几何晶体学基础(超详细)清华

按对称的定义，在平移对称元素的作用下晶体的微 观图形应该是自身重复的。若沿t1 ，t2 ，t3 方向平移， 图形将重复，这意味着周期排列的原子分布图像应该 是一个无限的点阵形式，通常引入“空间点阵”这一 几何形象来描述晶体的平移对称特征。 平移对称元素是晶体的特征对称元素，所谓晶体系 指其原子(离子、分子)间存在着严格确定的平移对称元 素。由于它的存在限制了在晶体中(结晶多面体与微观 结构)允许存在的对称元素的形式。近年来发现的 “准 晶体”则是不具有“平移对称元素”的另一种固体存 在形式。
若移置图形的对应点 连线垂直于平面并被平分， 且互为对映镜像，称为平 面反映移置，由它联系的 两个图形互为对映相等 (图)，此类移置称为第二 类移置。如图中的定向四 面体：
2 点反射(倒反)
被移置图形的对 应点连线被一点(反 射点)平分，二图形 互呈对映镜像(图)， 为第二类移置。
3 旋转
相 等 图 形 (A 与 A´) 中 的 对 应 点 连 线垂直于旋转轴(N) 且与轴呈相等距离， 处于同一平面内， 称为第一类移置。 呈迭合相等图形。
3.1 对称轴 N(1、2、3、4、6)
3.2 对称面 m
对称面是晶体中的一个平面，它使得处于该面相反两侧的两 部分图形互呈对映相等关系。其国际符号为m，图示符号为－ (垂直于平面)或 ┑(平行于平面)。
3.3 对称中心(-1)
晶体内的某一点，如果在该点的相反两侧晶面成对出现，每 对晶面的大小相等且相互平行，且距该点等远，称该点为对称 中心或倒反中心。国际符号为-1，图示为о
假定以不在一个平面上的3个矢量t1 t2 t3作为描述图 像周期排列特征的量，那么在晶体结构上存在的周期 性含义是：若以M表示晶体的某一状态(几何的、物理 的)，r表示晶体内某一点的位置，则有： M(r)＝M[r+(m1t1+m2t2+m3t3)]
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式 中 m1 、 m2 、 m3 为 整 数 。 上 式 表 示 在 r 处 与 在 r+(m1t1+m2t2+m3t3)处的状态是相同的(即对称的)。因 此，反映物质图像周期性这一对称性质可以用t1 t2 t3 3个矢量组成的一个平行六面体来描述。这些平移矢量 就是晶体的特征对称元素，简称平移，记为T。在晶 体中允许出现的平移矢量有七种：t1、t2、t3、(t1+t2)/2、 (t2+t3)/2、(t1+t3)/2、(t1+t2+t3)/2
几何晶体学基础
吕扬 郑启泰
中国医学科学院药物研究所 国家药物及代谢产物分析研究中心
2005年9月20日
目 录
一 二 三 图形移置 图形对称 晶体中的对称元素 1 晶体与非晶体 2 晶体的特征对称元素 3 晶体的宏观对称元素 4 晶体的微观对称元素
四
有限图形与无限图形的对称元素组合定理 1 概述 2 基本组合定理 3 对称群及其表示(几何学，代数学)
4.2 螺旋轴 Nt(21;31,32;41,43,42;61,65,62,64,63) 螺旋轴是这样的一类对称元素，它包括有两 步对称操作—绕轴的旋转和沿轴方向上的平移 (图)，点A绕轴旋转(2π/ n)角度后到达虚拟点A´ 处，依次沿轴方向移动距离t到达点A´´，联系 A与A´´的对称元素称为螺旋轴。同样由于晶体 宏观对称元素的限制，螺旋轴所含的平移分量t 仅能取特定的值。表列为晶体中存在的螺旋轴。 如图所示为通关分子间存在的二次轴。
5 平移
图形从起始位置 按给定周期移置， 该移置称为平移， 相关联的图形为叠 合相等，属第一类 移置。
6 滑移反映
移置含有两个步 骤: 图形先经平面反 映，相继进行平行 于平面的平移，该 移置称为滑移反映 移置。相等图形互 呈对映相等，属第 二类移置。
7 螺旋旋转
包含两个移置步骤： 先 绕 N 轴 旋 转 2π/N ， 然后在沿N轴方向平 移 t/N(t 为 整 数 ， 等 于 (N-1)/N)，该移置称为 螺旋旋转移置，相关 的图形为叠合相等， 属第一类移置。
4.1 旋转反映
图形移置包含两个 步骤：先进行以N为 轴的旋转(2π/N)，然 后再以垂直于N轴的 平面进行反映(图)， 该移置称为旋转反映。 由此关联的图形呈对 映相等，属第二类移 置。
4.2 旋转反射
图形移置包括两个步 骤，先进行以N为轴的 旋转(2π/N)，然后再以 轴上的一点倒反(图)， 该移置称为旋转反射。 由此关联的图形呈对映 相等，属第二类移置。 且所有连接对应点的线 段均被倒反中心平分。
若一个图形可分为若干个相等部分，经移 置后能自身重复，同时图形中含有不动的几 何元素(点、线、面)，则称该图形具有对称 性。不动的几何元素就称为对称元素。在传 统的几何晶体中可概括为：对称轴N、对称 面m、反轴-N、对称中心-1、平移T、螺旋 轴Nt与滑移面mt，字母所示为相应的国际通 用符号。
3 对称操作与对称变换
三 晶体中的对称元素
1 晶体与非晶体
自然界中的各种元素以及由它们形成的各类化合物， 通常以三种聚集态出现：固态、液态、气态。以固态 形式存在的物质是由原子(或离子、分子)在三维空间 的堆积形成。如果原子(或离子、分子)是按照一种确 定的方式在三维空间做严格的周期性的排列，即相隔 一定的距离(即周期)重复出现，这样的物质称为单晶 体，如：食盐、糖、水晶等，一般称之为晶体；如果 原子(或离子、分子)在空间的分布不具备这种严格的 周期规律就称为非晶体，如：玻璃、塑料、松香、陶 瓷等。
2 晶体的特征对称元素-平移
晶体，作为一种几何图形，一方面它将表现 出一般几何图形所具有的对称元素，另一方面 也将具有其特殊的对称元素。 1784年阿羽依在研究方解石性质时曾认为： 晶体可能是由一些“微粒”重复排列而成。 1912年劳厄的X射线衍射实验证实了晶体是由 原子按照严格的周期排列规律而成。
3.1 对称操作
如图所示(正三角形、正 方形)几何图形经过某一对 称元素操作后，图形自身重 复，此操作称为对称操作。 在完成几何图形的对称操作 过程中，图形中任意两点间 的距离不变。如果几何图形 在移置中至少有一点不动， 则称为点操作；否则称为空 间对称操作。
3.2 对称变换
如果将图形抽象为一个几何点，并且引入一个参考 系(坐标系)，使坐标轴(系)与对称元素形成一定的联 系。如包含3(或6)次轴的坐标系，要求3(或6) 次轴平 行于坐标系的Z轴。此时一个几何图形的对称操作(几 何 学 ) 就 表 现 为 在 OXYZ 坐 标 系 中 ， 诸 点 间 (A→A´→A´´→A´´´)的变换，这一变换的特点不是 以图形表示而是以他们在坐标系中的点位置(xyz)， (x´y´z´)来形成一个点系，并以符号的形式记录下这 一对称操作过程，称之为对称变换。它是实正交变换 中的一个重要内容。相应于图形(晶体)对称操作的点 系对称变换是掌握实正交变换的一个经典实例。
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4 晶体微观对称元素
在晶体的微观结构中所表现出的对称性称为 微观对称。其对称元素包括前面叙述过的对称 轴、对称面、对称中心、反轴(它们自然也存在 于微观结构中)，称为闭合性对称元素；尚存在 平移以及与平移对称元素相关的新的对称元素 －滑移面与螺旋轴。称为开放性对称元素，表 明微观对称图形是不闭合的。
4.1 滑移面 m(a、b、c、n、d)
为叙述方便，我们将组成晶体微观结构对称图形的 诸相等部分，用一组等效的点来取代。滑移面是这样 的一个对称元素，它包括两步操作—反映与平行于反 映面的平移。点A首先通过反映操作至虚拟点A1处， 再沿某一方向滑移(平移)距离t到达A´点，联系A与A´ 的对称元素称为滑移面。由于晶体宏观对称元素的限 制，滑移分量t仅取特定的数值。表列为存在于晶体微 观结构中的a、b、c、n、d五种滑移面的符号。晶态 下的有机分子，通常出现的滑移面为a、b、c、n，但 有时也出现d滑移面。
3 晶体的宏观对称元素
在晶体的宏观观察(目测或显微镜)中所表现的对称 性称为宏观对称性或外形对称性。显然，晶体的外 形是一幅有限的闭合的几何图形，并以晶面、晶棱、 顶点这些几何要素描述它的形态特征。晶体的宏观 对称中允许存在的对称元素仅有对称轴、对称面、 对称中心、反轴四类，统称为宏观(或闭合性)对称元 素。反映在晶体外形上的对称性质与其在微观结构 上的对称性质彼此应该是相容的，并且也是互相制 约的。晶体的特征对称元素—平移的存在限制了在 晶体中可以出现的对称轴次仅有1、2、3、4、6等五 种，这就是晶体学中的“对称定律”。
8 恒等(不动)移置
为绕N轴旋转2π(即不动)的移置。显见为第 一类移置。 第一类移置：包含平移，旋转(含恒等)，螺 旋旋转，图形为迭合相等；第二类移置：倒 反，平面反映，旋转反映，旋转反射，滑移 反映，图形为对映相等。
二 图形的对称
1 图形的对称特征
任何一个对称图形可分为若干个相等部分；而且 在图形移置中包含有至少一个不动的几何元素(点、 线、面)。则对应的几何元素定义为：倒反(对称中 心)、对称面(反映面)、对称轴、反轴、平移、螺旋 轴、滑移面共七类。
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3.4 反轴 -N（-3,-4,-6）
反轴是这样的轴，首先围绕该轴旋转(2π/Ｎ)，并通过轴上 的一个点倒反，下表为各次反轴的国际符号、图示符号及对 称操作。因为一次反轴为对称中心，二次反轴为对称面，所 以在晶体学中存在的独立反轴只有-3、-4、-6三个。由图可见： -3包含了一个三次对称轴和一个对称中心[记为-3(3＋-1)]，-6 包含了一个3次轴和垂直于它的对称面[记为-6 (3/m)]，-3、-6 两个反轴又称为复合对称元素，而-4则为单一对称元素。
四 有限图形(宏观)的对称元素组合 定理
每种晶体都具有确定的对称性，其原子(离子、分子) 在空间的分布都与确定的对称元素相联系，那么这些 有限种类的对称元素在为数众多的晶体中是如何分布 的呢？是否存在有确定数目的对称元素的组合方式呢？ 对称元素的组合定理将回答这一问题。在如下所示的 长方体中(这是一个典型的几何图形)，仔细观察会发 现它包含有3个对称面，3个对称轴和1个对称中心， 总计为7个对称元素。这些对称元素的分布不是随意 的而是有确定的规律。比如，3个对称面与3个对称轴 交于一点—对称中心。同样，在其他晶体中，原子、 分子间存在的对称元素也是以类似的方式分布的。
2 对称是图形移置的特例
系指移置后的图形是其自身重复。对称是图 形移置的特例。虽然上述描述仅仅是从几何学 入手的一种方法，但具有直观、形象、几何关 系清晰等特点。如果把实现图形对称变换过程 中不动几何元素视为基本元(要)素，那么这些 对称元素就能组合成一定的集合－群。
对称是物质世界的基 本几何属性，它是在一定 的测量精度范围内的一种 相对规律。比如平移对称 元素就是这一相对规律的 最好例证。晶体对称性是 在晶体这种特定的物质图 形上的具体反映。这是从 几何学角度认识图形对称 性质的方法。
如果一个晶体是由许多具有随机取向的单 晶体组成，称之为多晶体或粉晶；如果一个晶 体是由两个单晶体按照特定的取向生长结合在 一起的就称之为孪晶。有机分子的晶体一般都 是从溶液中通过结晶过程(一种准平衡态现象) 获得的。按照不同的结晶条件有时可以得到多 晶、孪晶或单晶体。
晶体的周期结构使它具备下述这些性质： (1) 确定的熔点。 (2) 在合适的结晶条件下可以形成结晶多面体。例如食 盐晶体具有立方体外形，各种天然有机分子的结晶 常表现为针(柱)状，片状或块状甚至是多面体形式， 这表明在微观状态的原子(离子、分子)的规律排列与 在宏观状态下的晶体外形的相容性。象其他的一些 几何图形一样，晶体具有确定的几何性质-对称性质， 它是晶体的一种基本属性。 (3) 各向异性。即在晶体的不同方向上可以表现出不同 的物理性质，如光学、力学、磁学性质等。 (4) 均匀性。同一块晶体，其各部分的宏观性质相同。
五 六 七 八
32点群与47单形 14平移群与14平移点阵 230空间群 结语
一、图形移置
移置系指研究相等图形之间的相互位置 的问题。如果相互关联的两个相等图形有相 同的定向，则称迭合相等；如果相互关联的 两相等图形有相反定向，则称对映相等。在 三维空间的几何图形移置总共含有以下八种 类型：
1 平面反映