截面的几何性质

I xy I xC1yC1 a1b1 A1 0 (0.035) 0.0745 0.011 0.059 169cm4
x
x
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
4、惯性矩的取值恒为正值。
2 2 2 5、极惯性矩：（对O点而言） I P A dA A ( y x )dA
y 2 dA x 2 dA I x I y
A A
图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的 极惯性矩。
注意： xC、yC 为形心轴
a、b 为图形形心 C 在 Oxy 坐标系的坐标值，可正可负
I.3.2 组合截面的惯性矩 惯性积
根据惯性矩和惯性积的定义易得 组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的 惯性矩（或惯性积）之和：
n n n
I
x
I xi
i 1
I
y
I yi
2
4、整个截面对于对称轴 x 的惯性矩
40 d =80
5333 104 2 3467 10 4 12270 104 mm 4
I.4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩 I.4.1 转轴公式
y
已知：Ix、Iy、Ixy。 求：Ix1、Iy1、Ix1y1。
dA 在坐标系 Oxy 的坐标为（x，y ） dA 在坐标系Ox1y1 的坐标（x1 ， y1 ）
求截面形心主惯性矩的基本步骤 1)、建立坐标系。 2)、求形心位置。
xc
Sy A
Ax
i
i
A
Sx y A
Ay
i
i
A
3)、建立形心坐标系，并求：Iyc ， Ixc ， Ixcyc 4)、确定形心主轴位置 —— 0 ：
tan 2 0
Ix I y 2
2I xy Ix I y
A
I x cos 2 I y sin 2 2 I xy sin cos
利用二倍角函数，得 转轴公式 ：
I x1 I y1
Ix I y 2 Ix I y

Ix I y 2 Ix I y 2
cos 2 I xy sin 2 cos 2 I xy sin 2
可求得 0 和 0 + 90 ̊ 两个角度，从而确定两根轴 x0 ，y0 ，且
I x0 y0 0
由 tan 2 0
2I xy Ix I y
I x0 I y0
求出 sin 2 0 , cos2 0 代入转轴公式可得：
I max I min

Ix I y 2
Ix I y 2 I xy 2
Ix I y Ix I y dI x1 2 sin 2 2 I xy cos 2 2( sin 2 I xy cos 2 ) 2 I x1 y1 d 2 2 2I xy dI x1 tan 2 0 令 0 0 Ix I y d 0
I.4.2 主惯性轴和主惯性矩
I x1 I y1 Ix I y 2 Ix I y Ix I y 2 Ix I y 2 cos 2 I xy sin 2 cos 2 I xy sin 2
I x1 y1
2 Ix I y 2
sin 2 I xy cos 2
A
dA
x1 OE EC x cos y sin
y1 AD CD y cos x sin
惯性矩定义
C D
y
E
I x1 y1 d A
2 A
O
x
B
x
cos 2 y 2 d A sin 2 x 2 d A
A A
2sin cos xy d A
附录I
截面的几何性质
I.1 截面的静矩和形心 I.2 惯性矩 惯性积
I.3 平行移轴公式 组合截面惯性矩和惯性积
I.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
I.1 截面的静矩和形心
I.1.1 静矩 （面积矩）
1、定义 dA对 x 轴的微静矩:
dSx y dA
y
dA
dA对 y 轴的微静矩:
A
dS y x dA
40
2d 3p
a =100
a+
2、一个半圆对其自身形心轴的惯性矩
C 100
x
πd 4 d 4 I xc 128 18π
3、一个半圆对 x 的惯性矩
2 Ix
2d πd 2 4 4 I xc a 3467 10 mm 3 π 8
I x I x1 2 I x2
y
S x y dA
S y x dA
A
O
x
x
2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。 3、静矩的值可以是正值、负值、或零。
4、静矩和形心的关系 平面图形的形心公式
xC
y
静矩和形心的关系
dA
C y yC

A
x dA A y dA A
yC

A
x
O xC x
S x y dA A yC
I x1 y1
2 Ix I y 2
sin 2 I xy cos 2
的符号为：从 x 轴至 x1 轴 逆时针为正，顺时针为负。
前两式相加
I x1 I
y1来自百度文库
I x I y
表明: 截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为 一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩
A
S y x dA A xC
A
结论： 图形对过形心的轴的静矩为零。 若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。
I.1.2 组合图形的静矩：
组合图形: 由若干个基本图形组合而成的图形
基本图形: 面积、形心位置已知的图形
S x S xi A i yCi S y S yi A i xCi
A A
y y
yc
yc xc dA ab dA a xc dA b yc dA
A A A A
yc
dA
I xcyc abA
C xc xc
I x I xc a A
2
a O b x x
I y I yc b A
2
——平行移轴公式
I xy I xcyc abA
y
dA b( y ) dy 2 R 2 y 2 dy
b(y)
Sx y dA y 2 R2 y 2 dy
A
d 2
C yc
xc
yc
x
S x d 12 2d 2 A πd 8 3π
0 3
1 3 d 12
求对形心轴 xc 的惯性矩
d
πd 4 64 πd 4 Ix 2 128
y
yc yc
dA
C a O x
A A A
xc
xc
I x y 2 dA ( yc a) 2 dA yc2 dA a 2 dA 2a yc dA
A A
x
I xc a A
2
b
同理
I y I yc b2 A
I xy xydA ( yc a)( xc b)dA
140
1 2 b1h13 A1 zC1 zC 12 1 2 3 20 140 20 140 80 46.7 12
zc
20 1
yc 2 zC
20
y
100
I yc I I 12.12 10 m
例I-3 求图示直径为 d 的半圆对其自身形心轴 xc 的惯性矩。 解： 取平行于 x 轴的狭长条作为微面积 dA
zC 2 0
20
2 zC
A1 zC1 A2 zC 2 46.7mm A1 A2
y
100
I1 yc
2 I yc
1 2 3 b2 h2 A2 zC 2 zC 12 1 2 100 203 100 20 0 46.7 12
1 yc 2 yc 6 4
矩形 I：
80
I x I xC1 a A


2 1 1
C 80 11 II
x
1 0.059 0.0113 0.07452 0.011 0.059 12 360.9cm4
I y I yC1 b12 A1
70
1 0.0593 0.011 (0.035) 2 0.011 0.059 98.2cm 4 12
2
由此引出几个概念： 1、主惯性轴（主轴）： 如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该 点的主惯性轴。（Ix0y0 =0 ，x0，y0 轴为主轴）。 2、主惯性矩（主矩）： 图形对主轴的惯性矩 Ix0、Iy0 称为主惯性矩，主惯性矩为图形对过该点 的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。
i 1
I
xy
I xiyi
i 1
例 I-2 求 T 形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
zc
解：将截面分成两个矩形截面。
140
20 1
yc
截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行于底边的 y 轴作为
参考轴
A1 20 140
形心坐标
zC
zC1 80
A2 100 20
由平行移轴公式得：
I xc
πd 2 πd 4 d 4 I x ( yc ) 8 128 18π
2
例I-4 试求图示截面对于对称轴 x 的惯性矩。
y
解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。 1、矩形对 x 轴的惯性矩：
3 d 2 a 80 200 1 Ix 5333 104 mm4 12 12 3
2 2
R
I.2 惯性矩 惯性积
I.2.1 惯性矩
1、定义： dA 对 x 轴的惯性矩: dA 对 y 轴的惯性矩:
y
dI x y dA
2
dA
dI y x2dA
图形对 x 轴的惯性矩: I x
图形对 y 轴的惯性矩: I y
2、量纲：m4、mm4。

y
A
y 2dA x 2dA
O

A
3、形心主惯性轴（形心主轴）： 如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（ Ixcyc = 0。 xc、yc 为形心轴。xc、yc 为形心主轴）。 4、形心主惯性矩： 图形对形心主轴的惯性矩。（Ixc、Iyc）。 几个结论: 若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性 轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。 若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。 若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯 性矩相等。
y
O
x
x
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯 性积为零。
I.3 平行移轴公式
I.3.1 平行移轴公式
y
图形截面积 A，形心坐标 xc、 yc ，对形心
轴的惯性矩和惯性积分别为 Ixc、Iyc、 Ixcyc，a、 b 已知。xc 轴平行于 x 轴；yc 轴平行于 y 轴。 求：Iz、Iy。
I y x 2dA hx 2dx
A
b 2 b 2
c
h dx b
xc
1 I x bh3 12
6、惯性半径：
1 3 I y hb 12
Ix A
iy Iy A
ix
I.2.2 惯性积
1、定义：
y
I xy xy dA
A
dA
2、量纲：［长度］4，单位：m4、mm4。 3、惯性积是对轴而言。 4、惯性积的取值为正值、负值、零。 5、规律：
组合图形对于某一轴的静矩，等于图形各组成部分对于同一轴静矩之代数和。
例Ⅰ-1 求图示半圆形的静矩Sx、Sy。 解：由对称性
y
Sy 0
取平行于 x 轴的狭长条作为微面积 dA
dy R O y x
dA 2 x dy 2 R y dy
2 2
2 3 Sx y dA y 2 R y dy R A 3 0
2
5)、求形心主惯性矩
I max I min

I x0 I y0

Ix I y 2 I xy 2
例I-5 确定图示截面的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩。 解：(1)首先确定图形的形心。
利用平行移轴公式分别求出各矩形对 x
70 11 I
y
轴和 y 轴的惯性矩和惯性积。
⑴ 圆形截面的惯性矩：
实心（直径D） 空心（外径D，内径d） ⑵ 矩形截面的惯性矩：
D 4 Ix I y 64 D 4 Ix I y 1 4 64
yc b dy h
I x y 2dA
A
h 2 h 2
1 by 2dy bh3 12 1 hb3 12