2021年北京市中学生数学竞赛初赛高一试题 答案和解析
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于是， 为 中点．
由 ，知 为 的重心．
则 、 分别为 、 的中点，且 ．
又 为梯形 的中位线，因此，
．
而 ，由勾股定理得
．
11．11
【解析】
【详解】
设 ( 为素数)．①
由 ，得
．②
把式②代入式①整理得
．
12．
【解析】
【详解】
如图，联结
易证 ．则 ．
又
，
作 于点 于是， ．
故 ．
13．
【解析】
【详解】
3．如图，矩形 的对角线 经过坐标原点 ，矩形的边分别平行于坐标轴，点 在反比例函数 的图像上若 ，则 ( )
A．2B．1C．0D．-1
4．定义在 上的偶函数 ，满足 ，且在区间 上递增，则( )．
A． B．
C． D．
5．由1开始的连续n个正整数相乘，简记为 ，如 则 ( )
A． B． C． D．
6．如图，正方形 内接于 ， 为劣弧 上一点， 与 交于点 ， 与 交于点 ，记 ，若 ，则 ( )
1．D
【解析】
【详解】
由题意得 元素个数为 ,选D.
2．B
【解析】
【详解】
选B.
3．B
【解析】
【详解】
设
过 选B.
4．A
【解析】
【详解】
在区间 上递增，
，选A.
5．C
【解析】
【详解】
选C.
6．A
【解析】
【详解】
由题意得 ，
四点共圆，
因此
，选A.
7．3.5
【解析】
【详解】
注意到，
，且 ，
当 为正整数时， 且 ．
【最新】北京市中学生数学竞赛初赛高一试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， 则集合 ，且关于 的方程 有实根}的元素个数为( )．
A．7B．8C．9D．10
2．已知 ．则 ( )
A．7B．8C．9D．10
同理， ．
故 ．
显然，
而 ，S(x)最大为28， 最大为10，
因此， 最小为
．故 ．经检验，当 时，
， ；
当 时， ；
当 时，源自文库
， ；
当 时， ，
；
其他自然数 均不满足方程，
所以，方程的解集为
14．
【解析】
【详解】
设内切圆半径为 ．如图，联结 ．
则 ．
由切线长定理得
， ， ．
设 的面积为 ，则
．
因为 ，所以，
．
则 ．
所以原式=3.5．
8．-1043
【解析】
【详解】
由题设易知
解得 ．
由奇函数的性质 ，有 ．
9．4
【解析】
【详解】
易知 ，则
结合题给方程知
所以， ， .
从而， ，其个位数字为4．
10．128
【解析】
【详解】
如图，过点 作 ，取 的中点 ，联结 与 交于点 ．
设正方形 的边长为 ．
由 ，知 ·
由 ，得 ．
A．1B． C． D．
二、填空题
7．计算：
______．
8．设 是定义在 上的奇函数，当 时， ( 为常数)．则 ______．
9．若实数 、 、 满足方程 ，则 的个位数字为______．
10．如图，正方形 被分成了面积相等的8个三角形，若 ，则正方形 的面积 ______．
11．已知实数 、 满足 ， 为素数，若 的最大值为 ，最小值为 ，则 ______．
12．如图，在 的边 上有一点 ， 的外心，且四边形 面积是 面积的 ．则 ______．
13．设 表示自然数 的数字和，则方程 的解集为______．
14．在 中，内切圆 与斜边 切于点 ，分别与 、 切于点 、 ，作 于点 ， 于点 ．已知 ， ．用 、 表示矩形 的面积 为______．
参考答案
由 ，知 为 的重心．
则 、 分别为 、 的中点，且 ．
又 为梯形 的中位线，因此，
．
而 ，由勾股定理得
．
11．11
【解析】
【详解】
设 ( 为素数)．①
由 ，得
．②
把式②代入式①整理得
．
12．
【解析】
【详解】
如图，联结
易证 ．则 ．
又
，
作 于点 于是， ．
故 ．
13．
【解析】
【详解】
3．如图，矩形 的对角线 经过坐标原点 ，矩形的边分别平行于坐标轴，点 在反比例函数 的图像上若 ，则 ( )
A．2B．1C．0D．-1
4．定义在 上的偶函数 ，满足 ，且在区间 上递增，则( )．
A． B．
C． D．
5．由1开始的连续n个正整数相乘，简记为 ，如 则 ( )
A． B． C． D．
6．如图，正方形 内接于 ， 为劣弧 上一点， 与 交于点 ， 与 交于点 ，记 ，若 ，则 ( )
1．D
【解析】
【详解】
由题意得 元素个数为 ,选D.
2．B
【解析】
【详解】
选B.
3．B
【解析】
【详解】
设
过 选B.
4．A
【解析】
【详解】
在区间 上递增，
，选A.
5．C
【解析】
【详解】
选C.
6．A
【解析】
【详解】
由题意得 ，
四点共圆，
因此
，选A.
7．3.5
【解析】
【详解】
注意到，
，且 ，
当 为正整数时， 且 ．
【最新】北京市中学生数学竞赛初赛高一试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， 则集合 ，且关于 的方程 有实根}的元素个数为( )．
A．7B．8C．9D．10
2．已知 ．则 ( )
A．7B．8C．9D．10
同理， ．
故 ．
显然，
而 ，S(x)最大为28， 最大为10，
因此， 最小为
．故 ．经检验，当 时，
， ；
当 时， ；
当 时，源自文库
， ；
当 时， ，
；
其他自然数 均不满足方程，
所以，方程的解集为
14．
【解析】
【详解】
设内切圆半径为 ．如图，联结 ．
则 ．
由切线长定理得
， ， ．
设 的面积为 ，则
．
因为 ，所以，
．
则 ．
所以原式=3.5．
8．-1043
【解析】
【详解】
由题设易知
解得 ．
由奇函数的性质 ，有 ．
9．4
【解析】
【详解】
易知 ，则
结合题给方程知
所以， ， .
从而， ，其个位数字为4．
10．128
【解析】
【详解】
如图，过点 作 ，取 的中点 ，联结 与 交于点 ．
设正方形 的边长为 ．
由 ，知 ·
由 ，得 ．
A．1B． C． D．
二、填空题
7．计算：
______．
8．设 是定义在 上的奇函数，当 时， ( 为常数)．则 ______．
9．若实数 、 、 满足方程 ，则 的个位数字为______．
10．如图，正方形 被分成了面积相等的8个三角形，若 ，则正方形 的面积 ______．
11．已知实数 、 满足 ， 为素数，若 的最大值为 ，最小值为 ，则 ______．
12．如图，在 的边 上有一点 ， 的外心，且四边形 面积是 面积的 ．则 ______．
13．设 表示自然数 的数字和，则方程 的解集为______．
14．在 中，内切圆 与斜边 切于点 ，分别与 、 切于点 、 ，作 于点 ， 于点 ．已知 ， ．用 、 表示矩形 的面积 为______．
参考答案