指数函数,对数函数,幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a

a n

n ；

②a a n

n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n

a

a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n

m n

a

a m n N n a

-

*=

=

>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质

n 为奇数 n 为偶数

y=a x a>1 0

图象

定义域R

值域（0，+∞）

性质（1）过定点（0，1）

（2）当x>0时，y>1;

x<0时,0

(2) 当x>0时，0

x<0时, y>1

(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果(01)

x

a N a a

=>≠

且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log N

a

x=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数

底数为a0,1

a a

>≠

且log N

a

常用对数底数为10

lg N

自然对数底数为e ln N

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（0,1

a a

>≠

且）：①1

log0

a

=，②log1

a

a

=，③log N a

a N

=，④log N a

a

N

=。

（2）对数的重要公式：

①换底公式：

log

log(,1,0)

log

N

N a

b b

a

a b N

=>

均为大于零且不等于；

②

1

log

log

b

a a

b

=。

（3）对数的运算法则：

如果0,1

a a

>≠

且，0,0

M N

>>那么

①N

M

MN

a

a

a

log

log

)

(

log+

=；

②N

M

N

M

a

a

a

log

log

log-

=；

③)

(

log

log R

n

M

n

M

a

n

a

∈

=；

④b

m

n

b

a

n

a m

log

log=。

图

象

1

a>01

a

<<

性

质

（1）定义域：（0,+∞）

（2）值域：R

（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）

（4）当01

x

<<时，(,0)

y∈-∞；

当1

x>时，(0,)

y∈+∞

（4）当1

x>时，(,0)

y∈-∞；

当01

x

<<时，(0,)

y∈+∞（5）在（0,+∞）上为增函数（5）在（0,+∞）上为减函数

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

4、反函数

指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数

1、幂函数的定义

形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，

1

2

y x

=，y=x-1方法：可画出x=x0；

当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，

1

2

y x

=，y=x-1；

当0

1

2

y x

=，y=x，y=x2，y=x3。

y=x y=x2y=x31

2

y x

=

y=x-1

定义域R R R [0，+∞）{}

|0

x x R x

∈≠

且

值域R [0，+∞）R [0，+∞）{}

|0

y y R y

∈≠

且

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增x∈[0，+∞）时，增；

x∈(,0]

-∞时，减

增增x∈(0,+∞)时，减；

x∈(-∞,0)时，减

定点（1，1）

三：例题诠释，举一反三

知识点1：指数幂的化简与求值

例1.(2007育才A)

（1）计算：

25

.0

2

1

2

1

3

2

5.0

3

2

0625

.0

]

)

32

.0(

)

02

.0(

)

008

.0(

)

9

4

5(

)

8

3

3

[(÷

⨯

÷

+-

-

-

；