第九章 圆轴扭转

Wp
Ip R
Ip D2
D3
16
第八章 圆轴扭转
（2）空心圆截面
Ip
2dA 2 D / 2 3d d /2
A
(D4 d 4 ) D4 (1 a 4 )
32
32
Wp
Ip R
(D4
16D
d4)
D3 (1 a4 )
16
第八章 圆轴扭转
§8－4 圆轴扭转时的强度条件
强度条件
max
G
距轴线为 处的切应力为
G
G
d
dx
横截面上任意点的切应力与该点到圆心 的距离成正比，在横截面外表面处切应 力最大，在圆心处切应力为零。
第八章 圆轴扭转
圆轴扭转时横截面 上剪应力的分布
静力学关系
整个横截面上各微剪力对圆 心O点的力矩之和应等于该 截面上的扭矩
M T dA
A
横截面对圆心 的极惯性矩
第八章 圆轴扭转
主要内容：
扭转的概念与实例 外力偶矩和扭矩的计算 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的变形和刚度条件
第八章 圆轴扭转
§8－1 扭转的概念与实例
受力特点：杆件两端垂直于 杆轴线的平面内作用两个大 小相等、转向相反的外力偶
变形特点：杆件的任意两个 横截面都将发生绕杆件轴的 相对转动。
解 由例8-1知，最大扭矩 MT max 1590N， m根据强度条件，得
max
=
M Tmax Wp
=
1590
d 3 /16
≤40 ×10 6
轴的直径
d
≥3
16 ×1590
×40 ×10 6 m = 59 mm
取d = 60mm，则圆轴截面的极惯性矩 Ip d 4 32 1.27106 m4
相对扭转角
68.7MN/m 2
AB轴满足强度条件
第八章 圆轴扭转
（3）讨论：此例中，如果传动轴不用钢管而采用实心圆轴，使其与钢管 有同样的强度（即两者的最大应力相同）。试确定其直径，并比较实
心轴和空心轴的重量。
max
MT WP
MT d 3 16
68.7 106 N/m 2
d 3 193016 0.0523m
管制成，材料为20号钢，其许用切应力[]=70MN/m2 。 试校核此轴的强度。
第八章 圆轴扭转
解： （1）计算扭矩截面系数
a d 8.9 2 0.25 0.945
D
8.9
W 8.93 (1 0.945 4 ) 28.1cm3
16
（2）强度校核
max
MT Wp
1930 28.110 6
第八章 圆轴扭转
扭矩图 ：为了清楚地表示扭矩随横截面位置的变化情况， 通常以横坐标表示截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小， 从而作出扭矩随截面位置而变化的图线。
反映最大扭矩值及其所在的位置 例 8-1 图示为一传动轴，带轮A用带直接与原动机联接，带轮B和 C与工作机联接。已知带轮传递功率为44kW，带轮B传递给定工作机 的功率为25kW。轴的转速为n=150转/分。若略去轴承的摩擦力，试 计算轴横截面1-1和2-2上的扭矩。
解 根据强度条件式
max =
MT Wp
=
MT
d 3
≤[ ]
d ≥3
16 ×2300
×40 ×10 6
= 0.0664 m = 66.4mm
根据刚度条件式
max
=
M T max GIP
180° ×
≤[ ]
及
d 4
I p 32
d
≥3
32M T ×180°
G 2[ ]
=
0.0677m
=
67.7mm
应在两个直径中选择较大者，即取轴的直径d=68mm。
AC MT1l GIp 0.024rad 1.37
BA MT2l GIp 0.031rad 1.79
B、C扭转角
BC 1.37 1.79 0.42
第八章 圆轴扭转
例8-5 传动轴受到扭矩的作用，若[]=40MN/m2，[] =0.8°/ m ，
G=80GN/m2，试按强度条件和刚度条件设计轴的直径。
max
M T max
Ip
令
Wp
ຫໍສະໝຸດ BaiduIp
max
抗扭截面系数 ，单
位是 mm3或cm3
圆轴扭转时横截面上最 大剪应力的计算公式
max
MT Wp
第八章 圆轴扭转
圆轴极惯性矩和抗扭截面系数的计算
（1） 实心圆截面
若取微面积为一圆环，dA 2d ， 则由积分得
Ip 2dA
A
D 2
2
3d
D4
0
32
W 601000N
外力偶矩的计算公式为
M 601000N
2n
M 9550 N n
第八章 圆轴扭转
扭矩的计算
取左段为研究对象
Mx 0
MT M 0 MT M
M T 是横截面上的内力偶 矩，称为扭矩
取右段为研究对象，求得扭矩大小相等，但转向相反。
第八章 圆轴扭转
右手螺旋法则 若以右手的四指沿着扭矩的旋转方向卷曲，当大拇指 的指向与该扭矩所作用的横截面的外法线方向一致时， 则扭矩为正，反之为负。
第八章 圆轴扭转
第八章 圆轴扭转
解：各外力偶转向如图，轴的受力图如图
轮C应传递功率为44-25=19kW
作用在轮A、B及C上的外力偶矩分别为
MA
9550 44 150
2800N m
MB
9550 25 150
1590N m
MC
9550 19 150
1210N m
假想将轴沿1-1横截面切开，取左段为研究对象
扭转角：任意两横 截面上相对转过的
角度。用 表示
这种形式的变形 即为扭转变形
AB 表示截面B对截面
A的相对扭转角。
AB
第八章 圆轴扭转
§8－2 外力偶矩和扭矩的计算
外力偶矩的计算
令n表示轴每分钟的转数(r/min)，则作用在轴上的力偶矩为 M的外力偶，每分钟所作的功为
W 2nM
令N表示轴传递的功率，其单位为千瓦，1千瓦（kW）＝ 1000牛顿·米/秒（N·m/s）。则每分钟所作功为
GIp—抗扭刚度，表示圆轴抵抗扭转变形能力的强弱。
单位长度的扭转角：
MT
l GI p
第八章 圆轴扭转
圆轴扭转时的刚度条件
为了保证轴的刚度，通常规定轴的最大单位长度扭转角不得 超过规定的允许值
等直圆轴扭转时刚度条件
max
=
M Tmax GI P
≤[ ]
max
=
M T max GIP
180° ×
≤[ ]
[]的取值可根据有关设计标淮或规范确定。
精密机械的轴 一般传动轴 精密较低传动轴
[] =0.25～0.5（°/ m） [] ＝0.5～1.0（°/ m） [] ＝2～4（°/ m）
第八章 圆轴扭转
例8-4 设例8-1中的轴为一等截面圆轴。各带轮之间的距离都是l = 2m， 求轴的直径，并计算各带轮之间的相对扭转角。已知， []=40MN/m2， G=80GN/m2。
M x 0 MC MT1 0
M C M T1 1210 N m 假想将轴沿2-2横截面切开，取左段为研究对象
Mx 0
M A MC MT2 0
MT2 1590 N m
第八章 圆轴扭转
绘制扭矩图
§8－3 圆轴扭转时的应力
圆轴扭转应力的推导
变形几何关系 圆轴扭转变形的平面假设: 假设圆轴的各横截面在扭 转变形后保持为平面，且 形状、大小及间距都不变。
=
M Tmax Wp
≤[ ]
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应
力[ ]与许用正应力 [ ]之间存在下述关系：
对于塑性材料， [ ]＝(0.5～0.6) [ ] 对于脆性材料， [ ]＝(0.8～1.0) [ ]
第八章 圆轴扭转
例8-2 有一钢制实心轴，直径d=20mm，两端作用外 力偶，其矩M=60N·m ，如图所示。试求横截面上半 径 A=5mm处的切应力及截面上的最大切应力。
圆轴扭转变形时横截面上不存在正 应力，只有切应力，其方向与所在 半径垂直，与扭矩的转向一致。
第八章 圆轴扭转
沿距离为dx的两横截面和 相邻两个过轴线的纵截面 取楔形分离体
小变形时，圆轴表面的切 应变
DD R d
AD
dx
距轴线为处的切应变
dd ad
d
dx
第八章 圆轴扭转
应力与应变关系（剪切虎克定律）
解：（1） A =5mm处的
剪应力
MT
IP
60 510-3
204 1012
19.2MN/m2
32
（2）最大剪应力
max
M Tmax WP
60 203 109
38.2MN/m2
16
第八章 圆轴扭转
例8-3 解放牌汽车主传动轴AB，传递的最大扭矩MT＝
1930N·m，传动轴用外径Ｄ=89mm，壁厚δ=2.5mm的钢
如果将轴心附近的材料移向边缘 处，即制成空心轴提高了轴的承 载能力，充分利用材料
切应力分布
工程中应尽量采用空心圆轴。
第八章 圆轴扭转
§8－5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
圆轴扭转时的变形计算
相对扭转角： d l T dx
l
0 GI p
等直圆轴扭转 M Tl
变形计算公式
GI p
正负号随扭矩正负号而定
68.7 106
实心轴横截面面积
A实＝
d
4
2
21.5 10 4 m2
空心轴截面面积
A空＝
（D 2
4
d2)
6.79 10 4 m2
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于截
面面积之比，得
G空 A空 ＝6.79＝0.316 G实 A实 21.5
第八章 圆轴扭转
圆轴扭转时横截面上的剪应力沿半 径按线性规律分布。当截面边缘处 的最大剪应力达到许用剪应力值时， 圆心附近各点处的剪应力还很小， 这部分材料没有充分发挥作用。
因为 G
记
所以
M T
G 2
d
dx
dA
A
d
M T G dx
2dA
A
扭转剪应力的 静力学关系
Ip 2dA
A
MT
Ip
第八章 圆轴扭转
圆轴扭转剪应力的讨论
任一横截面上的扭转切应力分布和最大切应力 当横截面一定时，中心点处应力等于零，而最外边缘处有 该横截面上的最大切应力
当 max时，切应力最大