欠阻尼二阶系统的动态过程分析

sin(d t
)
(t 0)
依定义，令上求导式为零。得
dc(t ) dt |t t p 0
s1 =cos
j jd ωn 0
所以
ent p n 1 2
sin(dt p
)
0
-n s2
因为
entp n
0
1 2
有 sin d t p 0
即 dt p 0, ,2 ...
得
tp
d
n
1 2
ξ一定时，ωn越大，tp越小；ωn 一定时，ξ越大，tp越大。
-s2-5s-6=0稳定吗？
该系统不稳定
系统稳定的充分条件:
劳斯表第一列元素不变号!
有两个正实部根
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
特殊情况2： 劳斯表出现零行
设系统特征方程为： ① 有大小相等符号相反的
s4+5s3+7s2+5s+6=0
特征根时会出现零行
表 劳 s4 1 7 6
3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
阻尼比希望值为（0.4～0.8）
动态指标：tr 、 tp 、 p %、ts
（1）上升时间trc(t) 1
e nt
1 2
s in( d t
)
tg1
1 2
d n
1 2
依定义，令c(t)=1， c(tr ) 1
因为
entr
1 2
0
，有s in( d t
r
劳斯阵列
设系统的特征方程为
第D一(列s)符号a0改sn变的a1次sn数1 等a于2s特n征2 方..程. 正an实1部s 根a的n 个0数
sn a0
a2
a4
sn1 a1
a3
a5
s n2
c13
a1a2 a0a3 a1
c 23
a1a4 a0a5 a1
c 33
a1a6 a0a7 a1
s n3
c14
s0
sν表示开环有ν个极点在坐标原点
ν= 0 称为0型系统 ν= 1 称为Ⅰ型系统
ν= 2 称为Ⅱ型系统
1 注意！ 2
3
ν= 3 称为Ⅲ型系统
1.阶跃输入的稳态误差及静态位置误差系数
m
K(is 1)
lim[s 1R(s)]
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1)
ess
s0
K
lim s
若 lim c(t) 0 t
（渐近）稳定
若 lim c(t)
t
系统不稳定
若 lim c(t) A
t
临界稳定
非零常数
设若n阶全系部统特表征达根式有为负实部，则
(sl)im t
CcR(((tss)))
0ba00ssmn
b1s m 1 a1s n 1
（渐 近bamn）11ss 稳 ab定mn
例3.5 如图示，（1）求特征参数与实际参数的关系； （2）K=16，T=0.25，计算动态性能指标。
解：(1)
(s)
Ts2
K s
K
K /T s2 s/T K /T
R(s)
-
k
C(s)
s(Ts 1)
与典型二阶系统比较，得
1 T 2 n
K T n2
特征参数与实际参数的关系为 1
2 KT
n K T
解：劳斯表
s4
s3
s2
符号改变一次
s1
符号改变一次
s0
1
3
5
2
4
0
13
15
2
4 1 2
0 5
2
2
24
1 5 6 0
1 15
6 0 5
6
符号改变两次，s平面右侧有两个根，系统不稳定性。
劳斯(routh)判据小结
系统稳定的必要条件:
特征方程各项系数
全>0或全 有正有<负0一定不稳定! 缺项一定不稳定!
s0
i1
稳态误差
ess
lim s
1
R R
s0 1 G(s)H (s) s 1 KP
R
1 K
0
0 1
静态位置误差系数
Kp
lim
s0
G(s)H (s)
lim
s0
K s
K
0 1
阶跃输入要使稳态误差为零,必
须使用Ⅰ型或Ⅰ型以上系统,图示 0型系统有误差。
0时有差系统
2.斜坡输入的稳态误差及静态速度误差系数
G2(s)
H(s)
R(s) 1 Rˊ(s) H(s)
Eˊ(s) G(s)H(s) C(s)
En(s)=C希-C实= –Cn(s)H(s)
总误差怎么求？
计算误差公式
ess
lim e(t )
t
lim sE(s)
s0
该公式使用条件:
满足sE(s)在s右半平面及虚轴上解析的条
件，即 sE(s)的极点均位于s左半平面。
有
e nt
1
2
sin(d t
)
(t ts )
所以
ent
1 2
sin(d t
)
ent
1 2
即
取 =0.707得
因为ts
3.5
snin((d t=5% ))
1
e nt
1 2
(t ts )
通常用包络线代替实际曲线估算ts， c(t)
如右图一对包络线
ents
包络线 1
1
1
1 2
ln ln 1 2
t(s)
阶跃响应的稳态输出值
由超调量和峰值时间公式得
ln 2 2 ln 2
0.608
ln 2 2 ln 2
0.608
2n a n2 K2
得K2=24.46 , a=6.01。
3.5线性系统的稳定性分析
35.1 稳定性概念及定义
系统受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失后，又恢复到 平衡状态，称系统是稳定的。 线性系统的稳定性由系统的结构和参数决定，与初始条 件及外作用无关。
tp是阻尼振荡周期的一半
（3）超调量 p %
c(t) 1
ent
1 2
sin(d t
)
依定义将
tp
d
n
1 2
代入上式
得 c(tp ) 1
1 e / 1 2 sin( ) 1 e / 1 2 1 2
(t 0) (t 0)
最大超调量百分比为
p
%
c(t
p ) c() c()
100%
c13a3 a1c23 c13
c 24
c13a5 a1c33 c13
c 34
c13a7 a1c43 c13
第一列中各数符号相同系统稳定
s0 an
符号不同 系统不稳定
稳定的充要条件是劳思阵列第一列元素不改变符号
例3.12 特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 用劳斯稳定判据
判别系统稳定性。
s1,2=±j 由综合除法或比较系数法
可得另两个根s3,4= -2,-3
劳斯阵列出现全零行: 大小相等符号相反的实根 系统在s平面有对称分布的根
共轭虚根
对称于实轴的两对共轭复根
3.6 线性系统的稳态误差
3.6.1 误差的基本概念
•误差定义有两种方式：
误差定义
1)E(s)=C希-C实
2)E(s)=R(s)-B(s) 单位反馈时两种定义相同。
m
K(is 1)
lim[s 1R(s)]
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1) i1
ess
s0
K
lim s
s0
稳态误差
0
ess
lim
s0
s
1
G
1 (s)
H
(
s)
R s2
R Kv
R K 0
1 2
静态速度误差系数
0
Kv
lim
s0
sG(s)H (s)
理想有脉一冲个函或数一作个用以下上R正(s实)=1根,输或出实量部的为拉正氏的变共换轭为复根，其余
C有的(s)一根 个具(或有s)R一负(tls i个实)m以部cin1(上,t则()s零Ais实i ) 部 根q (，s 其s j余)K系r的im统(1s具(2不s有稳2z负i )定k实k s部 k2)
R(s) E(s) G(s) C(s) R(s) E(s) G(s) C(s)
B(s)
H(s)
输入端定义：
C(s)
误差E(s)=R(s)-C(s)
E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)
输出端定义：
Eˊ (s)=C希-C实=
R(s) H(s)
-C(s)
R(s) E(s) G1(s)
N(s) C(s)
e
1 2 100%
p% 仅与阻尼比ξ有关。
ξ越大， p %越小，系统 的平稳性越好.
ξ = 0.4~0.8 p %= 25.4%~1.5%。
（3）调整时间ts
c(t) 1
ent
1 2
sin(d t
)
单位阶跃响应进入± 误差带的最小时间。
(t 0)
依定义 c(t) c() c()
(t ts )
大范围稳定 小范围稳定
图示用曲线表示稳定性的概念和定义
r(t)
r(t)
C(t)
(a)外加扰动
C(t)
C(t)
(b)稳定
(c)不稳定 注意：仅适用于线性定常系统
3.5.2线性系统稳定的充要条件
稳定的条 系统件初始条件为零时，受到δ( t)的作用，输出 c(t)为
单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏 离平衡点的问题，当t→∞时，
77
劳斯表特点
斯 s3 0ε --88
1 右移一位降两阶
s2 ε2 +8 7ε
2 行列式第一列不动第二列右移
3 次对角线减主对角线
ε s1 -8(2 +8)-7ε 2 4 每两行个数相等
s0 7ε
5 分母总是上一行第一个元素
6 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε代替。
7 一行可同乘以或同除以某正数
当sE(s)在坐标原点有极点 时，虽不满足
虚轴上解析的条件，但使用结果与实际结
果一致，这时也可用此公式。
3.6.2系统型别 设开环传递函数G(s)H(s)=
k sν
注意：s → 0时，G0H0一定→1
m
∏(τ
i =1
is+1)
n -ν
∏j=1(Tjs+1)
G0H0
此时的k为开环增益
其实K lim sG(s)H (s)
② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s3 5 5
斯 s2 6 6
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1
s1 02 这是零行
继续计算劳斯表
s0 1
第一列全大于零,所以系统稳定
③ 解辅助错方啦程得!!对! 称根:
1 2 3
来自百度文库
劳 出 如 注 时 荡劳 系斯现，何 ，意斯统表求 而零 系：表一何对是行统纯出定时称怎不振虚现不会的么荡再根零稳出根办发为等行定现??幅散重零。振根行?
entr
1
)
2 sin(d
0
tr
)
1
j
即 dtr k (k 0,1, 2L )
取k=1,得
cos1
tr d
n 1 2
s1
jd
=cos ωn
0
-n
ξ一定时，ωn越大，tr越小 ωn一定时，ξ越大，tr越大
s2 欠阻尼二阶系统的特征参量
（2）峰值时间tp
c(t) 1
ent
1 2
(m≤n)
j 1
k 1
其中 0 k 1
qlim2 c (nt拉) 氏A反变换为
t
临界稳定
q
r
c(t)
Ajes jt
Bke kkt cos(k 1 k 2 )t
j 1
k 1
r
k 1
Ck Bk kk k 1 k2
e kkt
sin(k
1 k 2 )t (t≥0)
系统稳定的充分必要条件
系统特征方程的根全部具有负实部，即闭环系 统的极点全部在s平面左半部。
稳定的必要条件
特征方程 D(s) a 0sn a1sn1 ... a n1s a n 0
各项系数有相同的符 号，无零系数
稳定性与零点无关
s5
s3
s2 s1
j
s平面
O
s
4
s6
3.5.3 线性系统的代数判据
代数判据可以省略高阶系统求征特根带来的麻
烦。常用的代数判据有劳斯判据、赫尔维茨判据 等。
（2）K=16，T=0.25，得
0.25 n 8
将n 、 代入动态性能指标公式得
tr
d
0.24(s)
p % e / 1 2 100% 44%
tp
d
0.41(s)
ts
3.5
n
1.75(s)
( 0.05)
例3.7 系统及阶跃响应曲线如图 示,求K1、K2和a。
R(s) k1 _
ts
n
0
e- nt 1
1 2
包络线 T 1
n
e- nt 1
1 2
t
小结
1、二阶系统的动态性能由ωn和决定。 2、增加 降低振荡，减小超调量 p %， 系统快速性降低，tr、tp增加；
3、 一定，ωn越大，系统响应快速性越好， tr、tp、 ts越小。
4、 p %仅与有关，而tr、tp、ts与 、ωn有关，通 常根据允许的最大超调量来确定 。 一般选择 在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬 态响应时间。
重点
❖劳斯阵列 ❖劳斯(Routh)判据 ❖劳斯(Routh)判据的特殊情况
❖劳斯(Routh)判据的应用
1、劳斯稳定判据（劳斯表介绍）
设系统特征方程为：
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
s6 1 3 表 劳 s5 2 4
s4 1 2
57 6
(1(0(66－--6144)))///221===1-28
K2
C(s)
s(s a)
解：由图(b) 得 c() 2
(a)
tp
0.8(s) %
2.18 2 2
0.09
系统输出 C(s) (s) R(s) K1K2
s(s2 as
K2)
C(t) 2.18
2
c()
lim
s0
sC(s)
K1
(0)
得K1=2。是闭环传函在, s=0的值，即
0 0.8 (b)
稳 定 的 摆
不 稳 定 的 摆
不论扰动引起的初始偏差有 多大，扰动取消后，系统都能 够恢复到原有的平衡状态是大 范围稳定。
小扰动恢复到原平衡状态， 大扰动不能恢复到原平衡状 态，系统为小范围稳定。
线性系统，小范围稳定， 必然大范围稳定。
扰动消失后，输出与原平衡 状态间存在恒定的偏差或输出 维持等幅振荡，系统处于临界 稳定状态。 经典控制论中，临界稳定视 为不稳定。