薛定谔方程及其简单应用 ppt课件

态，并且由其解所得出的粒子在空间的几率密度与 时间无关：
| (r ,t)|2 | (r )e iE|2 t | (r )|2
将 (r,t)(r)eiEt与自由粒子的波函数表达式比
较可知：
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常数E其实就是微观粒子的总能量，所以定态也 就是微观粒子能量不随时间变化的量子态。
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函
定 数态( 由r薛,于(t)定r 定,谔t)态和方(r波在程)e函这求i数些E出态t能联 中量系(r的E起,t的能)和来可量函，能E数所。值以和问波(题r函以)就数公归式结：于(解r)
(r ,t)(r )f( t)，
并把常数包含在 (r)中，这样就得到薛定谔方程
的特解为：
(r,t)(r)eiEt 定态波函数
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(r,t)(r)ei定E态t 波函数所描述的状态称为定
态。
方程 2 2 (r ) U (r )(r )E (称r )为定态薛定
谔方程。 2m
定态薛定谔方程的每一个解表示粒子的一个稳定状
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1926年，薛定谔提出了薛定谔方程做为量子力 学的一个基本方程来描述微观粒子的运动。当微观 粒子所处的力场确定后，粒子所处的状态可以由薛 定谔方程求解。
一、薛定谔方程
要建立微观粒子的运动方程，应包含时间及空间 变量。这个方程还应满足以下两个条件：（1）方程 是线性的，即如果1和2都是这方程的解，那么1 和2的线性迭加（a1 +b2）也应是方程的解。这是 由态迭加原理(干涉现象）决定的；（2）这个方程的 系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。否则 方程只能被粒子的部分状态所满足，不能被各种可 能的状态所满足。
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首先看平面波的波动方程： 将其用于自由粒子则：
yAcos2tx
yAcos2hhthx Acos1Etpx 利用复数计算公式 eixcox sisixn
上式可以记为 y Aei Etpx
1.自由粒子的薛定谔方程
动量为P 、质量为m、能量为E的自由粒子， 沿 x 轴
运动的波函数为：
2 x (2 x ,t) (i ) p 2 0 e 2 i(E p t)x p 2 2 (x ,t) ②
上式两边都乘以
得：
2 m薛定谔方程及其简单应用
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2 2 (x,t) p2
2m
x2
(x,t) 2m
②
把对t 求导的式子写在下面
i(x,t)E(x,t)
①
t
当粒子速度远小于光速c时（v<<c）自由粒子的动量 和能量满足以下关系：
E p2 V(x,t) 2m
将上式作用于波函数上，此时的薛定谔方程为：
i (tx ,t) 2 薛m 2 定谔 方2 程 及其x (简2 x 单,t应) 用 V (x ,t) (x ,t) 8⑤
由此可知，粒子能量E和动量P与下列作用在波 函数上的算符相当：
E i , p 2 2 2 或 p i t
得：
i [( r )f( t) ] 2 2 [( r )f( t) U ]( r )( r )f( t)
t
2 m
两边除以 (rBaidu Nhomakorabeaf(t)，可得：
if1 (t) f (tt) 1 (r )[2 m 2 2 (r ) V (r )(r )]
r 很明显，上式右边只是 矢径 的函数，而左边只
薛定谔对分子生物学的发展也做过工
作。由于他的影响，不少物理学家参
与了生物学的研究工作，使物理学和
生物学相结合，形成了现代分子生物
学。
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引入薛定谔方程的想法是：我们先假定自由粒子的波动是平面波，则微分方程的最基 本的形式可以由平面波引入，再由有势能存在的情况下作相应的修正得出薛定谔方程。 它的正确性是由其结果能够解释已知的实验事实，并且能够推断出尚未发现的实验现 象来验证的。
得到所需的薛定谔方程。
4.定态薛定谔方程
如果粒子的势能并不随时间而变化，即V=V(x,y,z)，
它不包含时间。在经典力学中这相应于粒子机械能守
恒的情况，在这种情况下，可以用分离变量法把波函
数写成空间坐 标函数和 时间函数的乘积，即： (r ,t)薛(r 定谔)方f程( 及t其)简单应用
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代入 i ( r ,t) 2 2 ( r ,t) V ( r ,t) ( r ,t) t 2 m
E p2
③
2m
利用上面的两个公式消去 p,E 得：
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可得： i (tx,t)2 m 2 2 x(2 x,t) ④
这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。 2.薛定谔方程的一般形式
若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其 势能函数为EP＝V(x,t)，则粒子的总能量应为：
(x,t)0ei(Et px)
对时间求微商，得到：薛定谔方程及其简单应用
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(tx ,t) iE 0 e i(E p t)x iE (x ,t)①
上式两边都乘以 i 得：
i(x,t)E(x,t) t
对 x 求二阶偏导
(x x ,t) ip 0 e i(E p t)x ip (x ,t)
是时间t的函数，为了使上式成立，必须两边恒等于
某一个常数，设以E表薛定示谔方，程及则其简有单应：用
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if(t) Ef(t) （1） t 2 2 (r )V (r )(r )E (r ) （2） 2m
方程（1）的解为： f (t) cei Et（c为任一常数）
将 f (t) cei E代t 入
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薛定谔方程及 其简单应用
薛定谔方程及其简单应用
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奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。 薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人
之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭 的放射性等方面的研究都有很大成就。
薛定谔方程是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起 来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔 方程的量子力学波动方程。
写成式子： Eˆi,pˆi t
ij k x y z
2
引入哈密顿算符： Hˆ 2 V 2m
则⑦式可写为：
Hˆi t 薛定谔方程及其简单应用
这就是薛定谔方 程的一般形式。
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3.建立薛定谔方程的一般方法 （1）找出粒子总能E与动量P的关系式；
（2）把关系式中的E和P算符化：
Ei,pi t
（3）把经算符化后的关系式分别作用在上，即可