金融数学——收益率 课件

≈ A0 (1 + i ) + ∑ t Ct [1 + (1 − t ) i]
= i[ A0 + ∑ t Ct (1 − t )] + ( A0 + ∑ t Ct ) ≈ A1
i≈
A1 − ( A0 + ∑ t Ct ) A0 + ∑ t Ct (1 − t )
=
I A0 + ∑ t Ct (1 − t )
资金流出 10 1 1 1 1 1 15
4 4 4 4 4 20
多重收益率情况下的净现值 思考：当收益率不惟一时，无法用收益率比较投资项目的 优劣。那么，是否可以用净现值比较呢？ 回答：不行。当收益率不惟一时，净现值不再是利率的单 调递减函数。 例：某人在第一年初向一基金投资1000元，在第一年末， 他抽走年初投资的1000元本金，并从该基金中借出1150 元，在第二年末，他向该基金偿还了1155元清帐。试计算 该项投资的收益率。
A0 (1 + i) + ∑ t Ct (1 + i)(1−t ) = A1
解此方程即可求得收益率 i
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币值加权收益率：近似计算
• 对于不足一个时期的新增投资，用单利代替复利，即令 (1 + i ) (1−t ) ≈ 1 + (1 − t )i 则期末累积值可表示为
A0 (1 + i ) + ∑ t Ct (1 + i) (1−t )
时间加权收益率（time-weighted rates of interest）
• 币值加权收益率： – 受本金增减变化的影响。而本金的增减变化由投资者 决定。 – 可以衡量投资者的收益，但不能衡量经理人的经营业 绩。 • 时间加权收益率：扣除了本金增减变化的影响后所计算的 一种收益率。 衡量经理人的业绩。
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解：该题的资金净流入可列示如下： 时间： 净流入： 0 –1000 1 2150 2 –1155
假设收益率为i，则根据题意可建立下述方程： –1000+ 2150(1 + i)–1 – 1155(1 + i)–2 = 0 上述方程两边同时乘以(1 + i)2，并变形可得：
5[20(1 + i ) − 21][10(1 + i ) − 11] = 0
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3. 基金的利息度量：
币值加权收益率(dollar-weighted yield rate )
• 基金的利息度量(Interest measurement of a fund) ： – 币值加权收益率(dollar-weighted yield rate )：投资者 – 时间加权收益率(time-weighted yield rate )：经理人
100(1 + i) 2 + 132 = 230(1 + i) (1 + i ) 2 − 2.3(1 + i ) + 1.32 = 0
因式分解得
[(1 + i ) − 1.1][ (1 + i ) − 1.2] = 0
解得 i = 10% 或 i = 20% 。
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收益率唯一性的条件 准则一：计算资金净流入，如果资金净流入只改变过一次 符号，收益率将是惟一的。 准则二：用收益率计算资金净流入的累积值 ，如果始终 为负，直至在最后一年末才为零，那么这个收益率就是惟 一的。 （见下页例，收益率为9.98396% ）
(1 + i ) 2 − 2.3(1 + i) + 1.33 = 0
由于 2.32 − 4 × 1.33 = −0.03 ，因此该方程无实数解，不存 在收益率。
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100 230
132
Example（不唯一）：Consider a transaction in which a person makes payments of $100 immediately and $132 at the end of two years in exchange for a payment in return of $230 at the end of one year. 解：价值方程为 100 + 132v 2 = 230v
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解: （1）贷款在10年末的累积值为
1000 × 1.0910 = 2367.36
价值方程：
1000 × (1 + i )10 = 2367.36
i＝9％
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（2）所有付款在第10年末的累积值为
1000 + 90s10|0.07 = 1000 + 90(13.8164) = 2243.48
价值方程：
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• 存在的问题：在短期内，简单易行。如果投资期限较长， 收益率波动较大，可能存在问题。 • 例： – 假设：基金在最近3年的平均年收益率为8％， – 当年的收益率达到了10％， – 如果对新投资者仍然以8％分配收益， – 结果：可能会使其放弃对该基金的投资，或者不能吸 引更多的新投资者。 • 如何解决？用投资年度方法分配收益。
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（2）如果令净现值等于零，即 −20 + 5 ⋅ a5| = 0 可以计算出该项目的收益率为7.93%， 大于A所要求的收益率（7%），可行 小于B所要求的收益率（8%），不可行
5
例：下面的投资项目哪个更加有利： A）投资5年，每年的收益率为9％ B）投资10年，每年的收益率为8％ 解：无法比较。项目A结束后，可以再投资5年，这时需要 考虑再投资的收益率。 结论：使用收益率来比较各种投资方案只有当所有方案的 的投资期限都相同时才有效。
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投资年度法(investment year method)
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币值加权收益率：精确计算
• 假设：期初的本金为A0，在时刻t的新增投资为Ct，投资收 益率为i，在期末的累积值可表示为（仅考虑一个时期）
A0 (1 + i) + ∑ t Ct (1 + i)(1−t )
注：时刻t的新增投资额Ct 产生收益的时间长度为(1 – t) 注：Ct > 0表示增加投资； Ct < 0表示减少投资。 用A1表示期末的累积值，则有
⇒ i = 7.01%
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例：有一笔1000万元的贷款，期限为10年，年实际利率为 9%，有下面三种还款方式： 本金和利息在第10年末一次还清； 每年末偿还当年的利息，本金在第10年末归还。 在10年内每年末偿还相同的金额。
�
假设偿还给银行的款项可按7％的利率再投资，试比较在这 三种还款方式下银行的年收益率。
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投资组合法(portfolio methods)
• 适用情况：基金的收益率水平一直保持恒定 • 方法：按照基金的平均收益率，以及每个投资者的投资额 和投资时间，向每个投资者分配利息收入。 • 例：如果基金的收益率一直保持在6%的水平，某个投资 者的投资额是10000元，存入基金的时间是9个月，那么 应该分配给他的利息收入应该是 10000(1 + 0.06)0.75 – 10000 = 446.71（元）
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币值加权收益率：简单近似
• 假设：本金在当期的变化是平稳的。 • 符号（仅考虑一个时期） – 期初的本金余额：A0 – 期末累积值：A1 – 当期产生的利息： I – 期末的本金余额：(A1 – I) – 当期的平均本金余额：(A0 + A1 – I )/2 • 当期的收益率可近似表示为
I 2I i≈ = ( A0 + A1 − I ) / 2 A0 + A1 − I
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对近似公式的解释：
i≈
I A0 + ∑ t Ct (1 − t )
（1）分母是加权平均本金余额，以本金产生利息的时间长度 为权数。 （2）如果进一步假设新增投资发生在期中，即t = 0.5，则
i≈
2I 2I 2I = = = A0 + ∑ t 0.5Ct 2 A0 + ∑ t Ct A0 + ( A0 + ∑ t Ct ) A0 + ( A1 − I )
收益率 Yield Rate
孟生旺 中国人民大学统计学院
1
1. 现金流分析
问题：已知一个项目的现金流，如何评价其收益的好坏？ 方法一：净现值法（net present value，NPV）
n
NPV (i ) = ∑ v t Rt = 资金流入的现值－资金流出的现值
t =0
净现值大于零，表示项目有利可图。 净现值越大，表示项目的收益越好。
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时间加权收益率（i）的一般公式
期初的本金为A0。新增投资为Ck（k = 1, 2, …, n）, 累积值为Ak 。在期末T 的 累积值为AT
(1 + i )T = (1 + j1 )(1 + j2 )⋯ (1 + jn +1 )
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5. 收益分配
• 问题： – 基金是由不同的个体投资者组成。 – 在每个年度末，如何把基金的利息收入分配给每个投 资者？ • 分配方法： – 投资组合法 – 投资年度法
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5
−10 − v + 3∑ vt + 4v 6 = 0
t =2
投资项目的资金流出和资金流入 资金流入 资金净流入R t −10 −1 3 3 3 3 4 5 资金净流 入的累积 值 –10.00 –10.91 –8.43 –6.17 –4.12 –2.26 0
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年度 0 1 2 3 4 5 6 合计
t =0
收益率越大，表示项目的收益越高。
3
例: 如果期初投资20万元，可以在今后的5年内每年末获得 5万元的收入。假设投资者A所要求的年收益率为7%，投 资者B所要求的年收益率为8%，试通过净现值法和收益率 法分别分析投资者A和投资者B的投资决策。 解：（1）该项目的净现值为 −20 + 5 ⋅ a5| 按A所要求的收益率7%计算，净现值为0.5万元，大于 零，可投资。 按B所要求的收益率8%计算，净现值为 –0.036万元， 小于零，不可投资。
I
这就是前述最简单的一个近似公式。
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投资期限超过1年的情形
• 已知投资期是从0到n，第n期末的累积值为An 。第j期的新 增投资为Cj ，在复利方式下，第n期末的累积值为
An = A0 (1 + i ) n + ∑ C j (1 + i ) n − j
j
• 通过数值方法可以解出币值加权收益率 i。 • 注：当 n − j > 1 时，不能使用单利假设来近似计算。
2
方法二：收益率法 当资金流入的现值与资金流出的现值相等时，所对应 的利率 i 称为收益率（yield rate）或 内部报酬率 （internal rate of return，IRR） 资金流入的现值与资金流出的现值之差就是净现值， 所以收益率也是使得净现值为零的利率：
n
NPV (i) = ∑ vt Rt = 0
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• 如果假设新增投资是连续的，即Ct 是 t 的连续函数。用At 表示时刻 t 的累积值，则
At = A0 (1 + i ) + ∫ C s (1 + i ) t − s ds
0
t
t
• 解释：在时刻 t 的累积值等于初始本金积累 t 个时期，加 上源自文库增投资 Cs 积累到时刻 t。
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4. 基金的利息度量：
�
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2. 再投资收益率
再投资：投资收入按新的利率进行投资。 例：考虑两种可选的投资项目 A）投资5年，每年的利率为9％ B）投资10年，每年的利率为8％ 如果两种投资在10年期间的收益无差异，计算项目A在 5年后的再投资收益率应为多少？
(1 + 0.09)5 (1 + i )5 = (1 + 0.08)10
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收益率的唯一性
�
思考：对于一组确定的现金流，它的收益率是否总是存在 且唯一？
�
答案：由于收益率是高次方程的解，所以有可能不存在， 也可能存在但不唯一。
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例（不存在）： R0 = −100, R1 = 230, R2 = −133 ，求收益率。 解: 净现值为
NPV (i ) = −100 + 230v − 133v 2
1000(1 + i )10 = 2243.48
i=8.42%
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（3）所有付款在第10年末的累积值为
⎡ 1000 ⎤ ⎢ ⎥ s10|0.07 = (155.82)(13.8164) = 2152.88 ⎢ ⎣ a10|0.09 ⎥ ⎦
价值方程：
1000(1 + i )10 = 2152.85
i=7.97%
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�
所以 20(1 + i) – 21 = 0 10(1 + i) – 11 = 0
� �
从此可以求得两个不同的收益率：5%和10%。 项目的净现值如下页图示。
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如果投资者要求 5%以下的收益率，净现值小于零，项目不可行。 � 如果投资者要求 5%~10%的收益率，净现值大于零，项目又是可行的！ � 如果要求10%以上的收益率，净现值小于零，项目又不可行。