从正整数的指数幂数列说起

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从正整数的指数幂数列说起

湖北省仙桃市汉江中学罗永华（邮编：433000 Email: hy87431@ ）

一、观察、发现与猜测

对于1、2、3、4、……，1、4、9、16、……，1、8、27、64、……，……这样的数列人们已经很熟悉了，它们就是正整数的指数幂数列，即m n （m ∈N +），当n 分别为1，2，3……时的数列。当我们仔细观察时，就会发现这些数列分别是n 阶等差数列。即：

一阶一阶二阶一阶二阶三阶 1 1 1

1 3 7

2 4 2 8 12

1 5 19 6

3 9 2 27 18

1 7 37 6

4 16 64 24

125

图1

进一步我们又可发现这些数列的公差分别为1!、2！、3！、……。这一结论对于任一n （n ∈N +），是否都成立呢？

二、归纳、整理，提出问题

对于上面的问题，我们首先将它归纳整理一下：

用d n 表示数列a m =m n （m=1、2、3，……，n ∈N +）的n 阶公差。

当n=1时，d 1=a 2-a 1=……=a k+1-a k

当n=2时，d 2=a 3-2a 2+a 1=02C a 3-12C a 2+22C a 1

=……

=02C a k+2-12C a k+1+22C a k

当n=3时，d 3=(02C a 4-12C a 3+22C a 2)-(02C a 3-12C a 2+22C a 1)

=02C a 4-(12C +02C )a 3+(22C +12C )a 2-22C a 1

=03C a 4-13C a 3+23C a 2-33C a 1

=……

=03C a k+3-13C a k+2+23C a k+1-3

3C a k

……

对于任意的n ，d n =0n C a n+1+(-1)11n C a n +(-1)22n C a n-1+…+ (-1)t t n C a n-t+1+…+(-1)n n n C a 1

=…… =0n C a n+k +(-1)11n C a n+k-1+(-1)22n C a n+k-2 +…+(-1)t t n C a n+k-t +…+(-1)n n

n C a k

由此可见，问题可转化为证明式

d n =0n C (n+k)n +(-1)11n C (n+k-1)n +(-1)22n C (n+k-2)n +…+(-1)t t n C (n+k-t)n +…+(-1)n n

n C k n =n ！。

………………………… ①

三、证明

在证明之前，再看图1，会发现如果继续求数列a m =m n （m=1、2、3，……，n ∈N +）的n+1阶、n+2阶、……n+k 阶差时，其即为常数列0，由上一步的推理可知：

d n+1=01n C +a n +2+(-1)111n C +a n+1 +(-1)221n C +a n +…+(-1)t 1t n C +a n-t+2+…+(-1)n 1

1n n C ++a 1 =0

d n+2=02n C +a n +3+(-1)112n C +a n+2 +(-1)222n C +a n+1 +…+(-1)t 2t n C +a n-t+3+…+(-1)n 2

2n n C ++a 1 =0

……

d n+k =0n k C +a n +k+1+(-1)11n k C +a n+k +(-1)22n k C +a n+k-1 +…+(-1)t t n k C +a n+k -t+1 +…+(-1)n n k

n k C ++a 1 =0

即d n+k =0n k C +(n+k+1)n +(-1)11n k C +(n+k)n +(-1)22n k C +(n+k-1)n +…+(-1)t t n k C +(n+k+1-t)n +…+(-1)n n k n k C ++·1n =0 …………………………………………………… ②

综合①、②式，可得

对于正整数n 、p ，式

0n C (n+k)p +(-1)11n C (n+k-1)p +(-1)22n C (n+k-2)p +…+(-1)t t n C (n+k-t)p +…+(-1)n n

n C k p …………………………………………………… ③

(1) 当p

(2) 当p=n 时，其值为n!。

现证明上述猜测。

（1）当p

当n=2时，p=1， k=0，式③为

02C 21+(-1)11

2C 11+(-1)222C 01=1×2-2×1+1×0=0 对于任意k ，

02C (2+k)1+(-1)112C (1+k)1+(-1)222C (0+k)1

=02C ·2+(-1)112C ·1+(-1)222C ·0+k[02C +(-1)112C +(-1)22

2C ]

当n 取大于2的任意整数时，运用数学归纳法。

当p=1时，k=0，式③为

0n C n+(-1)11n C (n-1)+…+(-1)t t n C (n-t)+…+(-1)n-11n n C -•1+(-1)n n n C •0

=0n C n+(-1)11n C (n-1)+…+(-1)t t n C (n-t)+…+(-1)n-11n n C -•1 ………………… ④