高等数学第1章第4节具有某些特性的函数

§4具有某些特性的函数

引言

在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数．其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下．与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数．

一、有界函数

1.有上界函数、有下界函数的定义

定义１设f 为定义在Ｄ上的函数，若存在数()M L ，使得对每一个x D ∈有()(())f x M f x L ≤≥，则称f 为Ｄ上的有上（下）界函数，()M L 称为f 在Ｄ上的一个上（下）界．

注：（１）f 在Ｄ上有上（下）界，意味着值域()f D 是一个有上（下）界的数集；（２）又若()M L 为f 在Ｄ上的一个上（下）界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f 在Ｄ上的上（下）界．所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：sin y x =，１是其一个上界，下界为－１，则易见任何小于－１的数都可作为其下界；任何大于１的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（１）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：

f 在Ｄ上有界⇔()f D 是一个有界集⇔f 在Ｄ上既有上界又有下界⇔f 在Ｄ上的有上界函数，也为Ｄ上的有下界函数．

2．有界函数定义

定义２设f 为定义在Ｄ上的函数．若存在正数Ｍ，使得对每一个x D ∈有|()|f x M ≤，则称f 为Ｄ上的有界函数．

注：（１）几何意义：f 为Ｄ上的有界函数，则f 的图象完全落在y M =和y M =-之间；（２）f 在Ｄ上有界⇔f 在Ｄ上既有上界又有下界；例子：sin ,cos y x y x ==；（3）关于函数f 在Ｄ上无上界、无下界或无界的定义．

１．无界函数定义

定义'2设f 为定义在Ｄ上的函数．若对每一个存在正数Ｍ，存在M x f D x ≥∈|)(|,00使得，则称f 为Ｄ上的无界函数．

类似可定义无上（下）界函数

例１．证明1()f x x

=为(0,1]上的无上界函数．例２．设,f g 为Ｄ上的有界函数．证明：（１）{}inf ()inf ()inf ()()x D x D x D f x g x f x g x ∈∈∈+≤+；

（２）{}sup ()()sup ()sup ()x D x D x D

f x

g x f x g x ∈∈∈+≤+．

二、单调函数

定义３

设f 为定义在Ｄ上的函数，1212,,,x x D x x ∀∈<（１）若12()()f x f x ≤，则称f 为Ｄ上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为Ｄ上的严格增函数．（２）若12()()f x f x ≥，则称f 为Ｄ上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为Ｄ上的严格减函数．

例３．证明：3

y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数．例４．讨论函数[]y x =在Ｒ上的单调性．

例５．讨论函数2y x =在Ｒ上的单调性．

注：１）单调性与所讨论的区间有关．在定义域的某些部分，f 可能单调，也可能不单调．所以要会求出给定函数的单调区间；２）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x 轴的部分．更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x 轴的直线至多有一个交点．这一特征保证了它必有反函数．

总结得下面的结论：

定理１．设(),y f x x D =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f

-，且1f -在其定义域()f D 上也

是严格增（减）函数．

例讨论函数2y x =在(,)-∞+∞上反函数的存在性；如果2y x =在(,)-∞+∞上不存在反函数，在(,)-∞+∞的子区间上存在反函数否？

结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关．

例证明：x

y a =当1a >时在Ｒ上严格增，当01a <<时在Ｒ上严格递减．三、奇函数和偶函数

定义４.

设Ｄ为对称于原点的数集，f 为定义在Ｄ上的函数．若对每一个x D ∈有（１）()()f x f x -=-，则称f 为Ｄ上的奇函数；

（２）()()f x f x -=，则称f 为Ｄ上的偶函数．注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称；（２）奇偶性的前提是定义域对称，因此(),[0,1]f x x x =∈没有必要讨论奇偶性．

（３）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪≡⎩

奇函数:y=sinx 偶函数:y=sgnx

非奇非偶函数:y=sinx+cosx 既奇又偶函数:y 0；（４）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可．

例研究符号函数x sgn 的奇偶性？

四、周期函数

１．定义

设f 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在0σ>，使得对一切x D ∈有()()f x f x σ±=，则称f 为周期函数，σ称为f 的一个周期．

２．几点说明：

（1）若σ是f 的周期，则()n n N σ+∈也是f 的周期，所以周期若存在，则不唯一．如sin ,2,4,y x σππ== ．因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f 的“基本周期”，简称“周期”．如sin y x =，周期为2π．

（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：１）1y x =+，不是周期函数；２）y C =（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期．

例求][)(x x x f -=的周期．

作业P201，2（2），3（1），4（4），5（3），6．