事件的概率及其性质
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第一步有n种方法，第二步有m种方法，
则完成这件事共有n×m种方法。
排列公式
(1)有重复排列 在有放回选取中， 其总数为
从n个不同元素中
取r个元素进行排 列，称为有重复排
nr
列
（2）选排列
在无放回选取中， 其总数为
从 n 个不同元素 中取 r 个元素进行 排列，称为选排列
Pnr
n(n 1)
(n r 1)
3 C727C1200C1100
3 27! 7!10!10!
P( A) nA n
P(B) nB n
例4 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：
A ={ 5 颗骰子不同点 }；
B ={ 5 颗骰子恰有 2 颗同点 }；
C ={ 5 颗骰子中有 2 颗同点，
另外 3 颗同是另一个点数}．
解：
求下列个事件的概率：
（1） A=“指定的n 个盒子中 各有一只球”
（2） B=“每个盒子 至多有一只球”
P(A)=?
n!
P( A)
Nn
P(B)=？
P(B)
C
n N
n
!
PNn
Nn Nn
（3） C=“指定的一个盒子中 P(C)=?
恰有k 只球”
P(C )
C
k n
(N
1) n k
Nn
例3： （分组问题） 30名学生中有3名运动员，
P(
A)
k n
A中样本点的个数
中样本点的个数
事件
发生的可能性
概率
必然事件Ω
100%
P(Ω)=1;
不可能事件Φ
0
不确定事件A 大于0而小于1
P(Φ)=0
0＜P A＜ 1
排列组合原理
1）加法原理：完成某件事有两类方法，
第一类有n种，第二类有m种， 则完成这件事共有n+m种方法。
2）乘法原理 完成某件事有两个步骤，
将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。
设：A=“每组有一名运动员” B=“3名运动员集中在一个组”
n
C C C 10 10 10 30 20 10
10!
30! 10!
10!
nA
3
2
1
C
927C198C
9 9
3!27! 9! 9! 9!
nB
次品
正品
解：
p
C
k M
C
nk NM
C
n N
2） 有放回抽样
P
C
k n
M
k
(N
M
)nk
Nn
C
k n
M N
k
1
M nk N
从正整数1、2、…、N中有放回地抽取n个数， 求抽到的最大数恰好是k的概率
解：“所取数不大于k”与
“所取数不大于k-1”的差额即“所取数的最大者k
k n (k 1)n
n 65;
nA P65 ; nB C52 6 P53 ;
PA P65
65
P
B
C
2 5
6
PFra Baidu bibliotek3
65
nC C52 6 5;
PC C52 6 5
65
例5 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中任
取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?
1） 不放回抽样
p
Nn
概率的古典定义的局限性
概率的古典定义具有可计算性的优点,但它 也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本 空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就 不适用了.
把有限个样本点推广到无限个样本点 的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了 确定概率的另一方法 ——几何方法.
问题1.如果在一个5万平方公里的海域里有表面
记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，
不放回地摸n次。 设Ak={ 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求P(Ak)
解：
P( Ak
)
a(a b 1)! (a b)!
a
---结果与k无关
ab
例 2 （分球入盒） 将 n只不同的球随机的放入
N (N n) 个有编号的盒子中去，设每盒容球个数不限,
雅各布·伯努利
• （Jakob Bernoulli，1654 年12月27日－1705年8月16 日）数学家。被公认的概率 论的先驱之一。
• 较早阐明随着试验次数的增 加，频率稳定在概率附近。
概率的统计定义
• 定义1.2.2 • 在一定条件下，重复做n次试验，k为n次试验
中事件A发生的次数， • 如果随着n逐渐增大，频率k/n逐渐稳定在某
频率 frequency
• 定义1.2.1
• 在相同的条件下，进行了n次试验，
• 在这n 次试验中，
• 事件A 发生的次数nA 称为事件A 发生的频数。 • 比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A).
频率的性质:
1 0 f n( A) 1 ;
2 f n ( ) 1;
3 若A1 , A2 , , Ak是两两互不相容事件，则
一数值p附近， • 则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，
记做P(A)=p。
古典试验
如果一个试验满足两条：
（1）有限性
试验只有有限个基本结果
（2）等可能性
试验的每个基本结果出现的 可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
概率的古典定义
• 定义1.2.3
• 对于古典试验E中的事件A, 它的样本空间为 • Ω＝｛ω1，ω2，…，ωn｝ ， • 它的概率定义为：
f n ( A1 A2 Ak) f n( A1) f n( A2) f n( Ak)
抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表 ：
正面次数m
抛掷次数
频率
（m为频数）
n
（ m/n ）
1061
2048
0.5181
2048
4040
0.5069
6019
12000
0.5016
12012
24000
0.5005
积达40平方公里的大陆架储藏着石油，假如在这海域 里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？
问题2.某人发现他的表停了,他打开收音机,
想听电台报时,试求它等待的时间不超过10分钟 的概率.
组合公式
3）组合： 从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考虑其 顺序，称为组合，其总数为
C
r n
n(n
1) (n r!
r
1)
n! r!(n
r )!
古典概率的常用的几种类型：
• 1 抽球问题 • 2 分球入盒问题 • 3 分组问题 • 4 随机取数问题等
讲讲练练
例1: (抽球问题)一袋中有a个红球，b个白球，
14984
30000
0.4996
36124
72088
0.5011
结论：大量重复试验，出现正面频率接近50%。
频率的稳定性
大量的实践表明，在重复试验中，事件A 发生的频率 fn(A)总在一个常数值附近摆动， 而且，随着重复试验次数 n 的增加，频率的 摆动幅度越来越小. 观测到的大偏差越来越稀 少 ，呈现出一定的稳定性.
则完成这件事共有n×m种方法。
排列公式
(1)有重复排列 在有放回选取中， 其总数为
从n个不同元素中
取r个元素进行排 列，称为有重复排
nr
列
（2）选排列
在无放回选取中， 其总数为
从 n 个不同元素 中取 r 个元素进行 排列，称为选排列
Pnr
n(n 1)
(n r 1)
3 C727C1200C1100
3 27! 7!10!10!
P( A) nA n
P(B) nB n
例4 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：
A ={ 5 颗骰子不同点 }；
B ={ 5 颗骰子恰有 2 颗同点 }；
C ={ 5 颗骰子中有 2 颗同点，
另外 3 颗同是另一个点数}．
解：
求下列个事件的概率：
（1） A=“指定的n 个盒子中 各有一只球”
（2） B=“每个盒子 至多有一只球”
P(A)=?
n!
P( A)
Nn
P(B)=？
P(B)
C
n N
n
!
PNn
Nn Nn
（3） C=“指定的一个盒子中 P(C)=?
恰有k 只球”
P(C )
C
k n
(N
1) n k
Nn
例3： （分组问题） 30名学生中有3名运动员，
P(
A)
k n
A中样本点的个数
中样本点的个数
事件
发生的可能性
概率
必然事件Ω
100%
P(Ω)=1;
不可能事件Φ
0
不确定事件A 大于0而小于1
P(Φ)=0
0＜P A＜ 1
排列组合原理
1）加法原理：完成某件事有两类方法，
第一类有n种，第二类有m种， 则完成这件事共有n+m种方法。
2）乘法原理 完成某件事有两个步骤，
将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。
设：A=“每组有一名运动员” B=“3名运动员集中在一个组”
n
C C C 10 10 10 30 20 10
10!
30! 10!
10!
nA
3
2
1
C
927C198C
9 9
3!27! 9! 9! 9!
nB
次品
正品
解：
p
C
k M
C
nk NM
C
n N
2） 有放回抽样
P
C
k n
M
k
(N
M
)nk
Nn
C
k n
M N
k
1
M nk N
从正整数1、2、…、N中有放回地抽取n个数， 求抽到的最大数恰好是k的概率
解：“所取数不大于k”与
“所取数不大于k-1”的差额即“所取数的最大者k
k n (k 1)n
n 65;
nA P65 ; nB C52 6 P53 ;
PA P65
65
P
B
C
2 5
6
PFra Baidu bibliotek3
65
nC C52 6 5;
PC C52 6 5
65
例5 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中任
取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?
1） 不放回抽样
p
Nn
概率的古典定义的局限性
概率的古典定义具有可计算性的优点,但它 也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本 空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就 不适用了.
把有限个样本点推广到无限个样本点 的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了 确定概率的另一方法 ——几何方法.
问题1.如果在一个5万平方公里的海域里有表面
记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，
不放回地摸n次。 设Ak={ 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求P(Ak)
解：
P( Ak
)
a(a b 1)! (a b)!
a
---结果与k无关
ab
例 2 （分球入盒） 将 n只不同的球随机的放入
N (N n) 个有编号的盒子中去，设每盒容球个数不限,
雅各布·伯努利
• （Jakob Bernoulli，1654 年12月27日－1705年8月16 日）数学家。被公认的概率 论的先驱之一。
• 较早阐明随着试验次数的增 加，频率稳定在概率附近。
概率的统计定义
• 定义1.2.2 • 在一定条件下，重复做n次试验，k为n次试验
中事件A发生的次数， • 如果随着n逐渐增大，频率k/n逐渐稳定在某
频率 frequency
• 定义1.2.1
• 在相同的条件下，进行了n次试验，
• 在这n 次试验中，
• 事件A 发生的次数nA 称为事件A 发生的频数。 • 比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A).
频率的性质:
1 0 f n( A) 1 ;
2 f n ( ) 1;
3 若A1 , A2 , , Ak是两两互不相容事件，则
一数值p附近， • 则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，
记做P(A)=p。
古典试验
如果一个试验满足两条：
（1）有限性
试验只有有限个基本结果
（2）等可能性
试验的每个基本结果出现的 可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
概率的古典定义
• 定义1.2.3
• 对于古典试验E中的事件A, 它的样本空间为 • Ω＝｛ω1，ω2，…，ωn｝ ， • 它的概率定义为：
f n ( A1 A2 Ak) f n( A1) f n( A2) f n( Ak)
抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表 ：
正面次数m
抛掷次数
频率
（m为频数）
n
（ m/n ）
1061
2048
0.5181
2048
4040
0.5069
6019
12000
0.5016
12012
24000
0.5005
积达40平方公里的大陆架储藏着石油，假如在这海域 里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？
问题2.某人发现他的表停了,他打开收音机,
想听电台报时,试求它等待的时间不超过10分钟 的概率.
组合公式
3）组合： 从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考虑其 顺序，称为组合，其总数为
C
r n
n(n
1) (n r!
r
1)
n! r!(n
r )!
古典概率的常用的几种类型：
• 1 抽球问题 • 2 分球入盒问题 • 3 分组问题 • 4 随机取数问题等
讲讲练练
例1: (抽球问题)一袋中有a个红球，b个白球，
14984
30000
0.4996
36124
72088
0.5011
结论：大量重复试验，出现正面频率接近50%。
频率的稳定性
大量的实践表明，在重复试验中，事件A 发生的频率 fn(A)总在一个常数值附近摆动， 而且，随着重复试验次数 n 的增加，频率的 摆动幅度越来越小. 观测到的大偏差越来越稀 少 ，呈现出一定的稳定性.