热学第3章
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6
则 f (x) dx 表示黑点的位置处于 x 到x + dx 范围内的概率。就是曲线中 x 到 x+dx 微小 线段下的面积 . 而黑点处于 x1 到 x2 范围内的概 率为
x2
x1
f ( x )dx
如果把积分区域扩 展为无穷大
f ( x )dx 1
7
类似地可把靶板沿 y 方向划分为若干宽为 y 的窄条,数出每一窄条中的黑点数，求出 f ( y )= N /N y .并令 y0 ,可得到黑点处于 y 到 y+dy 范围内的概率 f（y）dy。
定理的局限性。掌握等温大气压强公式，了
解玻尔兹曼分布。
2
§3.1
气体分子速率分布律
概率论的基本知识
u P1u1 P2 u2 Pi ui
概率分布函数
i
• 前面所讨论的随机变量只能取分立的，或 称离散的数值,实际上有很多变量是连续变 化的，例如粒子的空间位置或粒子的速度。 • 在随机变量取连续值时，求平均值公式中 Pi 也是连续分布的。
m 3/ 2 f (v )dv 4 ( ) e 2 kT
mv 2 2 kT
v dv
2
其中m为每个分子的质量，k为玻尔兹曼 常量。
16
分布曲线如下图所示。
图中左边打斜条狭长区域表示速率介于 v 到 v + dv 分子数与总分子数之比，此即麦克斯韦速 率分布。
2 m 3/ 2 mv 2 f (v )dv 4 ( ) exp v dv 2 kT 2kT
12
• 一、速率分布函数
• 与黑点在靶板上的分布相类似.
• 以ΔN/ (NΔv) 为纵坐标（其中N 表示一定量气 体的总分子数），以分子的速率v为横坐标作 一图形，如图所示。
•每一细长条的面积均表示单位时间内所射出的 分子束中，分子速率介于该速率区间的概率 (ΔN/NΔv )v ，其中Δv = 10 m· s-1。
8
• 显然，黑点处于 x 到 x+dx，y到 y+dy 范围 内的概率就是图中打上斜线的范围内的黑点 数与总黑点数之比。因为这样的黑点既要处 于 x 到 x+dx 范围内，又要处于 y 到 y+dy 范围内,这是同时事件。 又粒子处于 x 坐标与 y 坐标是彼此独立的。 按概率相乘法则，粒子处于 该面积上的概率为
3
• 因为测量仪器总有一定误差，在测量分子速 率时，我们测不出分子速率恰好为 100m/s 的 分子数是多少，例如若仪器的误差范围为 1m/s ，则我们只能测出分子速率从 99.5m/s 到 100.5m/s的分子数是多少。
• 我们也不能讲分子速率恰好处于 100m/s 的概 率，而只能讲分子速率介于某一范围（例如 99m/s到101m/s）内的概率。
• (1) 平均速率
v vf (v )dv
0
0
m 4 2 kT
3/ 2
2 mv v 3 exp 2kT
dv
利用P81积分表可得
v 8kT m 8RT M
31
(2)方均根速率 v rms
v
2 0
M ( H2 ) M (O2 )
vp (H2 ) 2000m.s
-1
vp (H2 ) vp (O2 )
vp (H 2 )
M (O2 ) 32 4 vp (O2 ) M (H 2 ) 2
-1
vp (O2 ) 500m.s
30
三、理想气体分子的平均速率、 方均根速率
第三章
气体分子热运动速率 和能量的统计分布
1
基本要求
掌握分布函数的概念和麦克斯韦速率分
布定律，掌握三种特殊速率。说明速率分布
定律的统计规律性；了解测定分子束分子速 度分布实验的原理，掌握平衡态下气体分子 速度分布的规律；理解自由度的概念和能量 按自由度均分定理；说明气体内能的微观意
义及计算理想气体内能公式。了解能量均分
F ( x ) f ( x )dx
g( x, y ) f ( x, y )dxdy
11
• 气体分子热运动的特点是:
• 大数分子无规则运动及它们之间频繁地相互 碰撞；分子以各种大小不同的速率向各个方向 运动；在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换 动量和能量，使每一分子的速度不断变化。处 于平衡态的气体，虽然每个分子在某一瞬时的 速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多 数分子之间存在一种统计相关性，这种统计相 关性表现为平均说来气体分子的速率（指速度 的大小）介于 v 到 v + dv 的概率（即速率分 布函数）是不会改变的.
v 2v0
36
试说明下列各式的物理意义：
（ 1） （ 3）
f (v )dv
（ 2） （ 4）
Nf (v )dv
v2
v1
f (v )dv
v2
v1
Nf (v )dv
（ 5）
v2
v1
1 2 mv f (v )dv 2 v2 f (v )dv
v1
37
麦克斯韦速率分布的例题
• [ 例 1] 试求氮分子及氢分子在标准状况下的平 均速率。
f (v )dv 的物理意义：
表示速率在 v v dv 区间的分 子数占总分子数的百分比.
24
速率在 v v dv 内分子数：
dN Nf (v )dv
f (v )
速率位于 v1 v2 区间的分 子数：
S
N N f (v )dv
v2
o
v1 v2
v
速率位于 v v 区间的分 1 2 子数占总数的百分比：
17
• 计算积分时，可利用积分公式
0
0
exp( ax ) x dx
2 2
4
a
3 / 2
f (v )dv
0
2 2 m mv 3/ 2 4 ( ) exp v dv 2 kT 2kT
并令 = m/2kT ，则
0
m 3 / 2 2kT f (v )dv 4 ( ) 2 kT 4 m
解 （ 1）
v
vp
Nf ( v)dv
1 2 m v Nf ( v)dv （2） vp 2
28
2 如图示两条 f ( v) ~ v 曲线分别表示氢 气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布 曲线， 从图上数据求出两气体最概然速率 .
f ( v)
o
2000
v / m Leabharlann Baidu1
29
解
vp
2 RT M
3/ 2
1
说明麦克斯韦速率分布是归一化的.
18
关于麦克斯韦速率分布律几点说明：
（1）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。 平 衡状态下气体分子密度 n 及气体温度有确 定数值，故其速率分布也是确定的； （2）它仅是分子质量及气体温度的函数，其 分布曲线随分子质量或温度的变化趋势示于 图。
19
(3)因为 v2 是一增函数，exp(-mv2/2kT)是一减 函数，增函数与减函数相乘得到的函数将在某 一值取极值，概率密度取极大值时的速率称为 最概然速率（也称最可几速率），以vp表示。
• 为了对连续变量的概率分布了解得更清楚， 下面举一个有关打靶试验的例子。
4
子弹沿靶板的分布实验
图是直角坐标表示靶板上 的分布。
把靶平面划分出很多宽为 x的窄条,x的宽度比黑 点的大小要大得多。数出 在x 到x +Δx 范围窄条的 黑点数ΔN，把它除以靶 板上总的黑点数N。则其 百分比就是黑点处于x 到 x +Δx 范围内这一窄条的 概率.
0
1 C vo
o
vo
v
34
v vf ( v)dv
0
vo
0
v Cvdv C 2
2 o
vo 1 v v vo 2 2
v v f ( v)dv
2 2 0 vo 0
2 o
1 2 Cv dv vo 3
2
3 v vo 3
2
35
有N 个质量均为 m 的同 种气体分子，它们的速 率分布如图，（1）说明 Nf(v) 曲线与横坐标所包围面 积的含义；（2）由 N a 和 v0求 a 的值；（3） 求在速率 v0 /2 到 v0 3/2 O v0 间隔内的分子数；（4） 求分子的平均平动动能。
22
速率分布函数
N 1 N 1 dN f (v ) lim lim v 0 N v N v 0 v N dv
f (v )
dS
dN f (v )dv dS N
v
23
o v v dv
f (v ) 物理意义
表示在温度为 T 的平衡状态下，速 率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总 数的百分比 .即单位速率间隔内分子的分 布几率，---几率（概率）密度。
20
最概然速率vp
因为速率分布函数是一连续函数，若要求 极值可利用极值条件
df ( v ) 0 dv v v p
2kT 2 RT vp m M
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然速 率 v p 附近单位速率间隔内的相对分子 数最多.
21
2kT 2 RT vp m M
从上式可见 m 越小或 T 越大， vp 越大 。 图画出的两条麦克斯韦速率分布曲线中。最 概然速率 vP1＜vp2。
f ( x )dx f ( y )dy f ( x , y )dxdy
9
f（x，y）称为黑点沿平面位置的概率密度 函数，它表示在这一区域内黑点相对密集的程 度。f（x，y）dxdy 称为沿平面位置的概率分 布函数。
要求出处于x1到x2、y1 到y2内的概率，对 x、y 积分
y1
y2
x2
33
例3. 有 N 个粒子，其速率分布函数为: 1、作速率分布曲线。 2、由N 和vo求常量C。 f ( v) 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。 解：
C ( vo> v > 0) 0 ( v > vo )
0
f ( v) dv
vo
f ( v)
C
Cdv Cvo 1
13
Δv→0即得一条光滑的曲线
称为气体分子速率分布函数.
14
其纵坐标
dN f (v ) N dv
• 称为分子束速率分布概率密度函数。
• 在v 到 v+dv 速率区间内的细长条的面积就表示 分子速率介于v 到 v+dv 区间范围内的概率
dN dv Ndv
15
二、麦克斯韦速率分布律
• 1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理 想气体分子在三个方向上作独立运动的假设导 出了麦克斯韦速率公布，其表达式如下：
3kT v f v dv m
2
vrms
3kT m
3 RT M
mv / 2 3kT / 2
2
结果与从
得到的完全相同。
32
三种速率之比
v p : v : v 1 : 1.128 : 1.224
2
它们三者之间相差 不超过23%，而以 均方根速率为最大。 右图示意表示了麦 克斯韦速率分布中 的三种速率的相对 大小。
x1
f ( x , y )dxdy
x2 x1
y2 y1
f ( y )dy
f ( x )dx
10
• 有了概率分布函数就可求平均值。 • 例如，黑点的x方向坐标的平均值为
x
xf ( x )dx
x 的某一函数F（x）的平均值为
F ( x)
g( x , y )
26
v 附近 dv速率间隔内的分数：
应掌握下列两种图像
f ( v)
T1 300K T2 1200K
f ( v)
O2 H2
o
vp1 vp2
v
o
vpo vp H
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
同一温度下不 同气体的速率分布
27
讨论 1 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函 数 f ( v) . 求 （1） 速率在 vp ~ v 间的分子 数；（2）速率在 vp ~ 间所有分子动能 之和 .
5
然后以N /(Nx ) = f(x) 为纵坐标，以 x 为横坐 标，画出一根根竖条， 每根竖条的宽度为 x. 竖条面积才是粒子数所 占的百分比，即概率。 若令 x0 ，就得到一条连续曲线，这时的纵 坐标 f (x) 称为黑点沿 x 方向分布的概率密度， 表示黑点沿 x 方向的相对密集程度。
v1
N N
v2
v1
f (v )dv
25
注意： 分子速率分布是 “两头小，中间大”
曲线 下面积恒为1， 故温度增加时曲线变 得“扒下”。
f (v )
T1
T2 T1
T2
v
以上分布函数还可写成： v v dv 内的分子数占总分子数的百分比 还可写成：在
dN f (v )dv dN Nf (v )dv N
则 f (x) dx 表示黑点的位置处于 x 到x + dx 范围内的概率。就是曲线中 x 到 x+dx 微小 线段下的面积 . 而黑点处于 x1 到 x2 范围内的概 率为
x2
x1
f ( x )dx
如果把积分区域扩 展为无穷大
f ( x )dx 1
7
类似地可把靶板沿 y 方向划分为若干宽为 y 的窄条,数出每一窄条中的黑点数，求出 f ( y )= N /N y .并令 y0 ,可得到黑点处于 y 到 y+dy 范围内的概率 f（y）dy。
定理的局限性。掌握等温大气压强公式，了
解玻尔兹曼分布。
2
§3.1
气体分子速率分布律
概率论的基本知识
u P1u1 P2 u2 Pi ui
概率分布函数
i
• 前面所讨论的随机变量只能取分立的，或 称离散的数值,实际上有很多变量是连续变 化的，例如粒子的空间位置或粒子的速度。 • 在随机变量取连续值时，求平均值公式中 Pi 也是连续分布的。
m 3/ 2 f (v )dv 4 ( ) e 2 kT
mv 2 2 kT
v dv
2
其中m为每个分子的质量，k为玻尔兹曼 常量。
16
分布曲线如下图所示。
图中左边打斜条狭长区域表示速率介于 v 到 v + dv 分子数与总分子数之比，此即麦克斯韦速 率分布。
2 m 3/ 2 mv 2 f (v )dv 4 ( ) exp v dv 2 kT 2kT
12
• 一、速率分布函数
• 与黑点在靶板上的分布相类似.
• 以ΔN/ (NΔv) 为纵坐标（其中N 表示一定量气 体的总分子数），以分子的速率v为横坐标作 一图形，如图所示。
•每一细长条的面积均表示单位时间内所射出的 分子束中，分子速率介于该速率区间的概率 (ΔN/NΔv )v ，其中Δv = 10 m· s-1。
8
• 显然，黑点处于 x 到 x+dx，y到 y+dy 范围 内的概率就是图中打上斜线的范围内的黑点 数与总黑点数之比。因为这样的黑点既要处 于 x 到 x+dx 范围内，又要处于 y 到 y+dy 范围内,这是同时事件。 又粒子处于 x 坐标与 y 坐标是彼此独立的。 按概率相乘法则，粒子处于 该面积上的概率为
3
• 因为测量仪器总有一定误差，在测量分子速 率时，我们测不出分子速率恰好为 100m/s 的 分子数是多少，例如若仪器的误差范围为 1m/s ，则我们只能测出分子速率从 99.5m/s 到 100.5m/s的分子数是多少。
• 我们也不能讲分子速率恰好处于 100m/s 的概 率，而只能讲分子速率介于某一范围（例如 99m/s到101m/s）内的概率。
• (1) 平均速率
v vf (v )dv
0
0
m 4 2 kT
3/ 2
2 mv v 3 exp 2kT
dv
利用P81积分表可得
v 8kT m 8RT M
31
(2)方均根速率 v rms
v
2 0
M ( H2 ) M (O2 )
vp (H2 ) 2000m.s
-1
vp (H2 ) vp (O2 )
vp (H 2 )
M (O2 ) 32 4 vp (O2 ) M (H 2 ) 2
-1
vp (O2 ) 500m.s
30
三、理想气体分子的平均速率、 方均根速率
第三章
气体分子热运动速率 和能量的统计分布
1
基本要求
掌握分布函数的概念和麦克斯韦速率分
布定律，掌握三种特殊速率。说明速率分布
定律的统计规律性；了解测定分子束分子速 度分布实验的原理，掌握平衡态下气体分子 速度分布的规律；理解自由度的概念和能量 按自由度均分定理；说明气体内能的微观意
义及计算理想气体内能公式。了解能量均分
F ( x ) f ( x )dx
g( x, y ) f ( x, y )dxdy
11
• 气体分子热运动的特点是:
• 大数分子无规则运动及它们之间频繁地相互 碰撞；分子以各种大小不同的速率向各个方向 运动；在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换 动量和能量，使每一分子的速度不断变化。处 于平衡态的气体，虽然每个分子在某一瞬时的 速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多 数分子之间存在一种统计相关性，这种统计相 关性表现为平均说来气体分子的速率（指速度 的大小）介于 v 到 v + dv 的概率（即速率分 布函数）是不会改变的.
v 2v0
36
试说明下列各式的物理意义：
（ 1） （ 3）
f (v )dv
（ 2） （ 4）
Nf (v )dv
v2
v1
f (v )dv
v2
v1
Nf (v )dv
（ 5）
v2
v1
1 2 mv f (v )dv 2 v2 f (v )dv
v1
37
麦克斯韦速率分布的例题
• [ 例 1] 试求氮分子及氢分子在标准状况下的平 均速率。
f (v )dv 的物理意义：
表示速率在 v v dv 区间的分 子数占总分子数的百分比.
24
速率在 v v dv 内分子数：
dN Nf (v )dv
f (v )
速率位于 v1 v2 区间的分 子数：
S
N N f (v )dv
v2
o
v1 v2
v
速率位于 v v 区间的分 1 2 子数占总数的百分比：
17
• 计算积分时，可利用积分公式
0
0
exp( ax ) x dx
2 2
4
a
3 / 2
f (v )dv
0
2 2 m mv 3/ 2 4 ( ) exp v dv 2 kT 2kT
并令 = m/2kT ，则
0
m 3 / 2 2kT f (v )dv 4 ( ) 2 kT 4 m
解 （ 1）
v
vp
Nf ( v)dv
1 2 m v Nf ( v)dv （2） vp 2
28
2 如图示两条 f ( v) ~ v 曲线分别表示氢 气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布 曲线， 从图上数据求出两气体最概然速率 .
f ( v)
o
2000
v / m Leabharlann Baidu1
29
解
vp
2 RT M
3/ 2
1
说明麦克斯韦速率分布是归一化的.
18
关于麦克斯韦速率分布律几点说明：
（1）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。 平 衡状态下气体分子密度 n 及气体温度有确 定数值，故其速率分布也是确定的； （2）它仅是分子质量及气体温度的函数，其 分布曲线随分子质量或温度的变化趋势示于 图。
19
(3)因为 v2 是一增函数，exp(-mv2/2kT)是一减 函数，增函数与减函数相乘得到的函数将在某 一值取极值，概率密度取极大值时的速率称为 最概然速率（也称最可几速率），以vp表示。
• 为了对连续变量的概率分布了解得更清楚， 下面举一个有关打靶试验的例子。
4
子弹沿靶板的分布实验
图是直角坐标表示靶板上 的分布。
把靶平面划分出很多宽为 x的窄条,x的宽度比黑 点的大小要大得多。数出 在x 到x +Δx 范围窄条的 黑点数ΔN，把它除以靶 板上总的黑点数N。则其 百分比就是黑点处于x 到 x +Δx 范围内这一窄条的 概率.
0
1 C vo
o
vo
v
34
v vf ( v)dv
0
vo
0
v Cvdv C 2
2 o
vo 1 v v vo 2 2
v v f ( v)dv
2 2 0 vo 0
2 o
1 2 Cv dv vo 3
2
3 v vo 3
2
35
有N 个质量均为 m 的同 种气体分子，它们的速 率分布如图，（1）说明 Nf(v) 曲线与横坐标所包围面 积的含义；（2）由 N a 和 v0求 a 的值；（3） 求在速率 v0 /2 到 v0 3/2 O v0 间隔内的分子数；（4） 求分子的平均平动动能。
22
速率分布函数
N 1 N 1 dN f (v ) lim lim v 0 N v N v 0 v N dv
f (v )
dS
dN f (v )dv dS N
v
23
o v v dv
f (v ) 物理意义
表示在温度为 T 的平衡状态下，速 率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总 数的百分比 .即单位速率间隔内分子的分 布几率，---几率（概率）密度。
20
最概然速率vp
因为速率分布函数是一连续函数，若要求 极值可利用极值条件
df ( v ) 0 dv v v p
2kT 2 RT vp m M
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然速 率 v p 附近单位速率间隔内的相对分子 数最多.
21
2kT 2 RT vp m M
从上式可见 m 越小或 T 越大， vp 越大 。 图画出的两条麦克斯韦速率分布曲线中。最 概然速率 vP1＜vp2。
f ( x )dx f ( y )dy f ( x , y )dxdy
9
f（x，y）称为黑点沿平面位置的概率密度 函数，它表示在这一区域内黑点相对密集的程 度。f（x，y）dxdy 称为沿平面位置的概率分 布函数。
要求出处于x1到x2、y1 到y2内的概率，对 x、y 积分
y1
y2
x2
33
例3. 有 N 个粒子，其速率分布函数为: 1、作速率分布曲线。 2、由N 和vo求常量C。 f ( v) 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。 解：
C ( vo> v > 0) 0 ( v > vo )
0
f ( v) dv
vo
f ( v)
C
Cdv Cvo 1
13
Δv→0即得一条光滑的曲线
称为气体分子速率分布函数.
14
其纵坐标
dN f (v ) N dv
• 称为分子束速率分布概率密度函数。
• 在v 到 v+dv 速率区间内的细长条的面积就表示 分子速率介于v 到 v+dv 区间范围内的概率
dN dv Ndv
15
二、麦克斯韦速率分布律
• 1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理 想气体分子在三个方向上作独立运动的假设导 出了麦克斯韦速率公布，其表达式如下：
3kT v f v dv m
2
vrms
3kT m
3 RT M
mv / 2 3kT / 2
2
结果与从
得到的完全相同。
32
三种速率之比
v p : v : v 1 : 1.128 : 1.224
2
它们三者之间相差 不超过23%，而以 均方根速率为最大。 右图示意表示了麦 克斯韦速率分布中 的三种速率的相对 大小。
x1
f ( x , y )dxdy
x2 x1
y2 y1
f ( y )dy
f ( x )dx
10
• 有了概率分布函数就可求平均值。 • 例如，黑点的x方向坐标的平均值为
x
xf ( x )dx
x 的某一函数F（x）的平均值为
F ( x)
g( x , y )
26
v 附近 dv速率间隔内的分数：
应掌握下列两种图像
f ( v)
T1 300K T2 1200K
f ( v)
O2 H2
o
vp1 vp2
v
o
vpo vp H
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
同一温度下不 同气体的速率分布
27
讨论 1 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函 数 f ( v) . 求 （1） 速率在 vp ~ v 间的分子 数；（2）速率在 vp ~ 间所有分子动能 之和 .
5
然后以N /(Nx ) = f(x) 为纵坐标，以 x 为横坐 标，画出一根根竖条， 每根竖条的宽度为 x. 竖条面积才是粒子数所 占的百分比，即概率。 若令 x0 ，就得到一条连续曲线，这时的纵 坐标 f (x) 称为黑点沿 x 方向分布的概率密度， 表示黑点沿 x 方向的相对密集程度。
v1
N N
v2
v1
f (v )dv
25
注意： 分子速率分布是 “两头小，中间大”
曲线 下面积恒为1， 故温度增加时曲线变 得“扒下”。
f (v )
T1
T2 T1
T2
v
以上分布函数还可写成： v v dv 内的分子数占总分子数的百分比 还可写成：在
dN f (v )dv dN Nf (v )dv N