两个不相同的实根 , r x r x y1 1 2 则 y1 e , y2 e 都是 (1) 的解 , 且 y e ( r1 r2 ) x 常数 . 2
所以, y c1e
r x
1
1). p 2 4q 0 ,
c2e
r x
2
是齐次方程(1) 的通解 .
( 证明略 )
y 2 是 y P( x) y Q( x) y f 2 ( x) 的一个特解,
定理 2 ~ 4 都可以推广到n 阶线性方程上去.
例. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 的解, C1 , C2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
是 (1)的通解.
3). p 4q 0 ,
2
p r(1) 的一个解 y1 e
,
y1 e 1
r x
r x
1
高阶常系数线性微分方程、欧拉方程
( 2)
的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程， 其中 p、q
为(实)常数。它对应的齐方程为
y p y q y 0。 (1) 我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的特解。
1. f (x) e x Pn (x) 的情形 其中 Pn (x) a0 xn a1xn1 an1x an 。
2 p q 0。
特征根
1 2 (实根) 1 2 (实重根) 1,2 i (共轭复根 )
通解形式 y C1e1x C2e2 x y e1x (C1 C2 x)
y e x (C1 cos x C2 sin x)
例 求方程 y 2y 3y 0 的通解。
解 特征方程 2 2 3 0，特征根
( k 1, 2, ) 。
y d y d y d t 1 d y ，
dx dt dx x dt
y
d2 y d x2
1 x2
d2 y dt2
d d
y t
，
y
d3 y d x3
1 x3
d3 y dt3
3
d2 dt
y
2
2
d y ， dt
由数学归纳法可以证明：
xy Dy
x2 y D(D 1) y x3 y D(D 1)(D 2) y
解
特征方程 2 1 0，
特征根 1,2＝ i，
首先求方程 y y eix 的特解：
由于 i 是特征根，n 0，故取 k 1，且有
y* b0 x ei x，
代入上述方程，得
[2b0 i b0 x b0 x] ei x
ei x，即有
b0
i， 2
从而，原方程有一特解为
y1*
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f ( x) Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x
Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x
10
第二步 求如下两方程的特解
( i ) x y p y q y Pm ( x) e
② ③
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
特解: 故
y1
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
x Qm ( x) e
k
( i ) x
(Qm ( x) 为m 次多项式)
( y1 ) p ( y1 ) q y1 Pm ( x) e ( i ) x
利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理.
21
内容小结
x 1. y p y q y Pm ( x) e
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
y* x Qm ( x) e
x
k
x
~ 2. y p y q y e [ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x]
2 d x d x 2 (1) 自由振动方程： 2 n k x0 2 dt dt
o x x
18
d x dx 2 (2) 强迫振动方程： 2 2n k x h sin pt dt dt
2
例8. 上节例1 中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 F H sin pt 的作用, 求物体的运动规律.
7
3 x 1 2 x 1 所求解为 y e e x 4 4 2
பைடு நூலகம்
例4. 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上，运
动开始时，链条的一边下垂 8 米，另一边下垂 10 米， 试问整个链条滑过钉子需多少时间．
解 设链条的线密度为 , 经过时间t , 链条下滑了x 米,
8m
则由牛顿第二定律得 o d2x m 2 (10 x )g (8 x )g , dt x g g 即 x x , x(0) 0, x(0) 0. 9 9 1 gt gt 1 1 3 3 ,即 x 8 e ) 1, 整个链条滑过钉子 解得 x ( t ) (e 2 3 t ln(9 80 ) (秒) 代入上式得
x e
k x
i x i x
第四步 分析 y 的特点
y y1 y1
x e
因
k x
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1
y
y1 y1
y1 y1
y*
~ 均为 m 次实 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , R m
x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
16
例7. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y ( 4) y x e x 3 sin x
解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 有根
综上讨论
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
①
设 y* x e Qm ( x ) ,
k x
注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
4
例1.
解: 本题 0 , 而特征方程为
的一个特解.
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为 代入方程 :
2
Q ( x)
(2 p q ) Q ( x) Pm ( x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
2 x 是 m 次多项式 , 故特解形式为 y* x Qm ( x) e 则 Q ( x)
代入方程得 2 b0 x b1 2 b0 x 比较系数, 得
2x 因此特解为 y* x ( 1 x 1) e . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
6
y 3 y 2 y 1 例3. 求解定解问题 y (0) y (0) y (0) 0
方程④的解为
20
h x A sin ( k t ) t cos k t 2k
自由振动 强迫振动
随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅
可无限增大, 这时产生共振现象 .
o x x
若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;
若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 p=k. 对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏, 电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有
于是求得一个特解
15
例6. 解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:
6b cos 3x 6a sin 3x
比较系数, 得 因此特解为 y* x ( 5 cos 3x 3 sin 3x ) 所求通解为
解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程
d x 2 k x h sin p t 2 dt • 当p ≠ k 时, 齐次通解:
2
④
X C1 sin k t C2 cos k t A sin ( k t )
非齐次特解形式: x a sin p t b cos pt h , b0 代入④可得: a 2 2 k p 因此原方程④之解为
x ( d cos x k sin x )
17
上节例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻
力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 解: 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
1
x f ( x ) e Pm ( x) 型 1、
y p y q y f ( x)
为实数 , Pm ( x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q ( x) 为待定多项式 ,
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
y* y1 y1
Qm (cos x i sin x) ~ x k e x Rm cos x Rm sin x ~ 其中 R m , R m 均为 m 次多项式 .
12
Qm e Qm e x k e x Qm (cos x i sin x)
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 y* x k Qm ( x) e x (k 0, 1, 2)
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
3
y p y q y f ( x) ( p, q 为常数 )
f ( x ) e x Pm ( x )
y1 y1
等式两边取共轭 :
p
q
y1
Pm ( x) e
( i ) x
这说明
为方程 y1
③ 的特解 .
11
第三步 求原方程的特解 原方程
x
~ y p y q y e Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
o x x
19
h sin p t x A sin ( k t ) 2 2 k p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振幅 2 将很大 ! 2 k p • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
x t ( a sin k t b cos k t ) h 代入④可得: a 0, b 2k
解: 本题 0 , 特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 e x C3 e 2 x 设非齐次方程特解为
代入方程得
故
原方程通解为 y C1 C2 e x C3e 2 x
由初始条件得
C2 2C3 1 2
C1 3 4 C2 1 C 1 4 3
g
8
10m
2、 f ( x) e
分析思路:
x
~ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x 型
第一步 将 f (x) 转化为
f ( x) Pm ( x) e
( i ) x
Pm ( x) e
( i ) x
第二步 求出如下两个方程的特解
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
代入原方程 , 得
则取 (1) 若 不是特征方程的根, 2 x ( 2 p ) Q ( x ) ( p q ) Q ( x) ] e [ Q ( x ) Q (x) 为 m 次待定系数多项式 从而得到特解
x e x P ( x ) 形式为 y * e Qm ( x) . m
比较系数, 得
1 b0 1 , b1 3
于是所求特解为
5
例2. 的通解. 解: 本题 2 , 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为