2008点集拓扑(A卷)答案

2008年秋季 点集拓扑 答案（A 卷）

一、单项选择题：（每题4分，共20分）CADDA

1． 下列集合不构成实数集上某个拓扑的基的是 ( C )

A. {}(,)|,,a b a b a b ∈<

B. {}[,)|,,a b a b a b ∈<

C. {}(,0)|a a ∈

D. {}(,)|a a +∞∈

2． 对X 的任意子集A 和B ，下列关于映射:f X Y →的说法正确的是 （ A ）

A.()()()f A f B f A B ⋃=⋃

B.()()()f A f B f A B ⋂=⋂

C.()()()f A f B f A B -=-

D.()()f X A Y f A -=-

3. 下列拓扑性质为闭子空间可遗传的是 ( D )

A.连通

B.局部连通

C.可分

D. Lindel öff

4． 不是每个第二可数空间都满足的性质是 （ D ）

A.第一可数

B.可分

C. Lindel öff

D.正规

5. 下列关于连通性的说法正确的是 （ A ）

A.如果A 连通，则A 连通

B.如果A 连通，则A 连通

C.如果A 连通，则A 连通

D.如果A 连通，则A 连通

二、基本概念：（每题10分，共20分）

1.设{},,,,X a b c d =T {}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,a b a b a c a b c X =∅。考虑{}A a =以及{},,B a b d =。分别求出,A ()A ∂和.B

解：首先求出所有的闭集{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,b c d a c d c d b d d X ∅。显然，

（1）{},,A a c d =；

（2）因为{},,A b c d '=，所以{}(),A A A c d '∂=⋂=；

（3）{},B a b =。

2．设A 是可数补空间X 中的一个子集。求A 的导集和闭包。

解：如果A 为X 中可数子集，则x X ∀∈均有(){}U X A x =-⋃为x 的一个开邻域，并且{}U A x ⋂-=∅，所以()x d A ∉，也就是说此时()d A =∅，A A =。

如果A 为X 中不可数子集，则x X ∀∈，其任何一个邻域V 的补集V '均可数，从而{}V A x ⋂-≠∅，所以()x d A ∈，也就是说此时()d A X =，A X =。

三、连通性：（前2题每题8分，最后1题4分，共20分）

1．证明：有理数空间作为实数空间的子空间是不连通的。

证明：令(,)A π=-∞⋂

，(),B π=+∞⋂。显然,A B 为中两个非空开集，

并且满足A B ⋃=和A B ⋂=∅，所以

不连通。

2．设,A B 为某拓扑空间X 中开集，A B ⋃和A B ⋂连通。证明：A 和B 均连通。 证明：如果A 是不连通的，则存在,U V 为一对非空无交开集使得A U V =⋃。注意此时A B U ⋂⊂或A B V ⋂⊂。不妨设A B U ⋂⊂，则V 和U B ⋃为一对非空无交开集，并且()V U B A B ⋃⋃=⋃。这与A B ⋃连通矛盾，所以A 连通。类似可证B 也连通。

3． 举例说明一个连通空间未必是一个道路连通空间。

解：考虑2的子空间。令1,sin 0S x x x ⎧⎫⎛

⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，(){}

0,11T y y =-≤≤。由于S 连通，所以S S T =⋃连通，但是S 上任一点和T 上任一点之间不存在道路，从而S 不是道路连通的。

四、可数性公理：（每题10分，共20分）

1．证明实数下限拓扑空间是第一可数的，可分的，但不是第二可数的。 证明：有一个基为{}[,),,a b a b a b ℘=∈<。

（1） 对任意x ∈，显然{}[,1/)x x n n ++∈为x 的一个可数邻域基，所以是第一可数的；

（2） 因为,a b ∀∈

，如果a b <，则[,)a b ⋂≠∅，所以在中可数稠密，从而可分；

（3） 设B 为的一个基，则对任何x ∈，存在x B ∈B 使得[,1)x x B x x ∈⊂+。因

为inf x x B =，所以当x y ≠时有x y B B ≠，因此B 不可数，从而

不是第二可数空间。

2．设X 是一个第二可数空间，B 是X 的一个拓扑基。证明：存在可数C ⊂B 使得C 依然是X 的一个拓扑基。

证明：设D 是X 的一个可数基。由于B 是X 的一个基，所以对任意D ∈D ，存在B D ⊂B 使得D =⋃B D 。注意，每个第二可数空间都是Lindel öff 空间，并且第二可数性是可遗传的，所以可以假设B D 是可数的。令C 为所有这样的B D 的并（D ∈D ），则显然C 可数。由于D 是X 的一个基，所以C 是X 的一个可数基，且C ⊂B 。

五、分离性公理：（每题10分，共20分）

1． 证明：一个拓扑空间X 是Hausdorff 空间当且仅当X 中每个单点集{}x 等于所有包含

x 的开集的闭包之交。

证明：⇒设X 是Hausdorff 空间，x X ∈。 记{}

A x A A =∈，是开集A 。显然，A x A ∈∈⋂A ，即{}x A x A ∈⊂⋂A 。 ,y X ∀∈如果x y ≠，则存在开集,U V 使得,x U y V ∈∈且U V ⋂=∅。由于U V '⊂，所以U V '⊂，从而y U ∉。这证明{}x A x A ∈⊃⋂A 。

⇐设,x y X ∈且x y ≠，则{}{}x y ≠。由给定条件，存在开集,U V 使得x U ∈，y V ∈，x V ∉且y U ∉。记A U V =-和B V U =-。显然,A B 均为开集，x A ∈，y B ∈且A B ⋂=∅。所以，X 是Hausdorff 空间。

注：事实上，B 的引入并不需要，因为V 可以取代其位置。

2． 设:f X Y →为连续映射，Y 是一个Hausdorff 空间。证明：{}(,)()()A x y f x f y ==是X X ⨯中的闭集。

证明：设(,)x y A '∈，则()()f x f y ≠。由于Y 是一个Hausdorff 空间，所以存在Y 中互不相交开集,U V 使得()f x U ∈且()f y V ∈。因为f 连续，所以1()f

U -和1()f V -是X 中互不相交的开集满足1()x f U -∈和1()y f V -∈，从而11(,)()()x y f U f V A --'∈⨯⊂。这证明A '是X X ⨯中开集，所以A 是X X ⨯中闭集。