平面向量的坐标表示 使用
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7.3平面向量的坐标表示
思考
❖ 在平面直角坐标系中，平面内的每一点都 可以用一对有序实数来表示，这对实数就 是点在平面内的坐标；反之，每一对有序 实数都能确定一个点。在平面直角坐标系 内，每一个平面向量是否也能用一对有序 实数来表示呢？
探究
❖ 导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直 向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
例：已知 A(x1, y1 )，B(x2 , y2 ) ．求 AB
解： AB OB OA
A(x1, y1 )
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
O
(x2 x1, y2 y1)
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
❖ 设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
❖ 在平面上，建立一个直角坐标系xOy，若设x轴
正方向上的单位向量为 i ， y轴正方向上的单
位向量为 j ，则x轴上的向量总可以表示成 xi 的形式，y轴上的向量总可以表示成 y j 的形式，
其中x，y分别是它们的终点在数轴上的坐标。
探索:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量又如何处理呢?
M (x1, y1)
MN (x2 x1, y2 y1)
1
M N (x2 x1)2 ( y2 y1)2
两点间距离公式
O1
x
课堂小结
1.平面向量的坐标的表示
a=xi+yj=(x,y).
2. 要把点的坐标与向量的坐标区分开
来，两者不是一个概念 .
3. 4.
ai, j
的 含义 b ( x1
y
o
x
解决方案:
百度文库
y
可通过向量的平移，
将向量的起点移到坐
标的原点O处.
o
x
我们将这样的起点在坐标原点处的向量称 为位置向量，平面上任意向量都有与它相 等的位置向量，所以研究向量的性质可以 通过研究其相应的位置向量来实现。
❖ 对于直角坐标系平面内任意向量 a ，将它的起
点移至原点O，其的终点坐标为P(x,y)。以OP为 对角线，作矩形OMPN，则 OM ，ON 分别表示
向量的坐标不表示向量的位置，同一向量可以任 意平移，而它的坐标只有一个。
a b x1 x2且y1 y2
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对 应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的 起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点 坐标就是向量的坐标.
❖ 例题：写出下列向量的坐标表示：
（1） a 5i 3 j (5,3)
之，当这个关系成立时，能否得出 a // b ？ y1 x1 y2 x2
y1 x2 y2 x1
❖ 向量 a (x,1)， b (4, x) ，当x是何值时，
（1） a // b ；
（2） a 与 b 方向相同？
解：（1）a // b x • x 41 0 x 2;
解：
a b (3,4) (5,3) (8,1)
a b (3,4) (5,3) (2,7)
2a 3b 2(3,4) 3(5,3)
(6,8) (15,9) (9,17)
思考交流：
❖ 设两个非零向量 a (x1, y1) ，b (x2, y2) ， 当 a // b 时，x1,y1,x2,y2之间满足什么关系？反
成 xi 与 y j 。由向量加法的平行四边形法则可
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
❖ 我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
（3）用单位向量e1、e2表示向量 OP 。
（2） b 5i (5,0)
（3） c j (0, )
思考交流:
❖ 怎样通过坐标确定两个向量相等呢？
a b x1 x2且y1 y2
平面向量的直角坐标运算
探究：平面向量可以用坐标表示，向量
的运算可以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (m , n) ，
了.
-3
4 向量的坐标表示
3
y
P (x,y)
2
1
j
-2
2
4
6
Oi
x
-1
OP=xi+y j=(x,y)
一一对应
一一对应
-2
向量OP 点P（x,y） 有 （序 x，实y数）对
-3
r 、 a (x, y)
点的坐标可以表示一个点在坐标平面的位置，向 量的坐标能否也表示向量在坐标平面的位置呢？
理解：向量的坐标意义是向量正交分解时对应的有序 实数对，表面是坐标形式，它只是一种记法，实际上 是分解出来的基底的系数。
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
r r rr x2i y2 j (x1i y1 j)
y
N (x2 , y2 )
r
r
(x2 x1)i ( y2 y1) j
做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
作 a (x, y) ，其中x叫做向量 a 的横坐标， y叫做向量 a 的纵坐标，a (x, y) 叫做向量 a
的坐标表示。
4 位置向量的关键点
3
P（3，2）
2
1
j
OP=3i+2 j
-2
2
4
6
Oi
-1
注意观察，发现一个位置
向量,只要它的终点确定了,
-2
那这个位置向量也就确定
平面向量的坐标运算
❖ 设 c (x, y) ， 为一实数，则
那么
c (xi y j) (x)i (y) j c (x,y)
实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘以原来向 量的相应的坐标．
❖ 例题：已知 a (3,4) ， b (5,3) ，
求 a b ， a b ，2a 3b 。
.
x2 ,
y1
y2
),
a
(x1, y1 )
其中a
(
x1
,
y1
),
b
(
x2
,
y2
)
.
作业
❖ 书第54-55页，习题1、4题
思考
❖ 在平面直角坐标系中，平面内的每一点都 可以用一对有序实数来表示，这对实数就 是点在平面内的坐标；反之，每一对有序 实数都能确定一个点。在平面直角坐标系 内，每一个平面向量是否也能用一对有序 实数来表示呢？
探究
❖ 导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直 向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
例：已知 A(x1, y1 )，B(x2 , y2 ) ．求 AB
解： AB OB OA
A(x1, y1 )
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
O
(x2 x1, y2 y1)
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
❖ 设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
❖ 在平面上，建立一个直角坐标系xOy，若设x轴
正方向上的单位向量为 i ， y轴正方向上的单
位向量为 j ，则x轴上的向量总可以表示成 xi 的形式，y轴上的向量总可以表示成 y j 的形式，
其中x，y分别是它们的终点在数轴上的坐标。
探索:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量又如何处理呢?
M (x1, y1)
MN (x2 x1, y2 y1)
1
M N (x2 x1)2 ( y2 y1)2
两点间距离公式
O1
x
课堂小结
1.平面向量的坐标的表示
a=xi+yj=(x,y).
2. 要把点的坐标与向量的坐标区分开
来，两者不是一个概念 .
3. 4.
ai, j
的 含义 b ( x1
y
o
x
解决方案:
百度文库
y
可通过向量的平移，
将向量的起点移到坐
标的原点O处.
o
x
我们将这样的起点在坐标原点处的向量称 为位置向量，平面上任意向量都有与它相 等的位置向量，所以研究向量的性质可以 通过研究其相应的位置向量来实现。
❖ 对于直角坐标系平面内任意向量 a ，将它的起
点移至原点O，其的终点坐标为P(x,y)。以OP为 对角线，作矩形OMPN，则 OM ，ON 分别表示
向量的坐标不表示向量的位置，同一向量可以任 意平移，而它的坐标只有一个。
a b x1 x2且y1 y2
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对 应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的 起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点 坐标就是向量的坐标.
❖ 例题：写出下列向量的坐标表示：
（1） a 5i 3 j (5,3)
之，当这个关系成立时，能否得出 a // b ？ y1 x1 y2 x2
y1 x2 y2 x1
❖ 向量 a (x,1)， b (4, x) ，当x是何值时，
（1） a // b ；
（2） a 与 b 方向相同？
解：（1）a // b x • x 41 0 x 2;
解：
a b (3,4) (5,3) (8,1)
a b (3,4) (5,3) (2,7)
2a 3b 2(3,4) 3(5,3)
(6,8) (15,9) (9,17)
思考交流：
❖ 设两个非零向量 a (x1, y1) ，b (x2, y2) ， 当 a // b 时，x1,y1,x2,y2之间满足什么关系？反
成 xi 与 y j 。由向量加法的平行四边形法则可
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
❖ 我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
（3）用单位向量e1、e2表示向量 OP 。
（2） b 5i (5,0)
（3） c j (0, )
思考交流:
❖ 怎样通过坐标确定两个向量相等呢？
a b x1 x2且y1 y2
平面向量的直角坐标运算
探究：平面向量可以用坐标表示，向量
的运算可以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (m , n) ，
了.
-3
4 向量的坐标表示
3
y
P (x,y)
2
1
j
-2
2
4
6
Oi
x
-1
OP=xi+y j=(x,y)
一一对应
一一对应
-2
向量OP 点P（x,y） 有 （序 x，实y数）对
-3
r 、 a (x, y)
点的坐标可以表示一个点在坐标平面的位置，向 量的坐标能否也表示向量在坐标平面的位置呢？
理解：向量的坐标意义是向量正交分解时对应的有序 实数对，表面是坐标形式，它只是一种记法，实际上 是分解出来的基底的系数。
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
r r rr x2i y2 j (x1i y1 j)
y
N (x2 , y2 )
r
r
(x2 x1)i ( y2 y1) j
做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
作 a (x, y) ，其中x叫做向量 a 的横坐标， y叫做向量 a 的纵坐标，a (x, y) 叫做向量 a
的坐标表示。
4 位置向量的关键点
3
P（3，2）
2
1
j
OP=3i+2 j
-2
2
4
6
Oi
-1
注意观察，发现一个位置
向量,只要它的终点确定了,
-2
那这个位置向量也就确定
平面向量的坐标运算
❖ 设 c (x, y) ， 为一实数，则
那么
c (xi y j) (x)i (y) j c (x,y)
实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘以原来向 量的相应的坐标．
❖ 例题：已知 a (3,4) ， b (5,3) ，
求 a b ， a b ，2a 3b 。
.
x2 ,
y1
y2
),
a
(x1, y1 )
其中a
(
x1
,
y1
),
b
(
x2
,
y2
)
.
作业
❖ 书第54-55页，习题1、4题