定积分的换元法和分部积分法

§5.3 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
上连续， 定理1 设函数 f ( x )在区间[a , b]上连续，函数 x = ϕ ( t ) 满足条件： 满足条件： (1) ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b； (2) ϕ ( t )在[α , β（或[ β , α ])上具有连续导数，且 ] 上具有连续导数， 其值域不越出 [a , b]，则有
0 1
1
= [ xe
故
1
f ( x) 1 0
] − ∫ e f ( x)dx
0
1
∫0
[1 + xf ′( x)]e f ( x)dx
= [ xe f ( x) ]1 0
=e
f (1)
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(1)所选择的代换式 = ϕ(t )必须满足定理中的两个 x 条件； 条件；
(2)换元积分的关键是换限 ． "上限换上限， 记住 上限换上限，下限换下 "； 限
(3)求出 [ϕ(t )]⋅ ϕ′(t )的一个原函数 (t ) = F[ϕ(t )]后，不必象 f Φ x的函数， t的 ϕ 求不定积分那样把 (t )还原成 的函数，而只须直接将 Φ . 上、下限代入 (t )然后相减即可
π
π
2∫
π
0
f (sin x )dx ,
并由此计算 ∫
x sin x 1 + cos 2 x
0
dx .
11
定积分的换元法小结 1. 基本换元规律与不定积分相同. 基本换元规律与不定积分相同 2. 定积分的换元法得到新变量的原函数后 无须回代 定积分的换元法得到新变量的原函数后,无须回代 无须回代. 但必须做到换元同时换限.
12
二 定积分的分部积分法
上具有连续导数， 设u( x ), v ( x )在区间[a , b]上具有连续导数，则有 ( uv )' = u' v + uv'
于是
∫
b
a
( uv )' dx = ∫ u' vdx + ∫ uv ' dx
a a
b a b b a a
b
b
即
[uv ] = ∫ u' vdx + ∫ uv ' dx
8
例4 证明 上连续且为偶函数， （1）若 f ( x )在[− a , a ]上连续且为偶函数，则
∫ ∫
a
−a
f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx
0
a
上连续且为奇函数， （2）若 f ( x )在[− a , a ]上连续且为奇函数，则
a −a
f ( x )dx = 0
注 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的 定积分的计算. 定积分的计算
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt
α
β
这个公式叫定积分的换 元公式
1
由条件， 数均连续， 证 由条件，两端的被积函 数均连续，故定积分存 在。
的一个原函数， 设 F ( x )是 f ( x )的一个原函数，即 F ′( x ) = f ( x ) 故
∫
b
解
∫
e
1
e 2 + ln x dx = ∫ ( 2 + ln x )d ( 2 + ln x ) 1 x 1 1 5 2 e = [( 2 + ln x ) ]1 = (9 − 4) = 2 2 2
，定积分的上、 不变更。 注：当不引入新变量时 定积分的上、下限就 不变更。
7
例 3 计算 ∫
π
0
sin 3 x − sin 5 x dx .
=
π
12
+
1 2∫
1 2 (1 − 0
x2 )
−
1 2 d (1 −
x2 )
3 = + [(1 − x ) ] = + −1 12 12 2
15
π
1 1 2 2 2 0
பைடு நூலகம்
π
例2 计算
解
∫0
1
e x dx
令 x = t，则dx = 2tdt，且
当x = 0时，t = 0；当x = 1时，t = 1， 于是
9
例5 计算(1)∫−2
1 −1
2
x27 (arctan x)4 cos 2x 5− x
2
dx
(2)∫ ( x 1 + x2 + 1 − x2 )dx
( 被积函数为奇函数，原式 解：1) 被积函数为奇函数，则 = 0.
(2)
∫
1
−1
( x 1 + x2 + 1 − x2 )dx
1 2 1 −1 −1
14
例1 计算 ∫ arcsin xdx
1 2 0
解 u = arcsin x , v = x , du =
dx 1 − x2
−∫ x
1 2 0
, dv = dx
dx 1 − x2
∫
1 2 arcsin xdx 0
1 2 = [ x arcsin x ]0
1
1 π 1 dx 2 = ⋅ − ∫2 2 6 2 0 1− x2
17
(2)
∫0
π
2
e sin xdx = −
x
∫0
π
2
e xd cos x
π
2
= −e x cos x
π
0
+ ∫ 2 e x cos xdx
0
π π
π
= 1 + ∫02 e x d sinx
= 1 + [(e sin x) − ∫ e x sin xdx]
x
2 2
0
0
= 1 + e − ∫02 e x sinxdx
= F[ϕ(β )]− F[ϕ(α)]
β f ( x)dx = f [ϕ(t )] ⋅ ϕ′(t )dt a α
b
= F(b) − F(a)
∫
∫
2
例 1 计算 ∫
a
0
a 2 − x 2 dx (a > 0)
3
在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题: 在应用换元公式计算定积分时 应注意以下几个问题
4
换元公式也可以反过来 使用 :
∫a f [ϕ ( x )]ϕ ' ( x )dx = ∫a f [ϕ ( x )]dϕ ( x )
t =ϕ ( x )
b
b
=
∫α f (t )dt
β
(α = ϕ (a ), β = ϕ (b ))
5
例2 计算 ∫
e
1
2 + ln x dx x
6
出新变量， 此种方法可以不明显写 出新变量，如上例也 可这样解： 可这样解：
∫
1
0
e dx = ∫ 2te dt = 2 ∫ tde t
x t 0 0
1
1
换元法
( te t )1 − 1 e t dt =2 0 ∫0
分部积分法
= 2[e − [e t ]1 ] = 2 0
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( 例3 计算 1)∫ x arctan xdx (2)∫ 2 e x sin xdx
0 0
1
π
( 解： 1) ∫ x arctan xdx = 1 1arctan xdx2 0 2 ∫0
1 1 2 1 = [( x arctan x)0 − ∫ x2d arctan x] 0 2
1
1 x2 1 π dx] = [ −∫ 0 1 + x2 2 4 1 1 π 1 1 dx] = − [∫ dx − ∫ 2 0 1+ x 8 2 0 π 1 1 = − + [ arctan x]1 0 8 2 2 π 1 = − 4 2
所以
∫
b
a
uv ' dx = [uv ] − ∫ u' vdx
b a a
b
或
∫
b
a
udv = [uv ] − ∫ vdu
b a a
b
分部积分公式 这个公式就是定积分的 13
注 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量, 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量, 故在计算过程中自始至终均不变限, 故在计算过程中自始至终均不变限,u 、v的选择 的选择 与不定积分的分部积分法相同. 与不定积分的分部积分法相同.
a
f ( x )dx = F ( b ) − F ( a )
d F[ϕ(t )] = F′[ϕ(t )] ⋅ ϕ′(t ) = f [ϕ(t )] ⋅ ϕ′(t ) 而 dt F[ϕ(t )]是f [ϕ(t )] ⋅ ϕ′(t )的一个原函数，且 的一个原函数，
∫α
β
β f [ϕ(t )]⋅ ϕ′(t )dt = F[ϕ(t )]α
2
π
π
故π
1 π ∫0 e sin xdx = 2 (e 2 + 1)
2
π
x
18
f ( x) dx. [ 上连续， ∫ 例4 设f ′( x)在 0,1]上连续，求 [1 + xf ′( x)]e 0
1
Q 解： ∫ xf ′( x)e
0
1
f ( x)
= ∫ xe f ( x)df (x) dx 0 = ∫ xde f (x)
= ∫ x 1 + x dx + ∫
奇函数
1 − x2 dx
偶函数
= 2∫
1
0
1 − x dx =
2
π
10
2 四分之一单位圆的面积
例6 若f ( x )在[0,1]上连续 , 证明 1 （） （2 ）
∫ ∫
π
2 0
f (sin x )dx = ∫ 2 f (cos x )dx .;
0
π
π
0
xf (sin x )dx =