电磁场的数学物理基础

流之和是连续的，这也称为全电流连续性原理。 相应的位移电流为：
∂D ⋅ dS I d = ∫S J d ⋅ dS = ∫S ∂t
∂D ，称为位移电流密度。表明传导电流与位移电 ∂t
位移电流与传导电流一样，可以产生磁场。换一个角度讲， 可以将恒定磁场的安培环路定律推广到时变电磁场，相应的 数学表达式为：
0
= 240 cos ( 10 6 t − y ) − 240 cos 10 6 t − 4 . 8 (10 − 3 ) cos( 10 6 t − y )V
方法二：首先计算闭合回路中的磁通：
Φ = ∫ B ⋅ d S = ∫0 ∫0
y 0 . 06
4 cos( 10 6 t − y ) dxdy
∂D ∇ ⋅ (∇ × H ) = ∇ ⋅ ( J + ) ∂t
∂D ∇ ⋅ (J + )=0 ∂t
∂ρ ∇⋅J = − ∂t
对于线性、各向同性媒质，有媒质的本构关系：
D = εE = ε r ε 0 E
B = µH = µ r µ 0 H
J = σE
【例1】如图所示，一根导电棒可以在两条导电轨道上自由滑动， 计算导电棒上的感应电势， (1) 如果导电棒静止在y=8cm处，且B=az4cos106t mWb/m2； B a (2) 如果导电棒以速度v=20ay m/s滑动，且B=4az mWb/m2； v a B a (3) 如果导电棒以速度v=20ay m/s滑动，且B=az4cos（106t-y） v a B a mWb/m2。
∆s → 0
lim
∫ A ⋅ dl
c
∆S
= ( rot A ) ⋅ n
物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的 取向无关。 计算公式 ：
斯托克斯定理 ：
5.标量的梯度 5.标量的梯度
定义：标量场u在某点的梯度是一个矢量，其方向为u增加 最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u在该方向上 的增加率，即最大增加率。 物理意义：标量的梯度表示了标量 u 增加率的最大值 及方向。 计算公式： 标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的 投影，即
可见，结果与方法一的结果一致。
【例2】一个平行板电容器的极板面积为5cm2，两极板间距离为 3mm，外施电压为50sin103t V。假设介质的介电常数ε=2ε0，计 算两极板间的位移电流。 解：忽略边缘效应
∂D ε dV Jd = = ∂t d dt
d
V D = εE = ε d
因此，位移电流为： I 而传导电流为：
如果空间还存在库仑电荷，则库仑电荷产生的库仑电场 Ec 与静电场性质相似，是无旋场 ， 有散场 无旋场， 无旋场 有散场，只是场量随 时间变化。此时空间任一点的电场为感应电场与库仑电 场之和，即：
E = E c + E in
可得 ：
∂B ⋅ dS + ∫c v × B ⋅ dl ∫c E ⋅ dl = − ∫S ∂t ∂t
∫c H ⋅ dl = ∫S ( J + ∂D ) ⋅ dS ∂t
由斯托克斯定理，可以得到推广的安培环路定律的微分形 式：
∂D ∇× H = J + ∂t
即变化的电场可以产生磁场。这一问题的物理意义可以通过 下面的例子得到进一步的说明。
∫L H ⋅ d l = ∫S 1 J ⋅ d S = i
∫L H ⋅ dl = ∫S 2 J d ⋅ dS = i d
ε in = ∫ v × B ⋅ dl = ∫0.06 20a y × 4(10−3 )a z ⋅ a x dx = −4.8 m V
0
感应电势的参考方向仍然是从Q点指向P点。
(3)此时既存在随时间变化的磁场，又存在运动的媒 质,可以用两种方法求解 方法一：
ε in
∂B = − ∫S ( t ) ⋅ d S + ∫c v × B ⋅ d l ∂t 0 . 06 y = ∫0 ∫0 4 (10 − 3 )(10 6 ) sin( 10 6 t − y ' ) dy ' dx + ∫0 .06 [ 20 a y × a z 4 (10 − 3 ) cos( 10 6 t − y )] ⋅ a x dx
= Jd ⋅S =
ε S dV dV =C d dt dt
dρ s dQ dD dE εS dV dV I= =S =S = εS = =C dt dt dt dt d dt dt
− ∫S (t ) B(t + ∆t) ⋅ dS + ∫S (∆t ) B(t + ∆t) ⋅ dS + ∫S (t +∆t ) B(t + ∆t) ⋅ dS = 0
用泰勒公式展开为：
B (t + ∆t ) = B(t) + ∂B ∆t + L ∂t
略去二阶
以上的无穷小项，带入上式，得：
∂B −∫S(t)[B(t)+ ∆t]⋅dS+∫c B(t)⋅d l ×v(t)∆t +∫S(t+∆t) B(t +∆t)⋅dS =0 ∂t
证明：
6.矢量恒等式 6.矢量恒等式
7.亥姆霍兹定理 7.亥姆霍兹定理
定理：位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度 以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯 一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零， 则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
几个场的名称和性质 ：
保守场：场强沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。 无旋场： 旋度为零的矢量场叫做无旋场。 标量场的梯度 场是无旋场，如静电场。 无散场： 散度为零的矢量场叫做无散场。矢量场的旋度场 是无散场，如恒定磁场。 由亥姆霍兹定理可知，对矢量场的研究应从散度和旋度两 方面进行。散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分 方程，通量方程和环流方程组成了矢量场的基本积分方程 。
§1.2 时变电磁场的基本方程 时变磁场产生有旋、 1.时变磁场产生有旋、无散电场 时变磁场产生有旋
法拉第电磁感应定律 :
ε in
dΦ d =− =− ∫s B ⋅ n dS dt dt
式中，εin为感应电势，S为以闭合回路为边界的曲面，n 为S的单位法向量，Φ为穿过曲面S的磁通。它们之间的 关系如图1所示。式中的负号可由楞次定律说明，即感应 电流产生的磁场将抵抗原来磁场的变化 。
场的"场图" 2. 场的"场图"表示
对矢量场，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布， 称为力线或流线。力线上任意点的切线方向必定与该点的矢 量方向相同。 对标量场，用等值面图表示。空间内标量值相等的点集合形 成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等 高线等。
3.矢量的通量、散度 3.
∫c H ⋅ dl = ∫S J ⋅ dS
时变电磁场
∇× H = J
∂q ∫S J ⋅ dS = − ∂t
∇⋅J = 0
∂ρ ∇⋅ J = − ∂t
静电场中的高斯定理可以在形式上不加修改地应用于时变电 磁场，将其微分形式代入电荷守恒定律，得
∂D ) ⋅ dS = 0 ∫S ( J + ∂t
定义 J d =
y 0
= − 4 ( 0 . 06 ) sin( 10 6 t − y )
= − 0 . 24 sin( 10 6 t − y ) + 0 . 24 sin 10 6 t mWb
利用dy/dt=V，可得：
ε in
dΦ = − = 0 . 24 (10 6 − 20 ) cos( 10 6 t − y ) − 0 . 24 (10 6 ) cos 10 6 t mV dt = 240 cos( 10 6 t − y ) − 240 cos 10 6 t − 4 . 8 (10 − 3 ) cos( 10 6 t − y ) V
移项，可得：
∫S (t + ∆t ) B(t + ∆t ) ⋅ dS − ∫S (t ) B(t ) ⋅ dS = ∆t[ ∫S (t ) ∂B ⋅ dS − ∫c v (t ) × B(t ) ⋅ dl ] ∂t
由此可得：
∫c E in
∂B ⋅ d l = − ∫S ⋅ d S + ∫c v × B ⋅ d l ∂t
对应感应电势εin，存在感应电场Ein，且感应电势εin等于感 应电场Ein沿闭合回路的线积分，即：
ε in = ∫c E in ⋅ dl
可以看出，感应电场 Ein 沿闭合 回路的线积分不为零。换句话说， 感应电场为非保守场。 假设在随时间变化的磁场中， 闭合回路C以速度v在∆t的时间 间隔内位移了v∆t的距离，则 闭合回路中磁通的变化率为：
可知二者 应该相等 ，即传 导电流与 位移电流 之和是 连续的。
位移电流与传导电流产生的磁场性质相同，都是有旋场、无散 有旋场、 有旋场 场。因此，在时变电磁场中，磁通连续性原理仍然成立，即：
∫S B ⋅ dS = 0
3.麦克斯韦方程 麦克斯韦方程
∇⋅B = 0
全电流连续性方程和电荷守恒定律可以从推广的安培环路定 律和高斯定理的微分形式导出。
利用斯托克斯定理：
∂B ⋅ dS + ∫S ∇ × (v × B) ⋅ dS ∫S ∇ × E in ⋅ dS = − ∫S ∂t 曲面S是任意的,等号两边的积分核必须相等，即 ： ∂B ∇ × E in = − + ∇ × (v × B ) ∂t 感应电场的电场强度线是无头无尾的闭合曲线，它对任意闭 合曲面的面积分必然为零，或者说它的散度为零 （ ∇ ⋅ Din = 0 ）。可见，感应电场是有旋场，无散场 有旋场， 有旋场 无散场。
dΦ 1 = lim [∫S(t+∆t) B(t + ∆t) ⋅ dS(t + ∆t) − ∫S(t) B(t) ⋅ dS(t)] dt ∆t→0 ∆t
闭合回路C的一个线元dl也在∆t的时间间隔内位移了v∆t的 距离，它扫过一个面元，整个回路扫过一个侧面S（∆t）。 S（t），S（∆t）和S（t+∆t）构成一个闭合曲面，令其为 S0，则由磁通连续性原理，在t+∆t时刻，应有：
第1章 电磁场的数学物理基础
§1.1 矢量分析 1. 标量场和矢量场 标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q、电 流I、面积S 。 矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强 度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地 描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、 压力、密度等可以用标量场来表示。 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地 描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分 布等可以用矢量场来表示。
一个开表面上的面元， 其方向与围成该开表面 的闭合回路的方向呈右 螺旋关系。
一个闭合面上的面元，其 方向为该闭合面的外法线 方向。
通量定义：矢Biblioteka BaiduA沿某一有向曲面S的面积分为A通过S的通量， A S A S 即 。
物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。
散度定义：在矢量场A中，围绕 P 点做一闭合面，所围体积 A 为∆τ，若穿过闭合面的通量与之比的极限存在，则该极限称 为矢量场A在 P 点的散度,即 A
P 0
⊙
⊙
⊙
⊙
B
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
v
6cm
Q
解:(1) 可得：
ε in dΦ d =− =− ∫s B ⋅ n dS dt dt = ( 0 . 08 )( 0 . 06 ) 4 (10 − 3 )(10 6 ) sin 10 6 t = 19 . 2 sin 10 6 t V
图6-3 例6-1图
感应电势的参考方向是从Q点指向P点。 (2)由式（6-4），可得：
∂B ∇× E = − + ∇ × (v × B ) ∂t
由于感应电场是无散场，静电场中的高斯定理可以推广到 时变电磁场，且具有相同的形式，其积分和微分形式分别 为：
∫S D ⋅ dS = q
∇⋅ D = ρ
时变电场产生有旋、 2. 时变电场产生有旋、无散磁场
恒定磁场的安培环路定律不再适用于时变电磁场，因为它与 经实验证明的电荷守恒定律相矛盾: 恒定磁场
物理定义：包围单位体积闭合面的通量。 计算公式 ： 散度（高斯）定理 ：
矢量的环流、 4. 矢量的环流、旋度
定义：矢量A沿某一有向闭合曲线C的线积分为A沿C的环流， A C A C 即 物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源 的性质 。 矢量的旋度：在矢量场A中，围绕P点 A 做一闭合回路c，所围面积为∆S，其 法线方向单位矢量为n；A的旋度是矢 n A 量，其大小为∆S→0时环流面密度的 最大值，其方向为使环流面密度取最 大值时面元的法线方向，即