最新人教版八年级上册数学精品课件 《第十一章 小结与复习》

当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，
此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．
例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别 是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求 △BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=
1 2
S△ABD，S△ACE= 12
3 C
归纳 在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、 外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定
理列方程求解.
分类讨论思想 例10 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则 三角形的周长是 26或22 ．
【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要 分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长 为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
例6 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2， ∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x． 因为∠BAC=63°， 所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°， 所以x=39°, 所以∠3=∠4=78°， ∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一
边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ( C )
A.16
B.20或16
C.20
D.12
归纳 等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨 论，还要注意三边是否构成三角形.
针对训练
2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的 周长为 5 .
;外角=
360 n
课后作业
见章末练习
解析：所求问题不是常见的求多边
A
形的内角和问题，我们发现，只要 连接CD便转化为求五边形的内角 B G
E F
和问题.
C
D
解：连接CD，由“8字型”模型图可知
∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所以∠A＋∠B＋∠C＋
∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540 °.
课堂小结
三 角 形 多 边 形
S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE= 1 S△ABC= 1 ×24=12，
∴∵S点△FB是CE=CE12S的△中ABC点2=，12×24=122，
∴S△BEF=
1 2
Байду номын сангаас
S△BCE=
1 2
×12=6．
归纳 三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
针对训练
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ C ）
考点二 三角形中的重要线段
例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周 长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长． 解：∵CD为△ABC的AB边上的中线， ∴AD=BD， ∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm， ∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3， ∴BC-AC=3， ∵BC=8， ∴AC=5．
4.如图，①AD是△ABC的角平分线，则
∠_B_A_D__=∠_C_A_D_= 1 ∠_C__A_B_，
2
②AE是△ABC的中线，则_C__E__=__B_E__=
1 2
__B_C__，
③AF是△ABC的高线，则∠__A_F_B_=∠_A__F_C_=90°．
考点三 有关三角形内、外角的计算
例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足 下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
第十一章 三角形
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1. 三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
2. 三角形的分类
按边分
不等边三角形 等腰三角形
锐角三角形
腰和底不等的 等腰三角形
等边三角形
按角分
直角三角形 钝角三角形
3. 三角形的高、中线与角平分线 高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线
针对训练
1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围 是 6<x<12 .
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另 两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰， ∴分两种情况讨论：当6为底边长时，腰长为(166)÷2=5，这时另两边长分别为5,5； 当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长 分别为6,4. 综上所述，另两边长为5,5或6,4.
相交于一点，如图. 中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于
一点（重心），如图. 角平分线：三条角平分线相交于一点，如图.
4. 三角形的内角和与外角 (1)三角形的内角和等于180°；
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和；
(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一 个内角.
5. 多边形及其内角和 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图 形叫做多边形.正多边形的各个角都相等，各条边都 相等的多边形. n边形内角和等于(n-2)×180 °(n ≥3的整数）.
针对训练
8.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少 180°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n， 依题意得（n-2）×180°=3×360°180°， （n-2）=6-1， 解得n=7． ∴这个多边形的边数是7．
考点五 本章中的思想方法
方程思想
例9 如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE
n边形的外角和等于360°.
正多边形的每个内角的度数是 (n 2)180 , n
正多边形的每个外角的度数是 360 .
n
考点讲练
考点一 三角形的三边关系 例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一 个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段 应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于 第三边得 8-3<a<8+3, ∴ 5 <a<11.
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中
线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求
三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，
∴AD=CD， 设AD=CD=x，则AB=2x， 当x+2x=12，解得x=4.
无图时， 注意分 类讨论
BC+x=15，得BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数.
解：设∠C=x °,则∠ABC=x°,
D
因为△BDE是等边三角形，
所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°. 在△BCE中，根据三角形内角和定理， B
得90°+x°+x°-60°=180°,
解得x=75,所以∠C=75 °.
A
E C
【变式题】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC,
【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形 这一重要解题环节.
化归思想 如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形， 其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：
∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形
模型，我们称它为“8字型”图.
A
C O
B
D
例11 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋ ∠F＋∠G的度数.
【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等， ∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与 BC有怎样的位置关系？为什么？ 解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下： ∵六边形ABCDEF的内角都相等， ∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于 120°， ∴∠EDC=∠FAB=120°. ∵∠1=∠2=60°， ∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE， ∵∠C=120°，∠2=60°， ∴∠2+∠C=180°，
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°； (2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4. 解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,
又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ， 则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°， ∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
归纳 若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，
常用方程思想设未知数列方程求解.
针对训练
5.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-
∠B，则∠B= 60 . 6.如图，在△ABC°中，CE，BF是两条高，
A
若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的 E
F
度数
是
20 °
，∠FBC的度数是
归纳 在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进 而再求得边数.
例8 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2， ∠3=∠4．求∠CAD的度数．
解：∵五边形的内角和是540°， ∴每个内角为540°÷5=108°， ∴∠E=∠B=∠BAE=108°， 又∵∠1=∠2，∠3=∠4， 由三角形内角和定理可知 ∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°， ∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°36°=36°．
又∵第三边长为奇数, ∴ 第三条边长为 7cm或9cm.
归纳 三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条 线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任 意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之 和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值 范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.
∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数.
A
)
解：设∠ 1=x,根据题意得∠2=x.因为∠3=
1
∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，所以∠3=2x, ∠4=x，
又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
D
在△ABC中，根据三角形内角和定理，
2
得x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36B°. 4
三角形的边：三边关系定理
与三角形有 关的线段
高线 中线：把三角形面积平分
角平分线
三角形内角和：180°
与三角形有 关的角
三角形的分类
定义
对角线
三角形外角和：360°
内角与外角关系
多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线
多边形的内外角和
内角和：（n-2) ×180 ° 外角和：360 °
正多边形
内角=（n 2)180 n
40 °.
B
7.如图，在△ABC中，两条角平分线
A
C
BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°， E
那么∠A的度数是 84 .
°
B
OD C
考点四 多边形的内角和与外角和 例7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数 的 1 ，求这个多边形的边数.
4 解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度 数为4x,则x+4x=180°,解得 x=36°. ∴边数n=360°÷36°=10.