第九节圆轴扭转

P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
3
n1=n2= 120r/min
D1n1 D3n3
n＝3 n1
DD31＝n1
Z Z
1 3
＝360r/min
2、计算各轴的扭矩
M1=T1=1114 N.m
M2=T2=557 N.m
M3=T3=185.7 N.m
3、计算各轴的横截面上的
3
最大切应力
练习1 作内力图
练习2 传动轴如图所示，主动轮A输入功率50马力，
从动轮B、C、D输出功率分别为15马力，15马力，
20马力,轴的转速为300r/min。试画出轴的扭矩图。
B
C
A
D
3、已知PA＝20KW，PB＝PC＝6KW，PD＝ 8KW，转数ｎ＝191转/分，作扭矩图
PB
PC
PA
PD
4、作扭矩图
A
B
C
T
4.78KNm 9.56KNm
D
6.37KNm
x
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？
B
C
A
D
1 传递的外力偶矩
B、C、D: 2、3、5KW
MA
目
①扭矩变化规律；
的
②|T|max值及其截面位置（危险截面）。
m
m
T
x
危险面 处处是危险面
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW， P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
A
B
C
D
1 计算外力偶矩
m1
切应力与扭矩同向的顺流
T
纵向面内切应力
3. 静力学关系：
T A dA
A
G 2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
令 Ip A 2dA
极惯性矩
d
dx
T GI p
GIP：抗扭刚度
T
GI p
d
dx
G
d
dx
T
Ip
T
Ip
横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式
危险点的位置
圆截面边缘处；
max
T
结论
横截面： 像刚性平面一样， 只是绕轴线旋转了一个角度。 在此假设的基础上，推倒出的应力与变形计算公式，符 合试验结果，且与弹性力学一致
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tg
BB' dx
d
dx
d
dx
距圆心为 的任一点处的； 与点到圆心的距离成正比。
d
dx
T
2 rm2t
rm：薄壁圆筒横截面的平均半径;
二、切应力互等定理
切应力互等定理
mz 0
tdy dx tdx dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现；
且数值相等； 两者都垂直于两平面的交线；
方向： 共同指向或共同背离该交线；
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， 使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
9.55
P1 n
15.9(kN m)
n =300r/min，P1=500kW，
P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW
m2
m3
m1
m4
A
B
C
D
m2
m3
9.55
P2 n
4.78 (kN m)
m4
9.55 P4 n
6.37 (kN m)
2、求扭矩
T1 m2 0
m2
m3
1
D
I p
2 2 2 d
0
IP
D 4
32
Wt
D 3
16
空心圆截面：
I p A 2dA
dA 2 d
I p
D
2 d
2
2
d
(
32
D4
d4
)
2
( Dd )
Ip
D4
32
(14
)
Wt
D 3
16
(
1
4
)
实心轴与空心轴 Ip 与 Wt 对比
空心圆截面的扭转切应力分布
（实心截面）
（空心截面）
B
C
A
D
T Nm
159.2
63.7
159.2
Tmax 159.2( N m )
在CA段和AD段
4 将A、D轮的位置更换
B
C
D
A
T Nm
63.7 Mn,max 318.3(N m)
159.2
AD段
318.3
因此将A、D轮的位置更换不合理。
3
(1)计算外力偶矩
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形;
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm2t T
计算外力偶矩
P＝7.5kW, n=100r/min，最大切应力不
得超过40MPa, = 0.5。二轴长度相同。
P
7.5
Mx
T
9549
n
9549 100
716.2N m
实心轴
max1
MT x
WP1
16MT x
πd13
40MPa
16 716.2 d1 3 π 40106 0.045m=45mm
2 m1 3 m4
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
m2
T2 9.56kN m
T3 m4 0
m2
T3 m4 6.37kN m
1
2
3
T1
m3 T2
m4
T3
3、绘制扭矩图 T 9.56 kN m max
m2
m3
m1
m4
BC段为危险截面;
T1 4.78kN m
T2 9.56kN m T3 6.37kN m
3KNm 2KNm 1KNm
2KNm
2KNm
5、轴上作用有均布力偶，轴长为L＝1.2米
M0=2KNm/m
§9.3 纯剪切
一、薄壁圆筒的扭转切应力
薄壁圆筒：
壁厚
t
1 10
rm
rm：为平均半径
1、观察圆筒变形
纵向线发生了倾斜；
2、观察现象
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小、间距均未改变； 只是绕轴线作了相对转动；
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
四、圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
max [ ]
对于等截面圆轴：
Tm a x Wt
[
]
([] 称为许用切应力。)
强度计算三方面：
① 校核强度：
max
Tm a x Wt
[ ]
② 设计截面尺寸：
Wt
Tm a x
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
—— 扭转角沿长度方向变化率。
2. 物理关系：
虎克定律： G
G G d
dx
扭转变形的切应力的分布规律
G
d
dx
1、任意一点处的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比；
2、切应变γρ发生在垂直于半径的平面内， 切应力τρ也与半径ρ垂直；
3、切应力的方向形成与扭矩同向的顺流；
切应力与半径成正比 危险点的位置
§9.1 圆轴扭转的概念
工 程 实 例
工 程 实 例
工 程 实 例
对称扳手拧紧镙帽
扭转变形的受力特点
扭转变形的受力特点
一组外力偶的作用，且力偶的作用面与杆件的轴线垂直；
变形特点：
变形特点：
任意两横截面绕轴线发生相对转动；
轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
§9.2 扭矩和扭矩图 一.外力偶矩的计算 ——直接计算
32
7.95 cm4
I P2 32
D4 d 4
6.38cm4
（3）计算应力
AC 外
T I P1
D 2
37.5 106
Pa
37.5 MPa
CB 外
T I P2
D 2
46.8 10 6
Pa
46.8 MPa
例5 某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm, 壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为T=1500 N.m, []=60MPa。试校 核此轴的强度,若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相
一、等直圆杆扭转实验
观察不变量
通过变形观察现象
1、各圆周线的大小、形状、间距 保持不变； 半径仍保持 为直线；
横截面在变形前后都 保持为平面； 2. 轴向 无伸缩； 3. 纵向线变形后 仍近似为直线， 只是倾斜了一个角度；
观察小方格的变化
小方格
菱形
基本假设
平面假设 横截面在变形后 仍然保持为平面； 大小、 形状、 间距不变； 半径 仍保持为直线；
Ip
T R Ip
令
Wt
IP R
抗扭截面系数
max
T Wt
（实心截面）
讨论
公式的适用范围 仅适用于各向同性、 线弹性材料， 在小变形条件下的
等圆截面杆；
截面的极惯性矩和抗扭截面系数计算
I p A 2dA mm4，m4。
Wt
IP R
mm3，m3。
实心圆截面：
I p A 2dA
dA 2 d
圆筒两端wk.baidu.com相对扭转角为φ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
rL
a
´
c
´
b
d t
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例 极限时（τ ≤τp)，
切应力与切应变成线形关系；
a
´
c
´
b
d t
G
G 材料剪切弹性模量，单位：GPa。
对各向同性材料有
G
E
21
§9.4 圆轴扭转时的应力 ·强度条件
③ 计算许可载荷： Tmax Wt[ ]
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
[例1] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转
子，许用切应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
M M
D3 =135 D2=75 D1=70
M M
D3 =135 D2=75 D1=70
①计算外力偶矩
m 9.549 P n
M=Fd
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： W P 1000(N.m)
外力偶作功： W M 2 n 60
M 60P( KW )
2n( r / min)
9.549 P (KN m) n
M
60P(马 力 ) 2n( r / min)
T2 M B MC 0
T2
T2 M B MC 159.2( N m )
T3 M D 0
T3 M D 159.2( N m )
II A
II
III D
III
3、绘出扭矩图： T1 63.7( N m ) T2 159.2( N m ) T3 159.2( N m )
当，则实心轴的直径 D1 为多少？
1、计算抗扭截面模量：
空心轴
T T max2
Mx WP 2
16M x
πD23 1 4
40MPa
D2
3
π
16 716.2
1- 4 40106
0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
实心轴
d1=45 mm
空心轴
D2＝46 mm d2＝23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
0.7355
7.024
P ( KN n
m)
二、扭转变形横截面的内力
扭矩：构件扭转变形时，横截面上的内力偶矩； 记作T。 求扭矩的方法 ——截面法
mx 0
T m0
m
m
T m
x
m
T
扭矩的符号规定：
右手螺旋法则 “T”矢量离开截面为正，反之为负。
扭矩图：扭矩沿杆件轴线各横截面上变化规律的图线。
A
d2
1
1
A D2 12
2
2
45 46
103 103
2
1
1 0.52
＝1.28
例3：已知：P1＝14kW, P2= P3=P1/2， n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。
3
1、计算各轴的功率与转速
1.55(kN m)
T T=m
②：扭矩图
③计算并校核切应力强度 此轴满足强度要求。
x
max
T Wt
1.55 103
0.073 16
23MPa
[ ]
例2：已知：P＝ 7.5kW, n=100r/min， 最大切应力不得超过 40MPa,空心圆轴的内
外直径之比 = 0.5。
二轴长度相同。
求: 实心轴的直径 d1和空心轴的外直 径D2；确定二轴的 重量之比。
9.549
PA n
318.3( N m )
MB
9.549
PB n
63.7( N m )
n=300r/min
MC 95.5(N m),
M D 159 .2(N m),
B
C
A
D
2、求内力 M B
MB
T3 B
MC
MD
I C
I
T1 M B 0
T1
T1 M B 63.7( N m )
max
E
T1 WP1
16 1114 π 703 10-9
Pa
16.54MPa
max
H
T2 WP2
16 557 π 503 10-9
Pa
22.69MPa
max
C
T3 WP3
16 185.7 π 353 10-9
Pa
21.98MPa
，
例4 一轴AB传递的功率为 PK 7.5kW
，转速 n 360r/ min D 3cm d 2cm
轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，如图所示。
试计算AC段横截面边缘处的切应力以及CB段横截面 上外边缘处的切应力。
（1）计算外力偶矩
m 9550 PK 199 N m n
T m 199N m
（2）计算极惯性矩
I P1
D 4