第2章刚体和流体力学(13)(中南大学物理)PPT课件
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质量为线分布 dm dl其中、、分 质量为面分布 dmds别 度为 、质面量密的度线和密体
质量为体分布 dmdV密度。
线分布
面分布
体分布
例题
1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯 量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J r2dm R 2dm R 2 dm m2R
O
J是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
一、刚体的平动和转动
平动：用质心运动讨论
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A
B
A
B
B
转动：（分对点、对轴转动） （只讨论定轴转动）
O O’
定轴转动：各质元均作圆周
转轴 运动，其圆心都在一条固定
不动的直线（转轴）上。
O 刚体的一般运动
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动
二、描述刚体定轴转动的物理量 角位移
比较：
Ek
1 2
J2
Ek
1 2
mv2
二. 转动惯量
对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成:
J r2dm
其中ri是质量元到转轴的距离。
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量 与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
在国际单位制中其单位为千克·米2（kg·m2）。
与转动惯量有关的因素： 实质与转动惯量有关的只
•刚体的质量
有两个因素。形状即质量分
•转轴的位置
布，与转轴的位置结合决定
•刚体的形状
转轴到每个质元的矢径。
注意
1。只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用上式 J r2dm积分计算出刚
体的转动惯量。
2。对于质量元不连续（离散型）分布的 刚体，其转动惯量可写成和式
Jmiri2
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质 量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
8 R5 2mR2
15
5
X
其 中m4R3
3
平行轴定理
JAm2L/3 JC mL 2/12
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴 平行，相距L/2。可见：
JA ＝ JC ＋ m L 2 21 1m 22 L 1 4m2 L 1 3m2 L
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平 行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
R dm
2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的 转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
dmdV2rdrl
dJ r2dm 2lr3dr
Z OR
Jd J0 R2 lr 3d r1 2R 4l
R m 2lJ1 2mR 2
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对
其轴的转动惯量也是mR2/2。
其角量和线量的关系：
a r,
v2 anr
2r
一 、刚体的转动动能
Ek i1 2mivi21 2miri22
E k
i
(1 2m iri2 2)1 2 (
m iri2)21 2J2
令J (miri2)
i
定义J为刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia)
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半---刚体的转动动能.
• 本次课要求掌握的基本内容
1、何为刚体？如何描述刚体的运动？ 2、什么叫刚体的转动惯量？它的物理意义怎样？ 3、如何计算刚体的转动惯量？ 4、刚体定轴转动动能如何确定？ 5、什么叫刚体定轴转动定律？
如何应用转动定律解题？
刚体: 在外力作用下形状和大小保持不变的物体. 即各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。
转动平面
P
X
参考 转轴 方向
P X
Q
X
各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
角速度
d 角速度方向规定为沿轴方向， dt 指向用右手螺旋法则确定。
其角量和线量的关系：
v r
r
v
角加速度
d
dt
d2
dt2
加速转动 减速转动
方向一致 方向相反
J＝JC＋md2。
这个结论称为平行轴定理。
右图所示刚体对经过棒端
且与棒垂直的轴的转动惯量
mL
如何计算？(棒长为L、球半
径为R）
mO
JL1
1 3
mL
L2
Jo
2 5
mo
R2
J L 2 J 0 m 0 d 2 J 0 m 0 ( L R ) 2
J1 3m L L 25 2m oR 2m o(L R )2
dFdfadm Z
dF和 df 为合外力和合内力.
Mz
分解为作用在质量元dm 上的切向力和法向力:
dFdfadm
dF df
Odr
wenku.baidu.com
dm
dF
dFn
和 dnFdnfandm转动平面
将切向分量式两边同
乘以r，变换得
rdF rd fr2dm
对等式左边积分得到外力矩 rdF rd fr2dm
rd F rd frd F M
其中， rdf 0 (为什么？）
角加速度对所有质量元都相等
所以 r2 d m ( r2d) m J
r
Z
dZ
球心Z高处切一厚为dz的
薄圆盘。其半径为
O
R
Y
X
r R2Z2
其体积： dV r2d Z(R 2Z2)dZ
其质量： dm dV (R 2Z2)dZ
其转动惯量：
d J1r2d 2
m 1 2(R2Z2)2dZ
dJ 1 r2dm 1(R2Z2)2dZ
2
2
Z
J dJ
Zr
dZ
O
R
Y
R1(R2 Z2)2dZ R2
第二章 刚体和流体力学
• 本章要求掌握的基本内容
●刚体运动的描述 ●转动惯量的定义及其量的计算 ●刚体定轴转动定律及其应用 ●刚体的角动量定理（即动量矩定理）及其守恒定律 ●刚体定轴转动动能定理及其应用
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
三、转动定律
作用在刚体上的轴的力矩 (1) Z
Mz
OdrP F 转动平面
Mz rF
Mz rFsin
FsinF
Mz rF
力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作
用点到转轴Z的距离的乘积。
如果有几个外力矩作用在刚体上 dMrdF
积分得 MdMrdF
刚体定轴转动的转动定律
刚体转动定 律可由牛顿第二定律直接导出
3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。
解：取如图坐标，dm=dx
A
B
L
X
A
C
L/2
B
L/2
X
JA r2dm Lx2dxm2L/3
0
JC r2dm
L
2 L
x2d
xm
2L/12
2
4. 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的 转动惯量。
Z
解： 一球绕Z轴旋转，离
质量为体分布 dmdV密度。
线分布
面分布
体分布
例题
1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯 量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J r2dm R 2dm R 2 dm m2R
O
J是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
一、刚体的平动和转动
平动：用质心运动讨论
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A
B
A
B
B
转动：（分对点、对轴转动） （只讨论定轴转动）
O O’
定轴转动：各质元均作圆周
转轴 运动，其圆心都在一条固定
不动的直线（转轴）上。
O 刚体的一般运动
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动
二、描述刚体定轴转动的物理量 角位移
比较：
Ek
1 2
J2
Ek
1 2
mv2
二. 转动惯量
对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成:
J r2dm
其中ri是质量元到转轴的距离。
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量 与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
在国际单位制中其单位为千克·米2（kg·m2）。
与转动惯量有关的因素： 实质与转动惯量有关的只
•刚体的质量
有两个因素。形状即质量分
•转轴的位置
布，与转轴的位置结合决定
•刚体的形状
转轴到每个质元的矢径。
注意
1。只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用上式 J r2dm积分计算出刚
体的转动惯量。
2。对于质量元不连续（离散型）分布的 刚体，其转动惯量可写成和式
Jmiri2
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质 量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
8 R5 2mR2
15
5
X
其 中m4R3
3
平行轴定理
JAm2L/3 JC mL 2/12
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴 平行，相距L/2。可见：
JA ＝ JC ＋ m L 2 21 1m 22 L 1 4m2 L 1 3m2 L
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平 行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
R dm
2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的 转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
dmdV2rdrl
dJ r2dm 2lr3dr
Z OR
Jd J0 R2 lr 3d r1 2R 4l
R m 2lJ1 2mR 2
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对
其轴的转动惯量也是mR2/2。
其角量和线量的关系：
a r,
v2 anr
2r
一 、刚体的转动动能
Ek i1 2mivi21 2miri22
E k
i
(1 2m iri2 2)1 2 (
m iri2)21 2J2
令J (miri2)
i
定义J为刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia)
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半---刚体的转动动能.
• 本次课要求掌握的基本内容
1、何为刚体？如何描述刚体的运动？ 2、什么叫刚体的转动惯量？它的物理意义怎样？ 3、如何计算刚体的转动惯量？ 4、刚体定轴转动动能如何确定？ 5、什么叫刚体定轴转动定律？
如何应用转动定律解题？
刚体: 在外力作用下形状和大小保持不变的物体. 即各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。
转动平面
P
X
参考 转轴 方向
P X
Q
X
各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
角速度
d 角速度方向规定为沿轴方向， dt 指向用右手螺旋法则确定。
其角量和线量的关系：
v r
r
v
角加速度
d
dt
d2
dt2
加速转动 减速转动
方向一致 方向相反
J＝JC＋md2。
这个结论称为平行轴定理。
右图所示刚体对经过棒端
且与棒垂直的轴的转动惯量
mL
如何计算？(棒长为L、球半
径为R）
mO
JL1
1 3
mL
L2
Jo
2 5
mo
R2
J L 2 J 0 m 0 d 2 J 0 m 0 ( L R ) 2
J1 3m L L 25 2m oR 2m o(L R )2
dFdfadm Z
dF和 df 为合外力和合内力.
Mz
分解为作用在质量元dm 上的切向力和法向力:
dFdfadm
dF df
Odr
wenku.baidu.com
dm
dF
dFn
和 dnFdnfandm转动平面
将切向分量式两边同
乘以r，变换得
rdF rd fr2dm
对等式左边积分得到外力矩 rdF rd fr2dm
rd F rd frd F M
其中， rdf 0 (为什么？）
角加速度对所有质量元都相等
所以 r2 d m ( r2d) m J
r
Z
dZ
球心Z高处切一厚为dz的
薄圆盘。其半径为
O
R
Y
X
r R2Z2
其体积： dV r2d Z(R 2Z2)dZ
其质量： dm dV (R 2Z2)dZ
其转动惯量：
d J1r2d 2
m 1 2(R2Z2)2dZ
dJ 1 r2dm 1(R2Z2)2dZ
2
2
Z
J dJ
Zr
dZ
O
R
Y
R1(R2 Z2)2dZ R2
第二章 刚体和流体力学
• 本章要求掌握的基本内容
●刚体运动的描述 ●转动惯量的定义及其量的计算 ●刚体定轴转动定律及其应用 ●刚体的角动量定理（即动量矩定理）及其守恒定律 ●刚体定轴转动动能定理及其应用
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
三、转动定律
作用在刚体上的轴的力矩 (1) Z
Mz
OdrP F 转动平面
Mz rF
Mz rFsin
FsinF
Mz rF
力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作
用点到转轴Z的距离的乘积。
如果有几个外力矩作用在刚体上 dMrdF
积分得 MdMrdF
刚体定轴转动的转动定律
刚体转动定 律可由牛顿第二定律直接导出
3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。
解：取如图坐标，dm=dx
A
B
L
X
A
C
L/2
B
L/2
X
JA r2dm Lx2dxm2L/3
0
JC r2dm
L
2 L
x2d
xm
2L/12
2
4. 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的 转动惯量。
Z
解： 一球绕Z轴旋转，离